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2025-08-20T01:57:05Z

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Das '''Wurzelkriterium''' ist ein [[Mathematik|mathematisches]] [[Konvergenzkriterium]] für [[unendliche Reihe]]n. Es basiert, wie das [[Quotientenkriterium]], auf einem Vergleich mit einer [[geometrische Reihe|geometrischen Reihe]].

Die Grundidee ist folgende: Eine geometrische Reihe mit positiven, reellen Gliedern [[Grenzwert (Folge)|konvergiert]] [[Logische Äquivalenz|genau dann, wenn]] der Quotient <math>q</math> aufeinanderfolgender Glieder kleiner als eine Konstante kleiner als 1 ist. Die <math>n</math>-te Wurzel des <math>n</math>-ten Summanden dieser geometrischen Reihe strebt gegen <math>q</math>. Verhält sich eine andere Reihe genauso, ist auch sie konvergent. Da es sich sogar um [[absolute Konvergenz]] handelt, kann die Regel verallgemeinert werden, indem man die Beträge betrachtet.

Das Wurzelkriterium wurde zuerst 1821 vom französischen Mathematiker [[Augustin Louis Cauchy]] in seinem Lehrbuch „Cours d'analyse“ veröffentlicht<ref>Siehe [http://hsm.stackexchange.com/a/2862/1772 die Antwort auf die Frage „Where is the root test first proved“] der Q&A Webseite „History of Science and Mathematics“</ref>. Deswegen wird es auch „Wurzelkriterium von Cauchy“ genannt.

== Formulierungen ==
[[Datei:Entscheidungsbaum für das Wurzelkriterium.svg|mini|Entscheidungsbaum für das Wurzelkriterium]]
Sei eine unendliche Reihe <math>S = \sum_{n=0}^\infty a_n</math> mit reellen oder komplexen Summanden <math>a_n</math> gegeben. Falls man nun
:<math>\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}<1</math> (<math>\limsup</math> steht hier für den [[Limes superior und Limes inferior|Limes superior]]) oder äquivalent
: <math>\sqrt[n]{|a_{n}|}\le C</math> für ein <math>C < 1</math> und [[fast alle]] Indizes <math>n</math>
nachweisen kann, so ist die Reihe <math>S</math> [[Absolute Konvergenz|absolut konvergent]]. D. h. die Reihe <math>S</math> selbst und auch die Reihe <math>\sum_{n=0}^\infty |a_n|</math> konvergiert.

Ist jedoch
:<math>\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}> 1</math> oder allgemeiner
:<math>\sqrt[n]{|a_n|} \ge 1</math> für unendlich viele Indizes <math>n</math>,
so divergiert die Reihe, da die Reihenglieder keine [[Nullfolge]] bilden.

Im Fall
:<math>\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}= 1</math> und
:<math>\sqrt[n]{|a_n|} < 1</math> für [[fast alle]] Indizes <math>n</math>
lässt sich nichts über die Konvergenz der Reihe aussagen. So lässt sich beispielsweise mit dem ''[[Wurzel (Mathematik)|Wurzel]]''kriterium keine Aussage über die Konvergenz der [[Harmonische Reihe|allgemeinen harmonischen Reihe]] <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}</math> für <math>\alpha\ge 1</math> machen, da
:<math>\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1/n^\alpha}=\left(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1/n}\right)^\alpha= 1</math>.
Für <math>\alpha=1</math> ist die allgemeine harmonische Reihe divergent, für <math>\alpha>1</math> konvergent; das Wurzelkriterium kann aber die beiden Fälle nicht unterscheiden.

== Beispiele ==

'''Beispiel 1.''' Wir untersuchen die Reihe
:<math> \sum_{n=1}^\infty \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{n^2} </math>
auf Konvergenz. Über das Wurzelkriterium erhalten wir:
:<math> \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( 1 - \frac1n \right)^{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac1n\right)^{n} = \frac{1}{e} < 1 </math>
mit der [[Eulersche Zahl|eulerschen Zahl]] <math> e </math>. Somit ist diese Reihe konvergent.

'''Beispiel 2.''' Wir prüfen nun die Reihe
:<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{2^n n!} </math>
auf Konvergenz. Wir erhalten:
:<math> \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n^n}{2^n n!}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \cdot \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} = \frac{e}{2} > 1. </math>
Somit ist diese Reihe divergent.

== Beweisskizze ==

Das Wurzelkriterium wurde erstmals von Augustin Louis Cauchy bewiesen. Es folgt mit dem [[Majorantenkriterium]] aus Eigenschaften der [[geometrische Reihe|geometrischen Reihe]]:

*Denn gilt für alle <math>n\in\mathbb N:\;\sqrt[n]{|a_{n}|}\le C<1</math>, so ist das Majorantenkriterium <math>\forall n\in\mathbb N:\;|a_{n}|\le C^n</math> mit einer konvergenten geometrischen Reihe <math>\sum_{n=0}^\infty C^n=\frac1{1-C}</math> als Majorante erfüllt.

