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2025-07-21T18:45:10Z

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{{Dieser Artikel|erläutert den Begriff der [[Mikroökonomie]]. Für eine allgemeine Betrachtung siehe [[Wohlfahrt]].}}
Eine '''Wohlfahrtsfunktion''' ist in der [[Volkswirtschaftslehre]] eine [[Funktion (Mathematik)|mathematische Funktion]] zur Beschreibung des [[Nutzen (Wirtschaft)|Gesamtnutzens]] der [[Bevölkerung]] in einer [[Volkswirtschaft]]. Sie ist damit die Zusammenfassung der [[Nutzenfunktion (Mikroökonomie)|Nutzenfunktion]]en der einzelnen Individuen der Volkswirtschaft. Wohlfahrtsfunktionen sind Themen der [[Multi-Agenten-Ressourcen-Allokation]].

== Allgemeines ==
Wohlfahrtsfunktionen sind die formale Darstellung der [[Aggregation (Wirtschaft)|Aggregation]] individueller [[Wohlfahrt]]svorstellungen.<ref>[https://www.google.de/books/edition/Gabler_Kompakt_Lexikon_Volkswirtschaft/ANYkBgAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=piekenbrock+wohlfahrt&pg=PA483&printsec=frontcover Dirk Piekenbrock, ''Gabler Kompakt-Lexikon Volkswirtschaft'', 2003, S. 483]</ref> In der [[Wohlfahrtsökonomik]] werden diese Wohlfahrtsfunktionen zur Messung der Wohlfahrt der Bevölkerung herangezogen, da zwischen dieser und den individuellen Nutzenniveaus eine positive [[Korrelation]] besteht.<ref>[https://www.google.de/books/edition/Allgemeine_Volkswirtschaftslehre/HWDpBQAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=Wohlfahrtsfunktion+wohlfahrt&pg=PA212&printsec=frontcover Wolfgang Cezanne, ''Allgemeine Volkswirtschaftslehre'', 2005, S. 212]</ref> Ist die Wohlfahrtsfunktion bekannt, kann der [[Staat]] durch [[Umverteilung]] die Wohlfahrt maximieren.

== Geschichte ==
Das Konzept der Wohlfahrtsfunktion geht auf Arbeiten von [[Abram Bergson]]<ref>Abram Bergson: ''A Reformulation of Certain Aspects of Welfare Economics'', Quarterly Journal of Economics, 52. Jahrgang 1938, 310–334.</ref> und [[Paul A. Samuelson]]<ref>Paul Samuelson: ''Foundations of Economic Analysis'', Harvard University Press, Cambridge 1947, 221.</ref> zurück. [[Kenneth Arrow]] zeigte die eingeschränkte Anwendbarkeit einer reinen Nutzenfunktion mit dem [[Arrow-Theorem|Unmöglichkeitstheorem]], nach dem man verschiedene gegensätzliche [[Präferenz (Wirtschaftswissenschaften)|Präferenz]]en verschiedener Individuen nicht zu einem gesamtgesellschaftlichen Nutzen aggregieren kann. Die neuere Diskussion beruht auf Arbeiten von [[Amartya Sen]] und [[James E. Foster]]. Das Ziel einer beispielsweise auf [[Einkommen]] angewandten Wohlfahrtsfunktion ist es, ein Einkommen zu ermitteln, das jenem Einkommen entspricht, wie es in breiten [[Bevölkerungsschicht]]en wahrgenommen wird. Damit bietet die Wohlfahrtsfunktion eine Alternative zu anderen statistischen Größen wie dem [[Arithmetisches Mittel|Mittelwert]] oder dem [[Median]].

== Arten ==
Die modernen Wohlfahrtsfunktionen wurden nach ihren [[Urheber]]n benannt. Insbesondere sind zu erwähnen:

{| class="wikitable" style="padding:1em; vertical-align:top; border:2px;"
|-
! Wohlfahrtsfunktion
! [[Urheber]]
! Jahr
|-
| Bernoulli-Nash-Wohlfahrtsfunktion || [[Johann I Bernoulli]] / [[John Forbes Nash Jr.]] || 1696 / 1947
|-
| Leontief-Lerner-Wohlfahrtsfunktion || [[Wassily Leontief]] / [[Abba P. Lerner]] || 1934
|-
| [[Bergson-Samuelson-Wohlfahrtsfunktion]] || [[Abram Bergson]] / [[Paul A. Samuelson]] || 1938 / 1947
|-
| [[Rawlssche Wohlfahrtsfunktion]] || [[John Rawls]] || 1971
|}

