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2025-06-22T12:48:14Z

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'''Zahlenpalindrome''' bzw. '''Palindromzahlen''' sind [[natürliche Zahl]]en, deren Zahlensystemdarstellung von vorne und hinten gelesen den gleichen Wert hat, z. B. 1331 oder 742247, aber auch 21 zur [[Dualsystem|Basis 2]] (=10101). Manchmal wird auch die allgemeine Schreibweise ''a''1''a''2''a''3 ...|... ''a''3''a''2''a''1 für Zahlen mit der Basis <math>a</math> verwendet.

Der Begriff [[Palindrom]] wurde in die [[Zahlentheorie]], einem Teilbereich der [[Mathematik]], aus der Sprachwissenschaft übernommen.

== Palindrome im Dezimalsystem ==
Alle Zahlen des [[Dezimalsystem]]s mit nur einer [[Ziffer]] sind Palindromzahlen.

Es gibt neun zweistellige Palindromzahlen:
: {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}
Es gibt 90 dreistellige Palindromzahlen:
: {101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191,
: 202, 212, 222, 232, 242, 252, 262, 272, 282, 292,
: 303, 313, 323, 333, 343, 353, 363, 373, 383, 393,
: 404, 414, 424, 434, 444, 454, 464, 474, 484, 494,
: 505, 515, 525, 535, 545, 555, 565, 575, 585, 595,
: 606, 616, 626, 636, 646, 656, 666, 676, 686, 696,
: 707, 717, 727, 737, 747, 757, 767, 777, 787, 797,
: 808, 818, 828, 838, 848, 858, 868, 878, 888, 898,
: 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}
sowie ebenfalls 90 vierstellige Palindromzahlen:
: {1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991,
: 2002, 2112, 2222, 2332, 2442, 2552, 2662, 2772, 2882, 2992,
: 3003, 3113, 3223, 3333, 3443, 3553, 3663, 3773, 3883, 3993,
: 4004, 4114, 4224, 4334, 4444, 4554, 4664, 4774, 4884, 4994,
: 5005, 5115, 5225, 5335, 5445, 5555, 5665, 5775, 5885, 5995,
: 6006, 6116, 6226, 6336, 6446, 6556, 6666, 6776, 6886, 6996,
: 7007, 7117, 7227, 7337, 7447, 7557, 7667, 7777, 7887, 7997,
: 8008, 8118, 8228, 8338, 8448, 8558, 8668, 8778, 8888, 8998,
: 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999}
Damit gibt es unter 104 (also 10.000) genau 9 + 9 + 90 + 90 = 198 Zahlenpalindrome. Insgesamt gibt es 9 + 9 + 90 + 90 + 900 = 1098 Zahlenpalindrome, die kleiner sind als 105 (also 100.000). Die Anzahl der Palindrome kleiner als 10''n'' folgt dieser Zahlenreihe: 1998 (für ''n'' = 6), 10998 (für ''n'' = 7 usw.), 19998, 109998, 199998, 1099998, … ([[OEIS]], A050250<ref>{{Internetquelle |url=https://oeis.org/A050250 |titel=A050250|format=|abruf=2020-11-05}}</ref>).

Des Weiteren hat jede ganze Zahl, die nicht durch 10 teilbar ist, ein positives Vielfaches, das ein Dezimalpalindrom ist, was in einer Aufgabe des [[Bundeswettbewerb Mathematik|Bundeswettbewerbs Mathematik]] 2009 zu beweisen war.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.mathe-wettbewerbe.de/fileadmin/Mathe-Wettbewerbe/Bundeswettbewerb_Mathematik/Dokumente/Aufgaben_und_Loesungen_BWM/aufgaben_09_1.pdf |titel=Bundeswettbewerb Mathematik Aufgabenblatt 2009 1. Runde |format=PDF; 16 kB |abruf=2012-11-16}}</ref>

Aus den [[Teilbarkeitsregel]]n ergibt sich außerdem, dass alle Zahlenpalindrome mit gerader Stellenzahl durch 11 teilbar sind.

== Erzeugung von Zahlenpalindromen ==
=== Quadrieren von 1-er Zahlen ===
Im Dezimalsystem erhält man durch

: '''<math>([1]_n)^2</math>'''

Palindromzahlen, wobei [1]''n'' die Kurzschreibweise für die ''n''-fache Wiederholung der 1 ist und ''n'' von 1 bis 9 reicht.

