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2026-04-21T12:56:09Z

tk k

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<div class="tright" style="clear:none;">[[Datei:01-Zehneck-Stern-10-3-7.svg|rahmenlos|rechts|hochkant=1.2|Dekagramm {10/3, 10/7}]]</div>
<div class="tright" style="clear:none;">[[Datei:Regular polygon 10 annotated.svg|rahmenlos|rechts|hochkant=1.2|Regelmäßiges (konvexes) Zehneck]]</div>

In der [[Geometrie]] ist das '''Zehneck''' oder '''Dekagon''' (von {{grcS|δέκα|déka|de=zehn}} und {{lang|grc|γωνία|gōnía|de=Winkel, Ecke}})<ref>{{Pape-1880-1914 |Lemma=δέκα |Band=1 |Seite=541 |SeiteBis=542 |zenoID=20008225192}}</ref> ein beliebiges [[Polygon]] mit zehn Seiten und zehn [[Ecke]]n.

Im Weiteren wird das [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßige]] Zehneck behandelt. Es hat gleich lange Seiten und seine Ecken liegen auf einem gemeinsamen Umkreis. Die auf diesem Wege gegebene [[geometrische Figur]] besteht also aus zehn [[Kongruenz (Geometrie)#Kongruenz von Dreiecken|kongruenten]] [[Goldenes Dreieck (Geometrie)#Goldenes Dreieck erster Art|goldenen Dreiecken erster Art]].

Der diesem Zehneck einbeschriebene, einzig mögliche [[Stern (Geometrie)|Stern]] (grün) mit dem [[Schläfli-Symbol]] {10/3, 10/7} heißt ''Dekagramm''.

== Formeln ==
{{Hauptartikel|Regelmäßiges Polygon#Kenngrößen|titel1=Regelmäßiges Polygon - Kenngrößen}}
{| class="wikitable"
|+ style="background:#C0C0FF"| Mathematische Formeln zum regelmäßigen Zehneck
|-
| '''[[Seitenlänge]]'''
| <math> \begin{align}
a &= 2\cdot r_u\cdot\sin\left(\frac{180^\circ}{10} \right)\\ & =r_u\cdot\left(\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2} \right)
\end{align}</math>
| rowspan="10" |[[Datei:01-Zehneck-Größenbezeichnungen.svg|300px|Größen des Zehnecks]]
|-
| rowspan="4" |Länge der '''[[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]]'''
| <math> d_2 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} \cdot a \approx 1{,}902 \cdot a </math>
|-
| <math> d_3 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \cdot a \approx 2{,}618 \cdot a </math>
|-
| <math> d_4 = 2 \cdot r_i = \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} \cdot a \approx 3{,}078 \cdot a </math>
|-
| <math> d = 2 \cdot r_u = (1 + \sqrt{5}) \cdot a \approx 3{,}236 \cdot a </math>
|-
| [[Inkreis|'''Inkreisradius''']]
| <math> r_i = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5 + 2\sqrt{5}} \cdot a \approx 1{,}539 \cdot a</math>
|-
| [[Umkreis|'''Umkreisradius''']]
| <math> r_u = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \cdot a \approx 1{,}618 \cdot a</math>
|-
| '''[[Zentriwinkel]]'''
| <math> \alpha = \frac{360^\circ}{10} = 36^\circ </math>
|-
| '''[[Innenwinkel]]'''
| <math> \delta = 180^\circ - \alpha = 144^\circ </math>
|-
| '''[[Flächeninhalt]]'''
| <math> A = \frac{5}{2} \cdot \sqrt{5 + 2\sqrt{5}} \cdot a^2 \approx 7{,}694 \cdot a^2 </math>  
|}

=== Berechnung des Flächeninhalts ===
Der [[Flächeninhalt]] <math>A</math> eines regelmäßigen Zehnecks mit der Seitenlänge <math>a</math> berechnet sich wie folgt:

: <math>A = \frac{10 \cdot a^2}{4} \cdot \cot\left(\frac{\pi}{10}\right) = \frac{5}{2} \cdot \sqrt{5 + 2\sqrt{5}} \cdot a^2 \approx 7{,}694 \cdot a^2</math>

== Konstruktion eines Zehnecks ==
Ein regelmäßiges Zehneck ist mit [[Euklidische Werkzeuge|Zirkel und Lineal]] konstruierbar.

