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2023-04-23T08:58:35Z

Das ist eine feste Wortverbindung, die man in aller Regel groß schreibt, z.B. "Institut für Diskrete Mathematik"

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Als '''Wittsche Blockpläne'''<ref name="BP">Beutelspacher (1982)</ref> (auch '''Witt-Designs''', engl. ''Witt designs''<ref name="BJL">Beth, Jungnickel, Lenz (1999)</ref>) werden in der [[Endliche Geometrie|endlichen Geometrie]] bestimmte [[Blockplan|Blockpläne]] bezeichnet, die 1931 von [[Robert Daniel Carmichael]] entdeckt<ref>Carmichael (1931)</ref> und 1938 von [[Ernst Witt]], nach dem sie auch benannt sind, erneut beschrieben wurden<ref>Witt (1938)</ref>. Es handelt sich dabei zunächst um zwei 5-Blockpläne, die als '''kleiner''' bzw. '''großer Wittscher Blockplan''' bezeichnet werden. Beide sind bis auf Isomorphie die einzigen einfachen 5-Blockpläne mit der Punktanzahl 12 (kleiner) bzw. 24 (großer Wittscher Blockplan). Der kleine Wittsche Blockplan <math>\mathrm{W}_{12}</math> ist ein <math>5-(12,6,1)</math>-Blockplan, als Steinersystem ein <math>S(5,6;12)</math>; der große <math>\mathrm{W}_{24}</math> ist ein <math>5-(24,8,1)</math>-Blockplan, als Steinersystem ein <math>S(5,8;24)</math>.

Die Bedeutung des kleinen und großen Wittschen Blockplans liegt – für die [[Diskrete Mathematik]] – darin, dass sie jahrzehntelang die einzigen bekannten, nichttrivialen 5-Blockpläne waren und dadurch sehr ausführlich untersucht sind. In der [[Gruppentheorie]], genauer für die Klassifikation der [[Endliche einfache Gruppe|endlichen einfachen Gruppen]], sind die beiden 5-Blockpläne und ihre [[Inzidenzstruktur#Ableitung einer Inzidenzstruktur|Ableitungen]] <math>\mathrm{W}_{11},\mathrm{W}_{23},\mathrm{W}_{22}</math>, die häufig auch als Wittsche Blockpläne bezeichnet werden, von großer Bedeutung, da die '''Mathieu-Gruppen''' (benannt nach [[Émile Léonard Mathieu]], das sind 5 der [[Sporadische Gruppe|sporadischen einfachen Gruppen]], <math>\mathbb{M}_{12},\mathbb{M}_{11},\mathbb{M}_{24},\mathbb{M}_{23},\mathbb{M}_{22}</math>) ihre Automorphismengruppen sind.

== Konstruktion ==
=== Kleiner Wittscher Blockplan ===
;Geometrische Konstruktion
[[Datei:AG(2,3).png|mini|Die affine Ebene<math>A=AG_1(2,3)</math>.]]
Der <math>5-(12,6,1)</math>-Blockplan <math>\mathrm{W}_{12}=(\mathfrak{q},\mathfrak{B},\in)</math> kann als dreifache Erweiterung der [[Affine Ebene|affinen Ebene]] der Ordnung 3, <math>A=AG_1(2,3)=(\mathfrak{p},\mathfrak{G},\in)</math> (siehe die Abbildung rechts) konstruiert werden. Man macht sich dabei einige Besonderheiten dieser Ebene zunutze:
* Jedes Viereck <math>v</math> in <math>A</math> ist ein [[Fano-Axiom|Fano-Parallelogramm]], das heißt, sind <math>p_1,p_2,p_3,p_4</math> die vier Ecken eines Vierecks, dann sind zwei Paare von ''Gegenseiten'' unter den sechs Seiten <math>G_{ij}=p_ip_j;\;(1\leq i < j \leq 4)</math> parallel zueinander und das dritte Paar von Gegenseiten schneidet sich im dadurch eindeutig bestimmten ''Diagonalpunkt'' <math>d(v)</math>, der kein Eckpunkt ist. (Als <math>n</math>-Eck wird eine Menge von <math>n</math> Punkten von <math>A</math> dann bezeichnet, wenn keine 3 der Punkte [[kollinear]] sind.)
* Die Menge der 54 Vierecke in <math>A</math> kann so in drei Klassen <math>V_1,V_2,V_3</math> von je 18 Vierecken zerlegt werden, dass jede dieser Äquivalenzklassen <math>V_j</math> die folgenden Eigenschaften hat:<ref name="BP" />
# Jeder Punkt von <math>A</math> ist in genau 8 Vierecken aus <math>V_j</math> enthalten,
# je zwei verschiedene Punkte von <math>A</math> liegen in genau 3 Vierecken aus <math>V_j</math>,
# jedes Dreieck von <math>A</math> ist in genau einem Viereck aus <math>V_j</math> enthalten.