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|+
|- style="background:#F8F8F8"
! !! !! !! !!
|-
| 1 || * || 1 || = || 1
|-
| 11 || * || 11 || = || 121
|-
| 111 || * || 111 || = || 12321
|-
| 1111 || * || 1111 || = || 1234321
|-
| 11111 || * || 11111 || = || 123454321
|-
| 111111 || * || 111111 || = || 12345654321
|-
| 1111111 || * || 1111111 || = || 1234567654321
|-
| 11111111 || * || 11111111 || = || 123456787654321
|-
| 111111111 || * || 111111111 || = || 12345678987654321
|}

=== Umkehrung und Addition ===
Eine weitere Möglichkeit ist das [[Iteration|iterative]] Schema,<ref name="196-Alg">{{Internetquelle |url=https://mathworld.wolfram.com/196-Algorithm.html |titel=196-Algorithm |autor=Eric W. Weisstein |werk=MathWorld |sprache=en |abruf=2023-09-12}}</ref> bei dem eine beliebige positive Zahl (die nicht selber schon ein Palindrom ist) bis zum Erreichen eines Palindroms durch folgenden [[Algorithmus]] gedreht wird:

# Drehe die Zahl um (z. B. 84 zu 48), d. h. erstelle die [[Spiegelzahl]]
# Addiere die umgedrehte Zahl zu ihrer Ausgangszahl (48 + 84 = 132)
# Drehe die neu entstandene Zahl erneut um (132 zu 231)
# Addiere erneut beide Zahlen (132 + 231 = 363)

Bei den meisten Zahlen entsteht nach einer bestimmten Anzahl an Rechenschritten ein Zahlenpalindrom.<ref name="196-Alg"/> Allerdings existieren auch Zahlen, die sich dieser Transformation widersetzen und bei denen bisher keine Palindrombildung zu finden ist. Solche Zahlen nennt man [[Lychrel-Zahl]]en; die bekannteste Lychrel-Zahl ist ''196''. Man bezeichnet den obigen Algorithmus daher auch als 196-Algorithmus.

=== Palindrome bei Transformation des Zahlensystems ===
Zahlenpalindrome können auch bei der Transformation von Dezimalzahlen in ein anderes Zahlensystem entstehen.

Die folgende Tabelle listet alle Zahlenpalindrome auf (für Zahlen von 10 bis 107), die sich bei der Transformation vom Dezimalsystem in das jeweilige Zahlensystem ergeben.

{| class="wikitable"
|-
! Basis !! Dezimalzahl !! Zahl in anderem Zahlensystem
|-
|style="text-align:center"| 4 || 13 || 31
|-
|rowspan="4" style="text-align:center"| 7 || 23 || 32
|-
| 46 || 64
|-
| 2116 || 6112
|-
| 15.226 || 62.251
|-
|style="text-align:center"| 8 ([[Oktalsystem|oktal]]) || 1.527.465 || 5.647.251
|-
|rowspan="3" style="text-align:center"| 9 || 445 || 544
|-
| 313.725 || 527.313
|-
| 3.454.446 || 6.444.543
|-
|style="text-align:center"| 12 ([[Duodezimalsystem|duodezimal]]) || 315.231 || 132.513
|-
|rowspan="3" style="text-align:center"| 13 || 43 || 34
|-
| 86 || 68
|-
| 774 || 477
|-
|style="text-align:center"| 14 || 834 || 438
|-
|rowspan="4" style="text-align:center"| 16 ([[Hexadezimalsystem|hexadezimal]]) || 53 || 35
|-
| 371 || 173
|-
| 5141 || 1415
|-
| 99.481 || 18.499
|-
|rowspan="8" style="text-align:center"| 19 || 21 || 12
|-
| 42 || 24
|-
| 63 || 36
|-
| 84 || 48
|-
| 441 || 144
|-
| 882 || 288
|-
| 7721 || 1277
|-
| 9471 || 1749
|-
|rowspan="2" style="text-align:center"| 21 || 551 || 155
|-
| 912 || 219
|-
|rowspan="2" style="text-align:center"| 22 || 73 || 37
|-
| 511 || 115
|-
|style="text-align:center"| 25 || 83 || 38
|-
|rowspan="4" style="text-align:center"| 28 || 31 || 13
|-
| 62 || 26
|-
| 93 || 39
|-
| 961 || 169
|-
|rowspan="2" style="text-align:center"| 37 || 41 || 14
|-
| 82 || 28
|-
|style="text-align:center"| 46 || 51 || 15
|-
|style="text-align:center"| 55 || 61 || 16
|-
|style="text-align:center"| 64 || 71 || 17
|-
|style="text-align:center"| 73 || 81 || 18
|-
|style="text-align:center"| 82 || 91 || 19
|}