=== Konstruktion bei gegebenem Umkreis ===
[[Datei:01-Zehneck.svg|mini|270px|Regelmäßiges Zehneck nach Euklid, {{Overline|MG}} ist gleich der Seitenlänge ''a'']]

==== Konstruktion nach Euklid ====
# Führe die Konstruktionsschritte zu einem regelmäßigen [[Fünfeck#Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebenem Umkreis|Fünfeck]] nur soweit aus, bis dessen Seitenlänge durch die Strecke {{Overline|E3G}} bestimmt ist.<ref name="GoldenerSchnitt" /> In der vertikalen Achse des Achsenkreuzes ergeben sich dabei die [[Eckpunkt]]e E3 und E8.
# Übertrage die so bestimmte Fünfeckseite {{Overline|E3G}} auf den [[Umkreis]], es ergibt sich der erste Eckpunkt E1 des entstehenden Zehnecks.
# Halbiere den [[Winkel]] E1ME3 (Zentriwinkel eines Fünfecks), es ergibt sich der zweite Eckpunkt E2 und somit die erste Seite {{Overline|E1E2}} des Zehnecks.
# Bestimme die restlichen Eckpunkte durch Abtragen der Strecke {{Overline|E1E2}} auf den Umkreis entgegen dem Uhrzeigersinn.
# Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, damit ist das Zehneck fertiggestellt.

==== Alternative (1) ====
'''Vorüberlegung''' 
Der Mittelpunkt M des Umkreises teilt die Strecke {{Overline|AG}} im [[#Der Goldene Schnitt im Zehneck|Goldenen Schnitt]]. Darin ist der sogenannte Minor die Strecke {{Overline|MG}}, für diese gilt:

: <math>\overline{MG}=\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}.</math>
Für die Seitenlänge ''a'' des Zehnecks gilt:
: <math>a=2\cdot\sin\left(\frac{180^\circ}{10} \right),</math>
wegen
: <math>a-\overline{MG}=2\cdot\sin\left(\frac{180^\circ}{10} \right)-\left( \frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}\right)=0, </math>
gilt auch
: <math>a=\overline{MG}.</math>

'''Konstruktion'''
# Führe die Konstruktionsschritte zu einem regelmäßigen Fünfeck nur soweit aus, bis dessen Seitenlänge durch die Strecke {{Overline|E3G}} bestimmt ist. Die Länge der Strecke {{Overline|MG}} entspricht der gesuchten Seitenlänge ''a'' des Zehnecks.
# Trage ab dem Punkt E3 die Seitenlänge ''a'' neunmal entgegen dem Uhrzeigersinn auf dem Umkreis ab.
# Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, damit ist das Zehneck fertiggestellt.

==== Alternative (2) ====
# Konstruiere die fünf Eckpunkte eines regelmäßigen Fünfecks (Zentriwinkel <math display="inline">\frac{360^\circ}{5}</math> = 72°), entsprechend der [[Fünfeck#Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebenem Umkreis|Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebenem Umkreis]].
# Ziehe eine Linie von jeder [[Ecke]] des Fünfecks durch den [[Mittelpunkt]] des [[Kreis (Geometrie)|Kreises]] bis auf die Umkreislinie. Somit sind alle zehn Eckpunkte bestimmt.
# Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, damit ist das Zehneck fertiggestellt.

