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2026-04-30T22:46:46Z

Positive Wurzeln, einfache Wurzeln

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{{Dieser Artikel|behandelt den Begriff im mathematischen Sinne. Für die biologische Bedeutung siehe [[Wurzel (Pflanze)]].}}

'''Wurzelsysteme''' dienen in der [[Mathematik]] als Hilfsmittel zur Klassifikation der endlichen [[Spiegelungsgruppe]]n und der endlich[[Dimension (Mathematik)|dimensionalen]] [[Halbeinfache Lie-Algebra|halbeinfachen]] komplexen [[Lie-Algebra|Lie-Algebren]].

== Definitionen ==

Eine Teilmenge <math>R</math> eines [[Vektorraum]]s <math>V</math> über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> der [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] 0 heißt ''Wurzelsystem'', falls sie die folgenden Bedingungen erfüllt:

# <math>R</math> ist endlich.
# <math>R</math> ist ein lineares Erzeugendensystem von <math>V</math>.
# Zu jedem <math>\alpha\in R</math> gibt es eine eindeutige [[Linearform]] <math>\alpha^\vee\in V^*</math> mit den Eigenschaften:
#* Für <math>\beta\in R</math> gilt <math>\alpha^\vee(\beta)\in\mathbb{Z}</math>.
#* <math>\alpha^\vee(\alpha)=2</math>.
#* Die lineare Abbildung <math>s_\alpha\colon V\to V</math> mit <math>s_\alpha(x)=x-\alpha^\vee(x)\cdot\alpha</math> bildet <math>R</math> auf <math>R</math> ab.

Die <math>\alpha\in R</math> heißen ''Wurzeln.''

Ein ''reduziertes Wurzelsystem'' liegt vor, falls zusätzlich Folgendes gilt:
:4. Sind zwei Wurzeln <math>\alpha,\beta</math> linear abhängig, so gilt <math>\alpha=\pm\beta</math>

Die Linearform <math>\alpha^\vee</math> wird die ''Kowurzel'' zu <math>\alpha</math> genannt; die Bezeichnung ist dadurch gerechtfertigt, dass die Kowurzeln ein Wurzelsystem im [[Dualraum]] <math>V^*</math> bilden.
Die Abbildung <math>s_\alpha</math> ist eine [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelung]] und natürlich ebenfalls eindeutig bestimmt.

Sind <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> zwei Wurzeln mit <math>\alpha^\vee(\beta)=0</math>, so kann man zeigen, dass auch <math>\beta^\vee(\alpha)=0</math> gilt, und man nennt <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> ''orthogonal'' zueinander.
Kann man das Wurzelsystem derart als Vereinigung <math>R=R_1\cup R_2</math> zweier nicht-leerer Teilmengen schreiben, dass jede Wurzel in <math>R_1</math> orthogonal zu jeder Wurzel in <math>R_2</math> ist, so heißt das Wurzelsystem ''reduzibel''. In diesem Fall lässt sich auch <math>V</math> in eine direkte Summe <math>V_1\oplus V_2</math> zerlegen, sodass <math>R_1\subseteq V_1</math> und <math>R_2\subseteq V_2</math> Wurzelsysteme sind. Ist hingegen ein nicht-leeres Wurzelsystem nicht reduzibel, so heißt es ''irreduzibel''.

Die Dimension des Vektorraums <math>V</math> heißt ''Rang'' des Wurzelsystems. Eine Teilmenge <math>\Pi</math> eines Wurzelsystems <math>R</math> heißt ''Basis'', falls <math>\Pi</math> eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] von <math>V</math> ist und jedes Element von <math>R</math> als ganzzahlige Linearkombination von Elementen von <math>\Pi</math> mit ausschließlich positiven oder ausschließlich negativen Koeffizienten dargestellt werden kann.

Zwei Wurzelsysteme <math>R\subset V</math> und <math>R'\subset V'</math> sind genau dann zueinander ''[[Isomorphismus|isomorph]]'', wenn es einen Vektorraumisomorphismus <math>\varphi\colon V \to V'</math> mit <math>\varphi(R)=R'</math> gibt.