*Daran ändert sich auch nichts, falls dieses Kriterium für die ersten ''N'' Glieder der Reihe nicht erfüllt ist.

*Gilt <math>\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}=C<1</math>, so ist <math>\sqrt[n]{|a_{n}|}\le \frac{1+C}2<1</math> für [[fast alle]] ''n'' erfüllt, nach Definition des größten [[Häufungspunkt]]es, womit wieder eine Majorante konstruiert werden kann.

== Restgliedabschätzung ==

Ist die Reihe nach dem Wurzelkriterium konvergent, erhält man noch eine Fehlerabschätzung, d. h. eine Abschätzung des Restglieds der Summe nach N Summanden:
:<math>S-S_N = \sum_{n=N+1}^\infty a_n \le C^{N+1} \frac1{1-C}</math>.

== Das Wurzelkriterium ist schärfer als das Quotientenkriterium ==
Sei <math>(a_n)\,</math> eine positive Folge und sei

:<math>\alpha=\liminf \frac{a_{n+1}}{a_n} \quad , \quad \alpha'=\liminf \sqrt[n]{a_n} \quad , \quad
\beta'=\limsup \sqrt[n]{a_n} \quad , \quad \beta=\limsup \frac{a_{n+1}}{a_n}</math>.

Liefert bei einer Reihe das [[Quotientenkriterium]] eine Entscheidung
(das heißt <math>\beta<1</math> im Falle der Konvergenz bzw. <math>\alpha>1</math> im Falle der Divergenz),
so liefert auch das Wurzelkriterium eine Entscheidung
(das heißt <math>\beta'<1</math> im Falle der Konvergenz bzw. <math>\alpha'>1</math> im Falle der Divergenz).

Dies wird induziert durch die Ungleichungskette
:<math>0\le \alpha\le \alpha'\le \beta'\le \beta\le \infty.</math>

Ist ohne Einschränkung <math>\alpha>0\,</math> und <math>\beta<\infty</math>, so gibt es zu jedem noch so kleinen, aber positiven <math>\varepsilon</math> (<math><\alpha\,</math>) eine Indexschranke <math>m</math>,
ab der gilt:
: <math>\alpha-\varepsilon<\frac{a_{k+1}}{a_k}<\beta+\varepsilon \qquad \forall k\ge m.</math>

Multipliziert man die [[Ungleichung]] von <math>k=m</math> bis <math>n-1</math> durch, so erhält man in der Mitte ein [[Teleskopsumme|Teleskopprodukt]]:

:<math>(\alpha-\varepsilon)^{n-m}<\frac{a_n}{a_m}<(\beta+\varepsilon)^{n-m}.</math>

Multipliziert man anschließend mit <math>a_m</math> durch und zieht die <math>n</math>-te Wurzel, so ist
:<math>\sqrt[n]{a_m}\,(\alpha-\varepsilon)^{1-\frac{m}{n}}<\sqrt[n]{a_n}<\sqrt[n]{a_m}\,(\beta+\varepsilon)^{1-\frac{m}{n}}.</math>

Für <math>n\to\infty</math> konvergiert die linke Seite gegen <math>\alpha-\varepsilon</math> und die
rechte Seite gegen <math>\beta+\varepsilon</math>. Daher ist

:<math>\alpha-\varepsilon\le \liminf \sqrt[n]{a_n}</math>     und     <math>\limsup \sqrt[n]{a_n}\le \beta+\varepsilon.</math>

Da <math>\varepsilon\,</math> beliebig klein gewählt werden kann, folgt daher

:<math>\alpha\le \alpha'</math>     und     <math>\beta'\le \beta.</math>

Sind beispielsweise die Reihenglieder <math>a_{2n}=\frac1{2^{2n}}</math> und <math>a_{2n+1}=\frac4{2^{2n+1}}</math>, dann ist
<math>\frac{a_{2n+1}}{a_{2n}}=2</math> und <math>\frac{a_{(2n+1)+1}}{a_{2n+1}}=\frac18</math>.

Hier ist <math>\alpha=\frac18\le 1</math> und <math>\beta=2\ge 1</math>, wonach das Quotientenkriterium
keine Entscheidung liefert.

Das Wurzelkriterium liefert hier aber eine Entscheidung, weil <math>\alpha'=\beta'=\lim \sqrt[n]{a_n}=\frac12</math> ist.

Aus <math>\beta'=\frac12<1</math> folgt die Konvergenz von <math>\sum a_n</math>.
Das Wurzelkriterium ist also echt schärfer als das Quotientenkriterium.<ref name="Knopp161">Konrad Knopp: ''Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen.'' 5. Aufl. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1964, ISBN 3-540-03138-3. S. 286, Satz '''161'''</ref>

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium}}

== Quellen ==
<references />

[[Kategorie:Konvergenzkriterium]]

Wurzelkriterium - Versionsgeschichte

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