=== Konstruktion bei gegebener Seitenlänge ===
[[Datei:01-Zehneck-Seitenlänge.svg|mini|270px|Regelmäßiges Zehneck bei gegebener Seitenlänge,<ref name="Jürgen_Köller">{{Internetquelle |autor=Jürgen Köller |url=http://www.mathematische-basteleien.de/zehneck.htm |titel=Regelmäßiges Zehneck, → 3. Absatz, Formeln "Ist die Seite a gegeben …" |werk=Mathematische Basteleien |datum=2005 |abruf=2016-02-04}}</ref> [[:Datei:01-Zehneck-Seitenlänge-Animation.gif#{{int:filedesc}}|Animation siehe]]]]
# Bezeichne die Endpunkte der Seitenlänge ''a'' mit E1 und E10
# Zeichne einen [[Kreisbogen]] um E1 mit dem [[Radius]] {{Overline|E1E10}} durch E10.
# Konstruiere eine Senkrechte zur Seitenlänge ''a'' ab E1 bis sie den Kreisbogen um E1 in A schneidet.
# Zeichne einen Kreisbogen um E10 mit dem Radius {{Overline|E1E10}} durch E1, es ergeben sich die Schnittpunkte B und C.
# Zeichne eine gerade Linie ab C durch B ([[Mittelsenkrechte]]), sie schneidet die Seitenlänge ''a'' in D.
# Verlängere die Seitenlänge ''a'' ab E1.
# Zeichne einen Kreisbogen um D mit dem Radius {{Overline|AD}} bis er die Verlängerung der Seitenlänge ''a'' in F schneidet.
# Zeichne einen Kreisbogen um E10 mit dem Radius {{Overline|E10F}}, er schneidet die Mittelsenkrechte von {{Overline|E1E10}} im [[Mittelpunkt]] M des Umkreises vom gesuchten Zehneck.
# Zeichne den [[Umkreis]] des entstehenden Zehnecks um M mit dem [[Radius]] R = {{Overline|ME10}}.
# Bestimme die restlichen [[Eckpunkt]]e durch Abtragen der Seitenlänge ''a'' auf den Umkreis entgegen dem Uhrzeigersinn.
# Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, damit ist das Zehneck fertiggestellt.

Der [[Mittelpunktswinkel]] <math>\mu</math> mit der Winkelweite <math>\tfrac{360^\circ}{10} = 36^\circ</math> ergibt sich mithilfe der [[Innenwinkel]] des [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreiecks]] <math>{E_{10}DM}</math> mit den Seiten <math>\tfrac{a}{2} = \tfrac{1}{2}</math> und <math> R = \overline{E_{10}F} = \tfrac{1+\sqrt{5}}{2}</math> (siehe nächsten Abschnitt ''Der Goldene Schnitt im Zehneck'') nach dem [[Satz des Pythagoras]]:

: <math>\sin\left(\frac{\mu}{2}\right) = \frac{\frac{a}{2}}{R} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} = \frac{1}{1+\sqrt{5}},</math>

daraus folgt
: <math>\mu = 2 \cdot \arcsin\left(\frac{1}{1+\sqrt{5}}\right) = 2 \cdot 18^\circ = 36^\circ.</math>

== Der Goldene Schnitt im Zehneck ==
Sowohl in der Konstruktion bei gegebenem [[Umkreis]]<ref name="GoldenerSchnitt" /> als auch in der bei gegebener Seitenlänge ist der [[Goldener Schnitt#Äußere Teilung|Goldene Schnitt mittels äußerer Teilung]] der maßgebende Baustein.

* In der Konstruktion bei gegebenem Umkreis verlängert der [[Kreisbogen]] mit dem [[Radius]] |FE3| um den [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] F den Umkreisradius {{Overline|AM}} um die Strecke {{Overline|MG}}. Die somit erzeugte Strecke {{Overline|AG}} teilt der [[Mittelpunkt]] M im [[Goldener Schnitt|Goldenen Schnitt]].
:<math>\frac{\overline{AM}}{\overline{MG}} = \frac{\overline{AG}}{\overline{AM}} = \frac{1+ \sqrt{5}}{2} = \Phi \approx 1{,}618 \text{.}</math>
* In der Konstruktion bei gegebener Seitenlänge<ref name="Jürgen_Köller" /> bewirkt der [[Kreisbogen]] um den [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] D mit dem [[Radius]] |DA| eine Verlängerung der gegebenen Seitenlänge {{Overline|E1E10}} um die Strecke {{Overline|E1F}}, damit ist die Strecke {{Overline|E10F}} die längere Strecke des Verhältnisses (siehe hierzu die [[Goldener Schnitt#Definition|Definition]] des Goldenen Schnittes).
:<math>\frac{\overline{E_1E_{10}}}{\overline{E_1 F}} = \frac{\overline{E_{10} F}}{\overline{E_1 E_{10}}} = \frac{R}{a} = \frac{1+ \sqrt{5}}{2} =\Phi \approx 1{,}618 \text{.}</math>

== Parkettierung eines Zehnecks mit goldenen Dreiecken ==
Es gibt zahlreiche Möglichkeiten, ein Zehneck mit [[Goldenes Dreieck (Geometrie)|Goldenen Dreiecken]] zu [[Parkettierung|parkettieren]]. Die folgenden Beispiele zeigen Parkettierungsmöglichkeiten mit Goldenen Dreiecken erster Art ([[Spitzer Winkel|spitzwinklig]]) und Goldenen Dreiecken zweiter Art ([[Stumpfer Winkel|stumpfwinklig]]).

