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2025-01-06T00:08:29Z

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Die '''Woldsche Zerlegung''' bezeichnet eine spezielle Zerlegung in der [[Zeitreihenanalyse]], einem Teilgebiet der [[Mathematische Statistik|mathematischen Statistik]].

== Hauptteil ==
Die Zerlegung ist nach [[Herman Wold]] benannt, der 1938 zeigte, dass die [[Zufallsvariable]]n <math> x_t </math> eines zeitdiskreten [[Kovarianzstationarität|kovarianzstationären]]<ref>Hier in dem Sinn gebraucht, dass die Kovarianz Cov (<math>x_t, x_s</math>) nur von der Zeitdifferenz (t-s) abhängt. Kirchgässner, Wolters, Hassner, Introduction to modern time series analysis, Springer 2013, S. 14 (schwach stationär wird dort als Kovarianz- und Mittelwert-stationär definiert)</ref>, nicht-deterministischen [[stochastischer Prozess|stochastischen Prozesses]] in zwei Teile zerlegt werden können:
* in einen deterministischen Anteil <math> \mu_t</math> und
* in einen rein nicht-deterministischen Anteil, der durch [[Faltung (Mathematik)|Glättung]] von Zufallsvariablen <math> u_t</math> entsteht. Insgesamt:
:<math> x_t =\mu_t+\sum_{j=0}^{\infty}\psi_ju_{t-j}</math>

Die Zufallsvariablen <math>u_t</math> haben den [[Erwartungswert]] null und eine konstante [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] und sind paarweise [[unkorreliert]]:
:<math>\operatorname{E}(u_t) = 0</math> und <math>\operatorname{E}(u_tu_s) = \begin{cases} \sigma^2 & \mathrm{f\ddot{u}r} \quad t = s \\
0 & \text{sonst} \end{cases} </math>

Die Glättungsfolge der <math> \psi_j</math> ist
* möglicherweise unendlich lang (kann aber auch endlich sein)
* quadratsummabel: <math>\sum_{j=0}^{\infty}|\psi_j |^2 < \infty </math>
*„kausal“ (es gibt keine Terme <math>j < 0</math>)
*die <math> \psi_j</math> sind konstant (also unabhängig von der Zeit <math>t</math>)

Üblicherweise wird gesetzt:
:<math> \psi_0=1</math>

Der rein-nicht-deterministische Anteil <math>(u_t)</math> wird auch ''[[Weißes Rauschen (Physik)|weißes Rauschen]]'' genannt. Eine lineare deterministische Komponente wie <math>\mu_t</math> kann aufgrund ihrer eigenen vergangenen Werte perfekt vorhergesagt werden (kann aber auch Zufallselemente enthalten). Der deterministische Teil kann einen zeitlich konstanten Mittelwert haben, umfasst aber auch zum Beispiel periodische, polynomiale oder exponentielle Folgen in den Zeitpunkten <math>t</math>.

Die geforderte quadratische Konvergenz der Reihe der <math>\psi_j</math> garantiert die Existenz der zweiten [[Moment (Stochastik)|Momente]] des Prozesses. Für die Gültigkeit dieser Zerlegung müssen keine [[Verteilung (Statistik)|Verteilungsannahme]]n getroffen werden und <math>u_t</math> muss nicht unabhängig sein; es genügt [[Unkorreliertheit]].

Für den Erwartungswert erhält man
<math>\operatorname{E}(x_t - \mu_t) = \operatorname{E} \left(\sum_{j=0}^{\infty} \psi_ju_{t-j}\right) = \sum_{j=0}^{\infty} \psi_j\operatorname{E}(u_{t-j})=0</math>

das heißt, es gilt:

: <math> \operatorname{E}(x_t) = \mu_t</math>

Die Varianz berechnet sich folgendermaßen:

:<math>\operatorname{V}(x_t) = \operatorname{E}[(x_t-\mu_t)^2] = \operatorname{E} [(u_t + \psi_1u_{t-1} + \psi_2u_{t-2} + \cdots)^2]</math>

Wegen <math>\operatorname{E}(u_tu_{t-j}) = 0</math> für<math> j \ne 0</math> vereinfacht sich dieser Ausdruck zu

: <math>\operatorname{V}(x_t) = \operatorname{E}(u_t^2)+\psi_1^2\operatorname{E}(u_{t-1}^2)+\psi_2^2\operatorname{E}(u_{t-2}^2)+ \cdots = \sigma^2\sum_{j=0}^{\infty} \psi_j^2</math>

Die Varianz ist somit endlich und zeitunabhängig. Entsprechend erhält man mit <math> \tau > 0 </math> die [[Autokovarianz]]en

:<math>
\begin{align}
& {} \qquad \operatorname{Cov}(x_t,x_{t+\tau}) = \operatorname{E}[(x_t - \mu_t)(x_{t+\tau} - \mu_{t+\tau})] \\
& = \operatorname{E}\left[(u_t + \psi_1u_{t-1} + \cdots + \psi_\tau u_{t-\tau} + \psi_{\tau + 1} u_{t - \tau - 1} + \cdots)\right. \\
& {} \qquad\qquad \left.(u_{t + \tau} + \psi_1u_{t + \tau - 1} + \cdots + \psi_\tau u_t + \psi_{\tau+1} u_{t-1} + \cdots)\right] \\
& = \sigma^2 (\psi_\tau + \psi_1 \psi_{\tau + 1} + \psi_2 \psi_{\tau + 2} + \cdots) \\
& = \sigma^2\sum_{j=0}^\infty \psi_j\psi_{\tau+j} < \infty
\end{align}
</math>

mit <math>\psi_0 = 1</math>. Man sieht, dass die Autokovarianzen nur eine Funktion der Zeitdifferenz <math>\tau</math> sind. Somit sind alle Bedingungen für die [[Kovarianzstationarität]] erfüllt. Die [[Autokorrelationsfunktion]] lässt sich wie folgt schreiben:

:<math>\rho(\tau) = \frac{\sum_{j=0}^{\infty} \psi_j \psi_{\tau + j}}{\sum_{j=0}^{\infty} \psi^2_j}\text{ mit }\tau = 1, 2, 3, \dots</math>

Beispielsweise lassen sich [[ARMA-Modell]]e in die Woldsche Darstellung bringen. Diese Darstellung ist eher von theoretischem Interesse, denn in praktischen Anwendungen sind Modelle mit unendlich vielen Parametern unbrauchbar.

== Wold-Zerlegung in der Funktionalanalysis ==
Es gibt auch eine Wold’sche Zerlegung in der [[Funktionalanalysis]], siehe [[Shiftoperator]].

== Literatur ==
*Herman Wold ''A Study in the Analysis of Stationary Time Series'', Stockholm: Almquist und Wicksell 1938
* Gerhard Kirchgässner, Jürgen Wolters: ''Einführung in die moderne Zeitreihenanalyse'', 1. Auflage, München: Vahlen, 2006, ISBN 978-3-800-63268-8, S. 19f

== Siehe auch ==
* [[ARMA-Modell]]
== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Ökonometrie]]
[[Kategorie:Zeitreihenanalyse]]

Woldsche Zerlegung - Versionsgeschichte

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