imported>Suko191: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:1|0|0 */

2025-06-30T08:18:14Z

growthexperiments-addlink-summary-summary:1|0|0

Neue Seite

Das '''Zeigermodell''' ist ein Konzept der [[Physik]] und insbesondere der [[Physikdidaktik]].<ref>W. Philipp: {{Webarchiv|url=http://www.quantenphysik-schule.de/dokumente/zeiger-skript.pdf |wayback=20130904002457 |text=''Zeigermodell im Physikunterricht der Kursstufe.''}} (pdf)</ref> Es stellt periodische Vorgänge als [[Rotation (Physik)|Rotation]] eines Zeigers dar und findet vor allem in der [[Schwingungslehre]], der [[Komplexe Wechselstromrechnung|Wechselstromlehre]], der [[Wellenoptik]] und der [[Quantenmechanik]] Anwendung.

Der Zeiger dreht sich dabei meist zeitabhängig in der [[Komplexe Zahl|komplexen Ebene]]. Ein fester, zeitunabhängiger Zeiger wird in der [[Komplexe Wechselstromrechnung|komplexen Wechselstromrechnung]] verwendet, um den Phasenunterschied von Strom und Spannung in einem Stromkreis mit ohmschem Widerstand, Spule und Kondensator zu erklären. Manche Autoren bezeichnen die festen Zeiger als [[Phasor]] und verwenden dabei die in der Technik benutzte [[Versor]]-Schreibweise von komplexen Zahlen (Versor = „Dreher“).

== Grundidee ==
[[Datei:Zeigerdiagramm.svg|mini|hochkant=2|Das Zeigerdiagramm (links) am Beispiel eines [[Federpendel]]s: Im Diagramm (rechts) wurde die Momentanauslenkung <math>y(t)</math> des Pendels über der Zeit aufgetragen. Wie man sieht, entspricht sie der Projektion des Zeigers auf die ''y''-Achse.]]
Ein Zeiger der Länge <math>\hat y</math> [[Rotation (Physik)|dreht]] sich mit einer konstanten [[Winkelgeschwindigkeit]] <math>\omega</math> um den Koordinatenursprung. Sein momentaner Winkel gegenüber der <math>x</math>-Achse wird mit dem Formelzeichen <math>\varphi (t)</math> bezeichnet.

Wenn man diesen Zeiger parallel zur <math>x</math>-Achse mit einer Lampe anstrahlt, so wirft er einen Schatten der Länge <math>y(t)</math> auf eine senkrechte Wand. Es gilt dabei die einfache trigonometrische Beziehung

:<math>y(t) = \hat y \cdot \sin(\varphi(t)) = \hat y \cdot \sin(\omega t + \varphi_0)</math>

wobei <math>\varphi_0</math> der Startwinkel ist.<ref>Auf diese Weise werden die Schwingungen in vielen Schulbüchern der gymnasialen Oberstufe eingeführt, z. B. in Dorn, Bader: ''Physik Gymnasium(G8) 11/12.'' Schroedel, 2010, ISBN 978-3-507-10748-9; Meyer, Schmitt: ''Lehrbuch Physik, Gymnasiale Oberstufe.'' Duden, 2011, ISBN 978-3-8355-3311-0; Boysen u. a.: ''Oberstufe Physik Gesamtband.'' Cornelsen, 1999, ISBN 3-464-03440-2.</ref>

Die Veränderung des Schattens ist eine [[harmonische Schwingung]]. Dabei kommen den verwendeten Größen folgende Bedeutungen zu:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
!Formelzeichen !! Einheit !! Bedeutung im Zeigermodell !! Bedeutung für die Schwingung
|-
|<math>\hat y</math> || beliebig || Länge des Zeigers || [[Amplitude]] der Schwingung
|-
|<math>y(t)</math> || beliebig ||„Schatten“ des Zeigers || Momentan[[auslenkung]]
|-
|<math>\varphi (t)</math> || <math> \mathrm {rad}</math>|| Momentanwinkel || [[Phasenwinkel]]
|-
|<math>\varphi_0</math> || <math> \mathrm {rad}</math>|| Startwinkel || [[Nullphasenwinkel]]
|-
|<math>\omega = 2 \pi f </math> || <math> \mathrm {\frac{rad}s}</math> || Winkelgeschwindigkeit || [[Kreisfrequenz]]
|-
|<math> f = \frac 1 T</math>|| <math> \mathrm {\frac 1 s}</math>|| [[Drehzahl]] || [[Frequenz]]
|-
|<math> T </math>|| <math> \mathrm s </math> || Umlaufdauer || [[Periodendauer]]
|}