[[Datei:Parkettierungen Zehneck.svg|Parkettierungen Zehneck.svg]]

Links und rechts besteht die Parkettierung aus jeweils 10 Goldenen Dreiecken erster und 10 Goldenen Dreiecken zweiter Art und in der Mitte aus 20 Goldenen Dreiecken erster Art und 10 Goldenen Dreiecken zweiter Art.<ref>Heinz Klaus Strick: ''Kunterbunte Mathematik''. Springer-Verlag, Berlin 2023, ISBN 978-3-662-67312-6, S. 176–177</ref>

== Polyeder mit regelmäßigen Zehnecken ==
Einige [[Polyeder]] haben regelmäßige Zehnecke als [[Seitenfläche]]n, zum Beispiel der [[Dodekaederstumpf]] und das [[Großes Rhombenkuboktaeder|Große Rhombenkuboktaeder]]. Die genannten Polyeder sind [[Archimedischer Körper|archimedische Körper]].
<gallery heights="150" widths="150" perrow="2">
Truncateddodecahedron.jpg|[[Dodekaederstumpf]]
Truncatedicosidodecahedron.jpg|[[Großes Rhombenikosidodekaeder]]
</gallery>

== Vorkommen ==
=== Architektur ===
[[Datei:Modell wormser Johanneskirche IMG 3.JPG|350px|links|mini|[[Johanneskirche (Worms)|Modell der Johanneskirche in Worms]]]]
{{Doppeltes Bild|links|ZBBBauverw 1911 - Maria, Hilfe der Christen - Ansicht Askanierring.jpg|350|ZBBBauverw 1911 - Maria, Hilfe der Christen - Grundriss.jpg|361|[[ Maria, Hilfe der Christen (Spandau)]] |Grundrisse: Maria, Hilfe der Christen (Spandau)|}}
<div style="clear:both;"></div>
Das Dekagon der Kirche [[St. Gereon (Köln)|St. Gereon]] in [[Köln]], errichtet 1219–1927, hat hingegen zwei unterschiedliche Kantenlängen (die eine achtmal, die andere zweimal) und zwei unterschiedliche Winkel (den einen viermal, den anderen sechsmal), weil es auf einen ovalen antiken Unterbau gestellt wurde.
Bekannte als Zehneck erkennbare Bauwerke sind unter anderem:
* [[Tempel der Minerva Medica]]
* [[Mausoleum des Theoderich]]
* [[Mausoleum der Familie Hohenlohe-Langenburg]]
* [[Mausoleum der Familie Cirksena]]
* [[St. Norbert (Düsseldorf)]]
* [[Wasserturm Emden]]
* [[Wasserturm Süd (Halle)]]
* [[St. Gereon (Köln)]], Nordrhein-Westfalen

== Weblinks ==
{{Commonscat|Decagons|Zehneck}}
{{Wiktionary}}
* [http://www.mathopenref.com/decagon.html Definition und Eigenschaften eines Zehnecks.] mathopenref.com; Mit interaktiver Animation (englisch).

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="GoldenerSchnitt">
{{Literatur
|Autor=Henry Green
|Titel=Euclid's Plane Geometry, Books III–VI, Practically Applied, or Gradations in Euclid, Part II
|Verlag=Simpkin, Marshall, & Co.
|Ort=London
|Datum=1861
|Seiten=116
|Online=[https://books.google.de/books?id=DjQDAAAAQAAJ&pg=PA116&dq=II.+Practically+decagon+Euklid+p.+116&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwj0oJXvr-7KAhVEYpoKHQ2OCW0Q6AEIHTAA#v=onepage&q=II.%20Practically%20decagon%20Euklid%20p.%20116&f=false books.google.de]}}
</ref>
</references>

[[Kategorie:Polygon]]

Zehneck - Versionsgeschichte

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