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2021-05-16T07:52:13Z

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Das '''XY-Modell''' ist eine Verallgemeinerung des [[Ising-Modell]]s der [[Statistische Mechanik|statistischen Mechanik]], mit dem der [[Magnetismus]] und andere physikalischen Erscheinungen beschrieben werden können. Das XY-Modell ist der Spezialfall <math>n=2</math> des allgemeineren [[n-Vektor-Modell]]s (die anderen Spezialfälle dieses Modells sind das Ising-Modell mit <math>n=1</math> und das [[Heisenberg-Modell]] mit <math>n=3</math>).

Es wurde schon 1950 von [[Yōichirō Nambu]]<ref>Daniel Mattis, The many-body problem, World Scientific 1993, S. 683</ref> in Zusammenhang mit dem zweidimensionalen Ising-Modell betrachtet. [[Elliott Lieb]], [[Daniel Mattis]] und T. Schultz gaben 1961 eine exakte Lösung des XY-Modell von Spin 1/2-Teilchen in einer Dimension.<ref>Lieb, Schultz, Mattis, Annals of Physics, Band 16, 1961, S. 407</ref> Dabei verwendeten sie die [[Jordan-Wigner-Transformation]].

Das XY-Modell besteht aus <math>N</math> [[Spin]]s <math>\vec{s_i}</math>, die durch [[Einheitsvektor]]en dargestellt werden. Sie sind auf den Punkten eines [[Gitter (Mathematik)|Gitters]] beliebiger Dimension angeordnet, können aber nur in einer Ebene ausgerichtet sein; daher die Bezeichnung ''XY'' und der Spezialfall <math>n=2</math>.

Der [[Hamiltonoperator|Hamiltonian]] für das XY-Modell ist gegeben durch:

:<math>H = -J \sum _{\langle i,j\rangle} \vec s_i \cdot \vec s_j - \vec{H} \sum_{i=1}^N \vec s_i</math>

wobei
* über die nächsten Nachbarspins summiert wird
* „<math>\cdot</math>“ das [[Standardskalarprodukt]] für den zweidimensionalen [[euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und
* <math>J</math> die [[Kopplungskonstante]]
* <math>\vec{H}</math> ein externes Magnetfeld ist.

Der [[Ordnungsparameter]] des XY-Modells ist die [[Magnetisierung]] <math>\vec M = (M_x, M_y)</math> und somit ein [[Vektor]] in der XY-Ebene. Ein [[Phasenübergang]] kann für zwei- und höherdimensionale Gitter auftreten. In zwei Dimensionen ist dies ''kein'' normaler kontinuierlicher Phasenübergang oder [[Phasenübergang #Klassifikation nach Ehrenfest|Phasenübergang erster Ordnung]], sondern der durch keinen herkömmlichen lokalen Ordnungsparameter beschreibbare [[Kosterlitz-Thouless-Übergang]]. Dieser ist der Hauptgrund, warum das XY-Modell für die [[theoretische Physik]] interessant ist.

== Siehe auch ==
* [[Hexatische Phase]]

== Weblinks ==
* [https://itp.tugraz.at/MML/isingxy/isingxyapplet/isingxymedium.html Java-Applet zur Visualisierung des Ising- und XY-Modells]
== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Statistische Physik]]
[[Kategorie:Magnetismus]]

XY-Modell - Versionsgeschichte

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