Nun werden der Punktmenge drei zusätzliche Punkte <math>q_1,q_2,q_3\not\in\mathfrak{p}</math> hinzugefügt <math>\left(\mathfrak{q}=\mathfrak{p}\cup\{ q_1,q_2,q_3 \}\right)</math> und folgende Typen von Blöcken für die neue Blockmenge <math>\mathfrak{B}</math> definiert:
# Für jede Gerade ''G'' von ''A'' seien <math>G^*=G\cup \{q_1,q_2,q_3\}</math>
# und <math>G^c=\mathfrak{p}\setminus G</math> (dies sind die Punkte eines Parallelenpaars von ''A'') Blöcke von <math>\mathrm{W}_{12}</math>.
# Für jedes Viereck ''v'' von ''A'' mit <math>v\in V_j</math> seien <math>v^*=(v\cup \{q_1,q_2,q_3\})\setminus \{ q_j\}</math>
# und <math>v^+=v\cup \{ d(v),q_j\}</math> Blöcke von <math>\mathrm{W}_{12}</math>.
Dies ergibt für <math>\mathrm{W}_{12}</math> insgesamt 132 Blöcke mit je 6 Punkten: 12 für die erweiterten Geraden (1. Typ), 12 für die Komplemente der Geraden, das sind die Parallelenpaare von ''A'' (2. Typ) und je 54 für die erweiterten Vierecke (3. Typ) und die erweiterten Paare von schneidenden Geraden (4. Typ).

Die so definierte [[Inzidenzstruktur]] <math>\mathrm{W}_{12}=(\mathfrak{q},\mathfrak{B},\in)</math> ist ein <math>5-(12,6,1)</math>-Blockplan.<ref>Beutelspacher (1982), Hauptsatz 2.4.6</ref>

=== Großer Wittscher Blockplan ===
Der große Wittsche Blockplan <math>\mathrm{W}_{24}</math> lässt sich als dreifache Erweiterung der [[Projektive Ebene|projektiven Ebene]] <math>PG_1(2,4)</math> der Ordnung 4 konstruieren.<ref>Eine Skizze dieser Konstruktion, die auf Witt(1938) zurückgeht, findet sich in Beth, Jungnickel, Lenz (1999), IV.6.4: ''Construction''</ref>