<div style="clear:right;"></div>

== Komplexe Zahlenebene ==
[[Datei:Euler's formula.svg|mini|Veranschaulichung in der komplexen Zahlenebene]]
Häufig wird das Zeigermodell in der [[Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]] dargestellt. Der Zeiger <math>\underline z</math> ist dann eine [[Komplexe Zahl|komplexe]] Größe

:<math>\underline z = x + \mathrm i y</math>

mit dem [[Realteil]] <math>\mathrm {Re} \, \underline z = x</math> und dem [[Imaginärteil]] <math>\mathrm {Im} \, \underline z = y</math>. Mit der [[Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] lässt sich dann das Auslenkungs-Zeit-Gesetz der Schwingung wie folgt schreiben:

:<math>\underline z(t) = \hat z \cdot \mathrm e^{\mathrm i(\omega t + \varphi_0)}=\hat{\underline z} \cdot \mathrm e^{\mathrm i\omega t}</math>
Die komplexe Größe <math>\hat{\underline z}=\hat z\cdot \mathrm e^{\mathrm i\varphi_0}</math> wird manchmal auch als [[Phasor]] oder „komplexe Amplitude“ bezeichnet. Nimmt man von <math>\underline z(t)</math> nur den Imaginärteil, so kommt man zu einer Gleichung wie aus dem vorangegangenen Abschnitt. Man kann aber ebenso gut mit dem Realteil arbeiten. An die Stelle der Sinusschwingung tritt dann die Kosinusschwingung. Da sich die [[Sinus und Kosinus|Sinus- und Kosinusfunktionen]] nur durch den konstanten Phasenverschiebungswinkel von <math>\tfrac \pi 2</math> unterscheiden, sind beide mathematischen Formulierungen gleichwertig; innerhalb einer Problemstellung muss man sich jedoch entweder für die eine oder die andere Darstellung entscheiden.

<div style="clear:right;"></div>

== Anwendungen ==
=== Elektrotechnik: Wechselstromlehre ===
[[Datei:Zeiger Wechselstrom.svg|mini|Wechselstrom und -spannung im Zeigermodell, hier am Beispiel einer Reihenschaltung des Widerstandes ''R'' und der Induktivität ''L''. Die Zeiger von ''u'' und ''i'' rotieren um den Koordinatenursprung. Die Wirk-, Blind- und Scheinwiderstände (schwarze Pfeile, sie bilden das „'''Widerstandsdreieck'''“) ändern sich nicht.]]
{{Hauptartikel|Komplexe Wechselstromrechnung}}

In der Wechselstromlehre betrachtet man die sinusförmige [[Wechselspannung]] <math>\underline u (t) = \hat u \cdot e^{\mathrm j (\omega t + \varphi_u)}</math> und die sinusförmige [[Wechselstrom]]stärke <math>\underline i(t) = \hat \imath \cdot e^{\mathrm j (\omega t + \varphi_i)}</math>.<ref>In der Wechselstromlehre wird die [[imaginäre Einheit]] als <math>\mathrm j</math> geschrieben, um Verwechslungen mit der Stromstärke zu vermeiden.</ref> Beide können als Zeiger dargestellt werden, die gemeinsam mit der Winkelgeschwindigkeit <math>\omega</math> um den Koordinatenursprung rotieren und dabei den konstanten [[Phasenverschiebungswinkel]] <math>\Delta \varphi = \varphi_u - \varphi_i</math> aufweisen.

Wenn man analog zu der Beziehung <math>R = \frac U I</math>, die für Gleichströme gilt, die Gleichung

:<math>\underline Z = \frac {\underline u(t)}{\underline i(t)}</math>

für Wechselströme und -spannungen aufstellt, erhält man die [[elektrische Impedanz]], deren Betrag auch „Scheinwiderstand“ genannt wird. Man beachte, dass die Impedanz nicht zeitabhängig ist, denn der Faktor <math>e^{\mathrm j \omega t}</math> kürzt sich heraus. Sie ist im allgemeinen Fall jedoch komplexwertig:

:<math>\underline Z = R + \mathrm j X</math>

Dabei ist der Realteil <math>R</math> der [[Elektrischer Widerstand#Ohmscher Widerstand|ohmsche Widerstand]] oder [[Wirkwiderstand]]. Den Imaginärteil <math>X</math> bezeichnet man als [[Blindwiderstand]]. Er setzt sich zusammen aus
* dem [[Induktivität|induktiven]] Blindwiderstand <math>X_L = \omega L</math> und
* dem [[Elektrische Kapazität|kapazitiven]] Blindwiderstand <math>X_C = -\frac 1{\omega C}</math>

Der Vorteil der Darstellung sinusförmiger Wechselstromgrößen als komplexe Zeiger im Wechselstromdiagramm besteht darin, dass die wesentlichen Gesetze der Elektrizitätslehre (Verwendung der Impedanz wie ein Widerstand, [[Kirchhoffsche Regeln]]) auch in der Wechselstromlehre anwendbar bleiben, ohne dass komplizierte trigonometrische Berechnungen notwendig werden.