Die gesellschaftliche Wohlfahrt bestimmt sich [[Jeremy Bentham]] zufolge<ref>Jeremy Bentham, ''An introduction to the Principles of Morals and Legislation'', 1780, S. 1 ff.</ref> aus der Summe der individuellen Einzelnutzen <math>u_i</math> aller Individuen der Gesellschaft für eine [[Ressourcenallokation|Allokation]] <math>x</math>:
:<math>W(x) = \mathrm{u_1}(x) + \mathrm{u_2}(x) + \mathrm{...} + \mathrm{u_N}(x) = \sum_{i}^N \mathrm{u_i}(x)</math>.
Die gesellschaftliche [[Wohlfahrt]] wird bei Leontief/Lerner direkt durch die zur Verfügung stehenden Gütermengen bestimmt. Bergson/Samuelson vertraten eine soziale Wohlfahrtsfunktion mit individuellen Nutzenwerten. Bei Bernoulli/Nash werden diese individuellen Nutzwerte miteinander multipliziert<ref>[https://www.google.de/books/edition/Kompakt_Lexikon_Wirtschaftspolitik/PiskBAAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=Bernoulli-Nash-Wohlfahrtsfunktion&pg=PA41&printsec=frontcover, Springer Fachmedien Wiesbaden (Hrsg.), ''Kompakt-Lexikon Wirtschaftspolitik'', 2013, S. 41]</ref> und nicht wie bei Bentham addiert.

== Mathematische Definition ==
Die Wohlfahrt <math>W</math> ist abhängig von den Einkommen <math>y_i</math> der Einzelpersonen <math>1,2,\dotsc,n</math>.

Die allgemeinste Form einer Wohlfahrtsfunktion lautet daher:
:<math>W = W(y_1, y_2,\dotsc, y_n)</math>

=== Spezielle Wohlfahrtsfunktionen ===
Eine übliche Form der Wohlfahrtsfunktion ist das Produkt aus dem Durchschnittseinkommen <math>\overline{y}</math> mit einem [[Ungleichverteilungsmaß]] <math>\alpha</math> oder dem dazugehörigen Gleichverteilungsmaß <math>\beta=(1-\alpha)</math>:
:<math>W =\overline{y} \cdot (1-\alpha(y_1, y_2,\dotsc, y_n)) = \overline{y} \cdot \beta(y_1, y_2,\dotsc, y_n)</math>

Wenn alle das gleiche verdienen, dann ist <math>W = \overline{y}</math>, <math>\alpha=0</math> und <math>\beta=1</math>.
Wenn einer alles verdient, dann ist <math>W=0</math>, <math>\alpha=1</math> und <math>\beta=0</math>.

Das einfachste Ungleichverteilungsmaß ist die [[Hoover-Ungleichverteilung]] <math>H</math>.

:<math>W_{\text{Hoover}} = \overline{y} \cdot (1-H(y_1, y_2,\dotsc, y_n))</math>

Diese Wohlfahrtsfunktion hat eine konkrete Bedeutung: <math>n\cdot W_{\text{Hoover}}</math> ist der Teil des Einkommens, der unangetastet bliebe, wenn man das Volkseinkommen so umverteilen würde, dass sich eine Gleichverteilung ergäbe. <math>W_{\text{Hoover}}</math> gibt damit an, wie viel jeder im Durchschnitt behalten dürfte, dies ist definitionsgemäß immer weniger als das Durchschnittseinkommen <math>\overline{y}</math>.

Auch der [[Gini-Koeffizient]] <math>G</math> ist ein Ungleichverteilungsmaß und definiert damit eine Wohlfahrtsfunktion:

:<math>W_{\text{Gini}} = \overline{y} \cdot (1-G)</math>

Auch das [[Atkinson-Maß]] <math> A </math> (nach [[Anthony Atkinson]]) ist ein Ungleichverteilungsmaß, dessen zugehöriges Gleichverteilungsmaß <math> e^{-T_L}</math> mit dem [[Theil-Index]] <math>T_L</math> ist, diese definieren die folgende Wohlfahrtsfunktion:

:<math>W_{\text{Theil-L}} = \overline{y} \cdot e^{-T_L} = \overline{y} \cdot (1-A)</math>

Die letzten beiden Wohlfahrtsfunktionen wurden von Amartya Sen und James E. Foster vorgeschlagen.<ref>[[Amartya Sen]]: ''On economic inequality.'' Expanded edition with a substantial annexe[: James E. Foster, Amartya Sen: ''On economic inequality after a quarter century.''], Clarendon Press, Oxford 1997, ISBN 0-19-828193-5.</ref>

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4190150-2}}

[[Kategorie:Einkommen]]
[[Kategorie:Mikroökonomie]]
[[Kategorie:Nutzentheorie]]
[[Kategorie:Wohlfahrtsökonomik]]
[[Kategorie:Volkswirtschaftslehre]]
[[Kategorie:Volkswirtschaftliche Kennzahl]]

Wohlfahrtsfunktion - Versionsgeschichte

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