== Eigenschaften ==
=== Witt-Blockpläne ===
* Jeder <math>5-(12,6,1)</math>-Blockplan ist zu dem oben konstruierten Blockplan <math>\mathrm{W}_{12}</math> isomorph und jeder Automorphismus <math>\alpha</math> von <math>\mathrm{W}_{9}=AG_1(2,3)</math> hat eine eindeutige Fortsetzung zu einem Automorphismus <math>\overline{\alpha}</math> von <math>\mathrm{W}_{12}</math>. Diese Fortsetzung ist dadurch bestimmt, dass <math>\alpha</math> als [[Permutation]] <math>\pi\in S_3</math> auf der Menge der oben beschriebenen Vierecksklassen <math>V_1,V_2,V_3</math> [[Gruppenoperation|operiert]] <math>\alpha(V_i)=V_{\pi(i)}, i\in \{1,2,3\}</math>, und dann durch <math>\overline{\alpha}(q_i)=q_{\pi(i)}</math> fortgesetzt wird. Außerdem ist jeder <math>4-(11,5,1)</math>-Blockplan isomorph zu <math>\mathrm{W}_{11}=\mathrm{W}_{12,x}</math>, der Ableitung des kleinen Wittschen Blockplanes an einem beliebigen Punkt ''x''.<ref>Beth, Jungnickel, Lenz (1999), Corollary IV.2.6</ref>
* Der kleine Witt-Blockplan <math>\mathrm{W}_{12}</math> enthält genau 12 [[Hadamard-Blockplan|Hadamard]]-<math>3-(12,3,2)</math>-Unterblockpläne.<ref>Beth, Jungnickel, Lenz (1999), Lemma IV.4.11</ref>
* Jeder <math>5-(24,8,1)</math>-Blockplan ist zu dem oben konstruierten Blockplan <math>\mathrm{W}_{24}</math> isomorph.
* Jeder <math>4-(23,7,1)</math>-Blockplan ist zur Ableitung <math>\mathrm{W}_{23}=\mathrm{W}_{24,x}</math>, der Ableitung des großen Wittschen Blockplanes an einem beliebigen Punkt ''x'' isomorph.<ref name="BJL" />
* Jeder <math>3-(22,6,1)</math>-Blockplan ist zur Ableitung <math>\mathrm{W}_{22}=\mathrm{W}_{24,x,y}</math>, der zweifachen Ableitung des großen Wittschen Blockplanes an zwei beliebigen verschiedenen Punkten ''x,y'' isomorph.<ref name="BJL" />

=== Inzidenzparameter der Wittschen Blockpläne ===
Die Parameter einer endlichen Inzidenzstruktur, die einer [[Inzidenzstruktur#Regularitätsbedingungen|Regularitätsbedingung]] genügen, sind diejenigen der Inzidenzparameter <math>b_i</math> (durchschnittliche Blockanzahl durch ''i'' beliebige Punkte) bzw. <math>v_j</math> (durchschnittliche Punktzahl auf ''j'' beliebigen Blöcken), die bei allen ''i''-elementigen Punktmengen bzw. ''j''-elementigen Blockmengen übereinstimmenden positiven Zahlen gleichen. Beim kleinen und großen Wittschen 5-Blockplan, die beide als Inzidenzstrukturen den Typ (5,1) haben, sind dies die Parameter <math>b_0,b_1,\ldots b_5=1</math> und <math>v_0,v_1</math>. Nach jeder Ableitung genügt ein Blockparameter weniger seiner Regularitätsbedingung:

;Reguläre Inzidenzparameter

{| class="wikitable sortable"
|-
! Blockplan !! Typ als Inzidenzstruktur !! ''b5'' !! ''b4'' !! ''b3'' !! ''b2'' !!''b1'' (''r'') !! ''b0'' (Gesamtblockzahl) !! ''v2'' !! ''v1'' (''k'') !! ''v0'' (Gesamtpunktzahl)
|-
| data-sort-value=\mathrm{W}_{09}|<math>\mathrm{W}_9\cong AG_1(2,3)</math> || (2,1)|| - || - || - || 1 || 4 || 12 || - || 3 || 9|
|-
| <math>\mathrm{W}_{10}</math> || (3,1) || - ||- || 1 || 4 ||12 || 30 || - || 4 ||10
|-
| <math>\mathrm{W}_{11}</math> || (4,1) || - ||1 || 4 ||12 ||30 || 66 || - || 5 ||11
|-
| <math>\mathrm{W}_{12}</math> || (5,1) ||1 ||4 ||12 ||30 ||66 ||132 || - || 6 ||12
|-
| <math>\mathrm{W}_{21}\cong PG_1(2,4)</math> || (2,2) || - ||- || - || 1 || 5 || 21 || 1 || 5 ||21
|-
| <math>\mathrm{W}_{22}</math> || (3,1) || - ||- || 1 || 5 ||21 || 77 || - || 6 ||22
|-
| <math>\mathrm{W}_{23}</math> || (4,1) || - ||1 || 5 ||21 ||77 ||253 || - || 7 ||23
|-
| <math>\mathrm{W}_{24}</math> || (5,1) ||1 ||5 ||21 ||77 ||253 ||759 || - || 8 ||24
|}