== Skalarprodukt ==

Man kann auf <math>V</math> ein [[Skalarprodukt]] definieren, bezüglich dessen die Abbildungen <math>s_\alpha</math> Spiegelungen sind. Im reduziblen Fall kann man dieses aus Skalarprodukten auf den Komponenten zusammensetzen. Falls jedoch <math>R</math> irreduzibel ist, so ist dieses Skalarprodukt sogar bis auf einen Faktor eindeutig. Man kann dieses noch so normieren, dass die kürzesten Wurzeln die Länge 1 haben.

Man kann also im Prinzip davon ausgehen, dass ein Wurzelsystem in einem <math>K^n</math> (meist <math>\mathbb{R}^n</math>) mit dessen [[Standardskalarprodukt]] „lebt“. Die Ganzzahligkeit von <math>\alpha^\vee(\beta)</math> und <math>\beta^\vee(\alpha)</math> bedeutet dann eine erhebliche Einschränkung für die möglichen Winkel zwischen zwei Wurzeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Es ergibt sich nämlich aus
:<math>\langle\alpha,\beta\rangle =\sqrt{\langle\alpha,\alpha\rangle\langle\beta,\beta\rangle} \cdot\cos\measuredangle(\alpha,\beta),</math>
dass <math>4 \cos^2\measuredangle(\alpha,\beta)</math> ganzzahlig sein muss, was nur für die Winkel 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180° der Fall ist. Zwischen zwei verschiedenen Wurzeln einer Basis sind sogar nur die Winkel 90°, 120°, 135°, 150° möglich. All diese Winkel treten tatsächlich auf, vgl. die Beispiele vom Rang 2. Weiter ergibt sich, dass auch für das Längenverhältnis zweier Wurzeln in derselben irreduziblen Komponente nur endlich viele Werte möglich sind.

== Weylgruppe ==

Die Untergruppe der [[Automorphismus|Automorphismengruppe]] von <math>V</math>, die von der Menge der [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelungen]] <math>\{s_\alpha \mid \alpha \in R\}</math> erzeugt wird, heißt ''Weylgruppe'' (nach [[Hermann Weyl]]) und wird im Allgemeinen mit <math>W</math> bezeichnet. Bezüglich des definierten Skalarproduktes sind alle Elemente der Weylgruppe orthogonal, die <math>s_\alpha</math> sind Spiegelungen.

Die Gruppe <math>W</math> [[Gruppenoperation#Stabilisator|operiert treu]] auf <math>R</math> und ist daher immer endlich. Ferner operiert <math>W</math> [[Gruppenoperation#Bahn|transitiv]] auf der Menge der Basen von <math>R</math>.

Im Fall <math>K=\mathbb{R}</math> zerlegen die Spiegelungsebenen der <math>s_\alpha</math> den Raum jeweils in Halbräume, insgesamt in mehrere offene konvexe Teilmengen, die sogenannten ''Weylkammern''.
Auch auf diesen operiert <math>W</math> transitiv.

== Positive Wurzeln, einfache Wurzeln ==

Nach Wahl einer [[Weyl-Kammer]] <math>\mathfrak{a}^+</math> kann man die Menge der ''positiven Wurzeln'' (genannt die ''fundamentale Weyl-Kammer'') definieren durch
:<math>R^+:=\left\{\alpha\in R \mid \forall x\in\mathfrak{a}^+\colon \alpha^\vee(x)>0\right\}</math>.
Dies definiert eine Anordnung auf <math>R</math> durch
:<math>\alpha>\beta \Longleftrightarrow \alpha-\beta \in \mathbb Z_{\ge0}R^+</math>.
Die positiven bzw. negativen Wurzeln sind also diejenigen mit <math>\alpha>0</math> bzw. <math>\alpha <0</math>. Man beachte, dass diese Definition von der Wahl der Weyl-Kammer abhängt. Zu jeder Weyl-Kammer erhält man eine Anordnung.

Eine ''einfache Wurzel'' ist eine positive Wurzel, die sich nicht als Summe mehrerer{{FNZ|*)|Die englische Version sagt, dass es hinreichend ist, die Wurzeln auszuschließen, die die Summe zweier positiver Wurzeln sind.}}positiver Wurzeln zerlegen lässt.

Die einfachen Wurzeln bilden eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] von <math>V</math>. Jede positive (negative) Wurzel lässt sich als [[Linearkombination]] einfacher Wurzeln mit [[nichtnegativ]]en ([[nichtpositiv]]en) Koeffizienten zerlegen.