== Summe von Zahlenpalindromen ==
In einem Aufsatz von 2018 wurde gezeigt, dass jede positive ganze Zahl als Summe von drei Zahlenpalindromen geschrieben werden kann, unabhängig vom verwendeten Zahlensystem mit der Basis 5 oder größer.<ref> Javier Cilleruelo, Florian Luca, Lewis Baxter: ''Every positive integer is a sum of three palindromes'' In: [http://www.ams.org/journals/mcom/2018-87-314/S0025-5718-2017-03221-X/home.html Mathematics of Computation] ([https://arxiv.org/abs/1602.06208 arXiv Preprint])</ref>

== Zahlen und Zahlwörter ==
Joel David Hamkins bemerkt in seinen „Vorlesungen über die Philosophie der Mathematik“ (engl. ''Lectures on the Philosophy of Mathematics''), dass palindrome Zahlen im Gegensatz zu [[Dreieckszahl|Dreiecks-]] oder [[Rechteckzahl|Rechteckszahlen]] keine Eigenschaften von Zahlen, sondern [[Zahlwörter]]n beschreiben. Einige Mathematiker, so Hamkins, halten daher das Konzept für unnatürlich oder laienhaft. So ist beispielsweise die Zahl 27 im Dezimalsystem kein Palindrom, in Binärform 11011 aber schon, in römischer Zahlschrift XXVII wieder nicht. Die Frage, ob eine Zahl ein Palindrom ist, hängt von der [[Stellenwertsystem#Basis|Basis]] ab, in der sie dargestellt wird. Jede Zahl ist in einer Basis ein Palindrom, da sie dann zu einer einzigen Ziffer, sprich einem Palindrom würde.<ref>{{Literatur |Autor=Joel David Hamkins |Titel=Lectures on the Philosophy of Mathematics |Hrsg=The MIT Press |Datum=2021-03 |ISBN=978-0262542234 |Seiten=2}}</ref>

== Siehe auch ==
* [[Zyklische Zahl]]
* [[Mirpzahl]]
* [[Primzahlpalindrom]]
* [[Palindromtag]]
* [[Streng nicht-palindromische Zahl]]

== Literatur ==
* Malcolm E. Lines: ''A Number for Your Thoughts: Facts and Speculations about Number from Euclid to the latest Computers''. CRC Press, 1986, ISBN 0-85274-495-1, S. 61 ([http://books.google.de/books?id=Am9og6q_ny4C&pg=PT69&dq=palindromic+number&lr=&as_brr=3&sig=ACfU3U2mB1VPUV1xTg17Sw0BI3XuZzvQow eingeschränkt (Google Books)])

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=PalindromicNumber |title=Zahlenpalindrom}}
* [http://hovekamp.info/palindrom Palindromzahlen in adischen Zahlensystemen]
* [http://www.juergendankert.de/Palindrom/Zahlen-Palindrome/index.php Zahlen-Palindrome (interaktiv)]
* [http://www.mathematische-basteleien.de/palindrom.htm Zahlen-Palindrome]
* {{Webarchiv |url=http://www.ph-linz.at/staff/boe/didaktik1/Kurioses.htm |wayback=20050221180057 |text=Eine nette Spielerei mit der Eins}}
* [[James Grime]] (Numberphile): {{YouTube|OKhacWQ2fCs|''Every Number is the Sum of Three Palindromes''}}, 17. September 2018 (englisch).
* sciencenotes.de: [https://sciencenotes.de/das-raetsel-um-die-196-wie-laesst-sich-etwas-beweisen-das-vielleicht-nicht-existiert/ ''Das Rätsel um die 196: Wie lässt sich etwas beweisen, das vielleicht nicht existiert?'']

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Unterhaltungsmathematik]]
[[Kategorie:Palindrom]]

[[pl:Palindrom#Palindromy liczbowe]]

Zahlenpalindrom - Versionsgeschichte

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