Außerdem lässt sich für Teilmengen <math>U\subseteq B\in\mathfrak{B}</math> eines Blockes ''B'' eine nur von der Punktzahl <math>u=|U|</math> abhängige ''Schnittzahl'' <math>n_u=n(B,U)=\left| \{Y\in\mathfrak{B}|B\cap Y= U \} \right| </math> angeben, falls <math>u\leq k</math> ist. Mit anderen Worten ist <math>n_u</math> die von ''B'' und ''U'' unabhängige Anzahl von Blöcken, die mit ''B'' genau alle Punkte von ''U'' gemeinsam haben. Die folgende Tabelle gibt diese Schnittzahlen an:<ref name="BJL" />
;Schnittzahlen

{| class="wikitable"
|-
! ''t'' !! ''k'' !! ''v0'' !! ''n8'' !! ''n7'' !! ''n6'' !! ''n5'' !! ''n4'' !! ''n3'' !! ''n2'' !! ''n1'' !! ''n0''
|-
| 2 || 3 || 9 || - || - || - || - || - || 1 || 0 || 3 || 2
|-
| 3 || 4 || 10 || - || - || - || - || 1 || 0 || 3 || 2 || 3
|-
| 4 || 5 || 11 || - || - || - || 1 || 0 || 3 || 2 || 3 || 0
|-
| 5 || 6 || 12 || - || - || 1 || 0 || 3 || 2 || 3 || 0 || 1
|-
| 2 || 5 || 21 || - || - || - || 1 || 0 || 0 || 0 || 4 || 0
|-
| 3 || 6 || 22 || - || - || 1 || 0 || 0 || 0 || 4 || 0 ||16
|-
| 4 || 7 || 23 || - || 1 || 0 || 0 || 0 || 4 || 0 ||16 || 0
|-
| 5 || 8 || 24 || 1 || 0 || 0 || 0 || 4 || 0 ||16 || 0 ||30
|-
|}

Mit Hilfe dieser Schnittzahlen kann man die Eindeutigkeit der Wittschen Blockpläne (bis auf Isomorphie, als Blockpläne mit ihren jeweiligen Parametern) nachweisen.<ref name="BJL" />

=== Mathieu-Gruppen ===
Die 5 sporadischen [[Mathieu-Gruppe]]n <math>\mathbb{M}_{11},\mathbb{M}_{12},\mathbb{M}_{22},\mathbb{M}_{23},\mathbb{M}_{24}</math> sind die vollen Automorphismengruppen der Wittschen Blockpläne, wobei der Subskript an der Kurzbezeichnung jeweils dem Subskript des zugehörigen Witt-Blockplanes, also dessen Punktzahl ''v'' entspricht. Alle fünf sind einfache Gruppen, d. h. sie haben keine außer den trivialen [[Normalteiler]]n.<ref>Beth, Jungnickel, Lenz (1999), Theorem IV.5.12</ref> Rein gruppentheoretisch lässt sich der Subskript ''v'' der Mathieugruppen auch beschreiben als minimale ganze Zahl <math>v</math>, so dass <math>\mathbb{M}_{v}</math> als [[Permutationsgruppe]] auf <math>\{1,2,\ldots, v\}</math> operiert, mit anderen Worten, <math>S_v</math> ist die kleinste [[symmetrische Gruppe]], so dass ein Gruppenmonomorphismus <math>\mathbb{M}_{v}\rightarrow S_v</math> existiert. Der Parameter <math>t</math> des Blockplanes, der angibt, für wie viele beliebige Punkte jeweils ein gemeinsamer Block existiert, gibt gruppentheoretisch den maximalen ''Transitivitätsgrad'' der zugehörigen Mathieugruppe an, das heißt, die Gruppe operiert als <math>t</math>-fach, aber nicht <math>t+1</math>-fach transitive Permutationsgruppe auf den Punkten des entsprechenden Blockplans und kann auf keiner Menge mehr als <math>t</math>-fach transitiv und treu operieren.