== Beispiele ==

Die [[leere Menge]] ist das einzige Wurzelsystem vom Rang 0 und ist auch das einzige Wurzelsystem, das weder reduzibel noch irreduzibel ist.

Es gibt bis auf Isomorphie nur ein reduziertes Wurzelsystem vom Rang 1. Es besteht aus zwei von 0 verschiedenen Wurzeln <math>\{\alpha,-\alpha\}</math> und wird mit <math>A_1</math> bezeichnet. Betrachtet man auch nicht-reduzierte Wurzelsysteme, so ist <math>\{-2\alpha,-\alpha,\alpha,2\alpha\}</math> das einzige weitere Beispiel von Rang 1.

Alle reduzierten Wurzelsysteme vom Rang 2 haben, bis auf Isomorphie, eine der folgenden Formen. <math>(\alpha,\beta)</math> ist jeweils eine Basis des Wurzelsystems.

{| class="wikitable centered"
|+Reduzierte Wurzelsysteme vom Rang 2
| [[Datei:Root-system-A1xA1.png|200px|Root system A1×A1]]
| [[Datei:Root-system-A2-v1.png|200px|Root system A2]]
|-
| Wurzelsystem A1 × A1
| Wurzelsystem A2
|-
| [[Datei:Root-system-B2.png|200px|Root system B2]]
| [[Datei:Root-system-G2.png|200px|Root system G2]]
|-
| Wurzelsystem B2
| Wurzelsystem G2
|}

Im ersten Beispiel, <math>A_1 \times A_1</math>, ist das Verhältnis der Längen von <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> beliebig, in den anderen Fällen dagegen durch die geometrischen Gegebenheiten eindeutig bestimmt.

== Klassifikation ==

Bis auf [[Isomorphismus|Isomorphie]] ist sämtliche Information über ein reduziertes Wurzelsystem <math>R</math> in seiner [[Cartan-Matrix]]

:<math>C(R)=(\beta^\vee(\alpha))_{\alpha,\beta\in\Pi}</math>

enthalten. Man kann dies auch in Form eines ''[[Eugene Dynkin|Dynkin]]-Diagramms'' darstellen. Dazu setzt man für jedes Element einer Basis einen Punkt und verbindet die Punkte α und β durch Striche, deren Anzahl durch

:<math>\beta^\vee(\alpha)\alpha^\vee(\beta)</math>

bestimmt wird. Sind dies mehr als einer, so setzt man zusätzlich zwischen beide Punkte ein Relationszeichen > bzw. <, d. h. einen „Pfeil“ in Richtung der kürzeren Wurzel. Die Zusammenhangskomponenten des Dynkin-Diagramms entsprechen genau den irreduziblen Komponenten des Wurzelsystems. Als Diagramm eines irreduziblen Wurzelsystems können nur auftreten:

[[Datei:Irreduzible Wurzelsysteme.png]]

Der Index <math>n</math> gibt hierbei jeweils den Rang und damit die Anzahl der Punkte im Diagramm an.
Aus den Dynkin-Diagrammen kann man mehrere Identitäten für Fälle kleineren Ranges ablesen, nämlich:

* <math>A_1 = B_1 = C_1</math>
* <math>B_2 = C_2</math>
* <math>A_3 = D_3</math>

Deshalb bildet beispielsweise <math>B</math> erst ab <math>n=2</math> und <math>D</math> erst ab <math>n=4</math> eine eigenständige Klasse.
Die zu den Serien <math>A_n</math> bis <math>D_n</math> gehörenden Wurzelsysteme werden auch als ''klassische Wurzelsysteme'' bezeichnet, die übrigen fünf als ''exzeptionelle'' oder ''Ausnahme-Wurzelsysteme''.
Alle genannten Wurzelsysteme treten beispielsweise auch auf als Wurzelsysteme halbeinfacher komplexer Lie-Algebren.

=== Nicht reduzierte Wurzelsysteme ===

Für irreduzible, nicht reduzierte Wurzelsysteme gibt es nur wenige Möglichkeiten, die gedacht werden können als die Vereinigung eines <math>B_n</math> mit einem <math>C_n</math> (<math>n\geq 1</math>) bzw. als ein <math>B_n</math>, bei dem für jede kurze Wurzel deren Doppeltes hinzugenommen wurde.