Hinweis: Die Zeigerlänge stellt den Absolutbetrag von Spannung und Strom dar. In der Praxis wird statt der Amplitude ''Û'' und ''Î'' („Amplitudenzeiger“) oft der Effektivwert ''U'' und ''I'' verwendet („Effektivwertzeiger“).
<div style="clear:right;"></div>

=== Wellenoptik ===
Im eindimensionalen Fall wird eine Sinuswelle<ref>Im Abschnitt „Wellenoptik“ wird hier – wie in der Schulphysik üblich – eine Darstellung mit reellen Zeigern verwendet. Wenn mit komplexen Zahlen gearbeitet wird, tritt an die Stelle der Sinusfunktion die komplexe e-Funktion, wie dies im Abschnitt „Komplexe Zahlenebene“ beschrieben wurde. Die hier verwendete Vektoraddition entspricht der Addition komplexer Zahlen.</ref> durch folgende Gleichung beschrieben:

:<math>s(x,t) = \hat s \cdot \sin(\omega t - kx)</math>

Dabei ist <math>k</math> die [[Kreiswellenzahl]] <math>k = \frac{2 \pi}\lambda</math>. Der Nullphasenwinkel soll der Einfachheit halber Null betragen.

Auch hier kann man sich die Momentanauslenkung durch einen rotierenden Zeiger vorstellen, wobei diesmal der Winkel nicht nur von der Zeit, sondern auch vom Ort abhängt. Betrachtet man die Welle an einem Ort, der sich eine [[Wellenlänge]] vom Ursprung entfernt befindet, so hat der Zeiger an diesem Ort eine Umdrehung ''weniger'' zurückgelegt als ein Zeiger im Koordinatenursprung. Man muss also von dem Winkel <math>\omega t</math> jeweils das <math>k</math>-fache der Entfernung abziehen.

==== Interferenz ====
{{Hauptartikel|Interferenz (Physik)}}
[[Datei:Zeiger Interferenz.svg|mini|hochkant=2|Interferenz im Zeigermodell: Dieses Schaubild zeigt eine Momentaufnahme zweier Sinuswellen (rot und blau) gleicher Amplitude und Frequenz, die interferieren. An einem bestimmten Punkt wurden die Zeiger beider Wellen exemplarisch gezeichnet. Der Ursprung der Zeiger bewegt sich nach rechts, die Zeiger drehen sich gegen den Uhrzeigersinn.]]

Überlagern sich an einem Punkt zwei Wellen, so müssen die Zeiger beider Wellen [[Vektoraddition|vektoriell]] addiert werden, wie dies in der nebenstehenden Abbildung exemplarisch für einen Punkt gezeichnet wurde. Die Momentanauslenkung der resultierenden Schwingung erhält man dann wieder durch Projektion des resultierenden (violetten) Zeigers auf die an dem gewünschten Punkt eingezeichnete senkrechte Achse. Die Länge dieses Zeigers gibt auch die Amplitude der resultierenden Welle an (violette Linie). Entscheidend für das Ergebnis der Interferenz ist also – neben den Amplituden der beteiligten Wellen – auch ihr Phasenunterschied <math>\Delta \varphi</math>. Besonders einfach ist dies bei Wellen gleicher Frequenz, da hier der Phasenunterschied konstant ist.

Es gilt:

* <math>\Delta \varphi = 0, \, 2 \pi, \, 4\pi, \, \dots</math>: Konstruktive Interferenz. Die Amplituden der beiden Wellen addieren sich.
* <math>\Delta \varphi = \pi, \, 3 \pi, \, 5\pi, \, \dots</math>: Destruktive Interferenz. Die Amplituden der beiden Wellen müssen voneinander subtrahiert werden. Sind sie gleich, so löschen sie sich gegenseitig aus.

Überlagern sich in einem Punkt mehrere Wellen, so müssen die Zeiger ''aller'' Wellen vektoriell addiert werden.

<div style="clear:right;"></div>

==== Stehende Wellen ====
{{Hauptartikel|Stehende Welle}}
[[Datei:Zeiger Stehende Welle.svg|mini|hochkant=2|Stehende Welle (violett): Zwei gegenläufige Sinuswellen rot und blau interferieren. Die rote Welle läuft nach rechts, die blaue Welle läuft nach links. Die violetten Zeiger und Linien zeigen eine Momentaufnahme der resultierenden Welle. Die gestrichelten violetten Linien markieren deren Maximalausschläge. Die Zeigerursprünge sind fest und die Zeiger drehen sich gegen den Uhrzeigersinn. Erklärung s. Text.]]