== Weitere Anwendungen ==

=== Lie-Algebren ===

Es sei <math>\mathfrak{g}</math> eine endlich-dimensionale halbeinfache Lie-Algebra und <math>\mathfrak{a}\subset\mathfrak{g}</math> eine [[Cartan-Unteralgebra]]. Dann heißt <math>\alpha\in \mathfrak{a}</math> eine Wurzel, wenn
:<math>\mathfrak{g}_\alpha:=\left\{Y\in\mathfrak{g} \mid \forall X\in\mathfrak{a}\colon \left[X,Y\right]=\alpha^\vee(X)Y\right\}\not=\left\{0\right\}</math>
gilt. Hierbei ist <math>\alpha^\vee\in\mathfrak{a}^*</math> die mittels der [[Killing-Form]] <math>B</math> durch
:<math>\forall X\in\mathfrak{a}\colon \alpha^\vee(X)=2\frac{B(\alpha,X)}{B(\alpha,\alpha)}</math>
definierte lineare Abbildung.

Sei <math>R\subset\mathfrak{a}</math> die Menge der Wurzeln, dann kann man zeigen, dass
:<math>(\mathfrak{a},R)</math>
ein Wurzelsystem ist.

==== Eigenschaften ====

Dieses Wurzelsystem hat folgende Eigenschaften:
# <math>\mathfrak{a}(\R):=\left\{a\in\mathfrak{a} \mid \forall\alpha\in R\colon \alpha^\vee(a)\in\R\right\}</math> ist eine [[reelle Form]] von <math>\mathfrak{a}</math>.
# Für <math>\alpha\in R</math> gilt <math>n\alpha\in R</math> genau dann, wenn <math>n=\pm 1</math>.
# Für alle <math>\alpha\in R</math> gilt <math>\operatorname{dim}(\mathfrak{g}_\alpha)=1</math>.
# Für alle <math>\alpha,\beta\in R</math> gilt <math>\mathfrak{g}_{\alpha+\beta}=\left[\mathfrak{g}_\alpha,\mathfrak{g}_\beta\right]</math>, insbesondere <math>\left[\mathfrak{g}_\alpha,\mathfrak{g}_{-\alpha}\right]\subset\mathfrak{a}</math>.
# <math>\mathfrak{g}_\alpha, \mathfrak{g}_{-\alpha}, \left[\mathfrak{g}_\alpha,\mathfrak{g}_{-\alpha}\right]</math> spannen eine zur Lie-Algebra <math>\mathfrak{sl}(2,\C)</math> isomorphe Lie-Algebra auf.
# Für <math>\alpha\not=\pm\beta</math> gilt <math>B(\mathfrak{g}_\alpha,\mathfrak{g}_\beta)=0</math>, d. h., die Wurzelräume sind bzgl. der [[Killing-Form]] orthogonal. Die Einschränkung der Killing-Form auf <math>\mathfrak{a}</math> und <math>\mathfrak{g}_\alpha\oplus\mathfrak{g}_{-\alpha}</math> ist nicht-entartet. Die Einschränkung der Killing-Form auf <math>\mathfrak{a}(\R)</math> ist reell und positiv definit.

Endlich-dimensionale [[Halbeinfache Lie-Algebra|halbeinfache komplexe Lie-Algebren]] werden durch ihre Wurzelsysteme, also durch ihre Dynkin-Diagramme, klassifiziert.

==== Beispiel ====

Es sei <math>\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(n,\R)</math>. Die Killing-Form ist <math>B(X,Y)=2n\operatorname{Tr}(XY)</math>, eine Cartan-Unteralgebra <math>\mathfrak{a}</math> ist die Algebra der Diagonalmatrizen mit Spur 0, also <math>\mathfrak{a}=\left\{\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) \mid \lambda_1+\dotsb+\lambda_n=0\right\}</math>. Wir bezeichnen mit <math>e_i</math> die Diagonalmatrix mit <math>i</math>-tem Diagonaleintrag <math>\lambda_i=1</math> und den anderen Diagonaleinträgen gleich 0.