Überlagern sich zwei gegenläufige Wellen gleicher Frequenz und Amplitude, so entsteht eine stehende Welle. In der nebenstehenden Abbildung läuft die rote Welle nach rechts, die blaue Welle nach links. Greift man einen bestimmten Punkt heraus, so haben die Zeiger der beiden Wellen einen gewissen Phasenunterschied. Dieser Unterschied hängt nicht von der Zeit ab, da sich beide Zeiger gleich schnell in dieselbe Richtung drehen. Trotzdem hängt er vom Ort ab. An Orten, wo der Phasenunterschied <math>0</math> oder <math>2 \pi</math> beträgt – wo also die beiden Welle ''in Phase'' sind – ist die Momentanauslenkung verglichen mit anderen Orten stets maximal. Man nennt dies einen „Schwingungsbauch“. An den Stellen, wo der Phasenunterschied <math> \pm \pi</math> ist, gibt es überhaupt keine Auslenkung. Dies nennt man „Schwingungsknoten“. Da sich weder die Schwingungsbäuche noch die Schwingungsknoten bewegen, hat es den Anschein, als breite sich die Welle überhaupt nicht aus, daher der Name „stehende Welle“. Der Maximalausschlag der stehenden Welle an einem Schwingungsbauch ist durch die Summe der Zeigerlängen, sprich: die Summe der Amplituden gegeben.

<div style="clear:right;"></div>

==== Beugung ====
{{Hauptartikel|Beugung (Physik)}}
Bei mehrdimensionalen Problemen (z. B. [[Einfachspalt]], [[Doppelspalt]], [[optisches Gitter]], …) muss berücksichtigt werden, dass Wellen, die an einem Punkt zusammentreffen, unterschiedliche Wege zurückgelegt haben können. Man berechnet dann die [[Gangunterschied]]e. Ein Gangunterschied <math>\delta</math> ist gleichbedeutend mit einem Phasenunterschied von <math>\Delta \varphi = k \delta</math>. Man erhält das Beugungsmuster also durch Vektoraddition der Zeiger der interferierenden Wellen unter Berücksichtigung des durch den Gangunterschied entstehenden Phasenunterschieds.

==== Grenzen ====
Während sich Phasenunterschiede und ihre Auswirkungen auf die Interferenz mit dem Zeigermodell sehr gut erklären lassen, versagt es bei der Berechnung der Amplituden, da weder die [[Dämpfung]] noch die Verteilung einer Welle im Raum durch das Zeigermodell berücksichtigt werden können. Diese Schwäche haben aber auch alternative Konzepte, z. B. die [[Huygenssches Prinzip|Elementarwellen]] nach [[Huygenssches Prinzip|Huygens]] und [[Fresnelsche Formeln|Fresnel]].

=== Quantenmechanik ===
Auch die [[Wellenfunktion]] der Quantenmechanik lässt sich im Zeigermodell darstellen. [[Richard Feynman|Feynman]] nennt die (komplexe) Länge des Zeigers „Wahrscheinlichkeitsamplitude“, da ihr [[Betragsquadrat]] nach den Regeln der Quantenmechanik ein Maß für die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] (z. B. für das Auffinden eines Teilchens) ist.<ref>Feynman, Leighton, Sands: ''Feynman Vorlesungen über Physik.'' Band III: ''Quantenphysik.'', 4. Auflage. Oldenbourg, 1999, ISBN 3-486-25134-1, S. 29/39.</ref> Dabei kommt es ebenso zum Effekt der Interferenz, wie dies im Abschnitt Wellenoptik weiter oben beschrieben wurde. Wenn ein [[Quantenobjekt]] eine Versuchsanordnung durchläuft, müssen die Wahrscheinlichkeitsamplituden für alle möglichen Wege vektoriell addiert werden. Damit findet Feynman eine anschauliche Interpretation für die Methode der [[Pfadintegral]]e.<ref>R. Feynman: ''QED Die seltsame Theorie des Lichts und der Materie.'' 8. Auflage. Piper, 2002, ISBN 3-492-21562-9.</ref>

== Weblinks ==
* [https://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/physik/unterrichtsmaterialien/wellen Umfangreiche Sammlung von Animationen (zumeist Java-Applets), die teilweise das Zeigermodell verwenden]
* {{Internetquelle|autor= |url=https://www.geogebra.org/m/kvvq4tmw |titel=Interaktive Darstellung des in der Wechselstromlehre verwendeten Zeigermodells |werk=[[GeoGebra]] |abruf=2022-01-01 |abruf-verborgen=1}}

== Einzelnachweise, Belege und Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Schwingungslehre]]
[[Kategorie:Wellen]]
[[Kategorie:Physikdidaktik]]

Zeigermodell - Versionsgeschichte

imported>Suko191: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:1|0|0 */