Das Wurzelsystem von <math>\mathfrak{a}</math> ist <math>R=\left\{e_i-e_j \mid 1\le i \not = j\le n\right\}</math>. Die zu <math>\alpha=e_i-e_j</math> duale Form <math>\alpha^\vee\in\mathfrak{a}^*</math> ist
:<math>\alpha^\vee(\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n))=\lambda_i-\lambda_j</math>.

Als positive [[Weyl-Kammer]] kann man
:<math>\mathfrak{a}^+ = \left\{\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) \mid \lambda_1>\ldots>\lambda_n, \lambda_1+\dotsb+\lambda_n = 0\right\}</math>
wählen. Die positiven Wurzeln sind dann
:<math>R^+=\left\{e_i-e_j \mid 1\le i < j\le n\right\}</math>.
Die einfachen Wurzeln sind
:<math>\left\{e_i-e_{i+1} \mid 1\le i\le n-1\right\}</math>.

=== Spiegelungsgruppen ===

Eine Coxeter-Gruppe ist abstrakt definiert als [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] mit [[Präsentation einer Gruppe|Präsentation]]

:<math>\left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle</math>

mit <math>m_{ii}=1</math> und <math>m_{ij}\geq 2</math> für <math>i\neq j</math>, sowie der Konvention <math>m_{ij} = \infty</math>, falls <math>(r_i r_j)</math> unendliche [[Ordnung eines Gruppenelementes|Ordnung]] hat, d. h., wenn es keine Relation der Form <math>(r_ir_j)^m = 1</math> gibt.

Coxeter-Gruppen sind eine Abstraktion des Begriffs der [[Spiegelungsgruppe]].

Jeder Coxeter-Gruppe entspricht ein ungerichtetes Dynkin-Diagramm. Die Punkte des Diagramms entsprechen den Erzeugern <math>r_1,r_2,\ldots,r_n</math>. Die <math>r_i</math> und <math>r_j</math> entsprechenden Punkte werden durch <math>m_{ij}</math> Kanten verbunden.

=== Singularitäten ===

Nach [[Wladimir Arnold]] lassen sich [[Katastrophentheorie (Mathematik)#Elementare Katastrophen|Elementare Katastrophen]] durch Dynkin-Diagramme vom Typ ADE klassifizieren:

* <math>A_0</math> – ein nicht-singulärer Punkt, <math>V = x</math>
* <math>A_1</math> – ein lokales Extremum, entweder ein stabiles Minimum oder ein instabiles Maximum <math>V = \pm x^2 + a x</math>
* <math>A_2</math> – die Faltung, fold
* <math>A_3</math> – die Spitze, cusp
* <math>A_4</math> – der Schwalbenschwanz, swallowtail
* <math>A_5</math> – der Schmetterling, butterfly
* <math>A_k</math> – eine unendliche Folge von Formen in einer Variablen <math>V = x^{k+1}+\dotsb</math>
* <math>D_4^-</math> – die elliptische [[umbilische Katastrophe]]
* <math>D_4^+</math> – die hyperbolische umbilische Katastrophe
* <math>D_5</math> – die parabolische umbilische Katastrophe
* <math>D_k</math> – eine unendliche Folge weiterer umbilischer Katastrophen
* <math>E_6</math> – die umbilische Katastrophe <math>V = x^3 + y^4 + axy^2 + bxy + cx + dy</math>
* <math>E_7</math>
* <math>E_8</math>

== Weblinks ==

{{Commonscat|Root systems|Wurzelsystem}}
{{Wikibooks|Beweisarchiv: Lie-Algebren: Wurzelsysteme: Klassifikation von Wurzelsystemen|Ausführlicher Beweis der Klassifikation}}
{{Wiktionary}}

== Literatur ==

* [[Jean-Pierre Serre]]: [https://prclare.people.wm.edu/m410f23/Serre_Complex_semisimple_Lie_algebras.pdf ''Complex Semisimple Lie Algebras.''] Springer, Berlin 2001.
* Thomas Leistner: [http://www.maths.adelaide.edu.au/thomas.leistner/2012-Lie/TopicD2012-handout4-classical.pdf ''The classical Lie algebras and their root systems.''] University of Adelaide, 2012.

[[Kategorie:Theorie der Lie-Algebren]]

Wurzelsystem - Versionsgeschichte

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