{| class="wikitable"
|-
! Mathieu-Gruppe !! Gruppenordnung !! Blockplan !! Parameter <math>t-(v,k,\lambda)</math> !! Steiner-Notation
|-
| <math>\mathbb{M}_{11}</math>|| 7920<math>=2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 11</math> || <math>\mathrm{W}_{11}</math> ||<math>4-(11,5,1)</math> || <math>S(4,5;11)</math>
|-
| <math>\mathbb{M}_{12}</math>|| 95040<math>=2^6 \cdot 3^3 \cdot 5\cdot 11</math> || <math>\mathrm{W}_{12}</math> ||<math>5-(12,6,1)</math> || <math>S(5,6;12)</math>
|-
| <math>\mathbb{M}_{22}</math>|| 443520<math>=2^7\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7 \cdot 11</math> || <math>\mathrm{W}_{22}</math> ||<math>3-(22,6,1)</math> || <math>S(3,6;22)</math>
|-
| <math>\mathbb{M}_{23}</math>|| 10200960<math>=2^7 \cdot 3^2 \cdot 5\cdot 7 \cdot 11\cdot 23</math> || <math>\mathrm{W}_{23}</math> ||<math>4-(23,7,1)</math> || <math>S(4,7;23)</math>
|-
| <math>\mathbb{M}_{24}</math>|| 244823040<math>=2^{10}\cdot 3^3 \cdot 5\cdot 7 \cdot 11\cdot 23</math> || <math>\mathrm{W}_{24}</math> ||<math>5-(24,8,1)</math> || <math>S(5,8;24)</math>
|}

== Literatur ==
;Originalartikel
* {{Literatur |Autor=[[Thomas Beth]], [[Dieter Jungnickel]] |Titel=Mathieu Groups, Witt Designs and Golay Codes |Sammelwerk=Geometries and Groups |Reihe=Lecture Notes in Mathematics |Band=893 |Verlag=Springer |Ort=Berlin/Heidelberg/New York |Datum=1981 |ISBN=3-540-11166-2 |Seiten=157–179}}
* {{Literatur |Autor=Robert Daniel Carmichael |Titel=Tactical Configurations of Rank Two |Sammelwerk=American Journal of Mathematics |Band=53 |Datum=1931 |Seiten=217–240 |JSTOR=2370885}}
* {{Literatur |Autor=Ernst Witt |Titel=Die 5-Fach transitiven Gruppen von Mathieu |Sammelwerk=Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg |Band=12 |Datum=1938 |Seiten=256–264 |DOI=10.1007/BF02948947}}
;Lehrbücher
* {{Literatur |Autor=Thomas Beth, Dieter Jungnickel, [[Hanfried Lenz]] |Titel=Design Theory |Auflage=2. |Verlag=B.I. Wissenschaftsverlag |Ort=London/New York/New Rochelle/Melbourne/Sidney |Datum=1999 |ISBN=0-521-33334-2 |Kapitel=IV: Witt designs and Mathieu groups}}
* {{Literatur |Autor=[[Albrecht Beutelspacher]] |Titel=Einführung in die endliche Geometrie |TitelErg=I. Blockpläne |Verlag=B.I. Wissenschaftsverlag |Ort=Mannheim/Wien/Zürich |Datum=1982 |ISBN=3-411-01632-9 |Kapitel=2.4: ''Ein 5-Blockplan''}}

== Weblinks ==
* Pegg, Ed. Jr., {{MathWorld |title=Witt design |id=WittDesign}}
* {{MathWorld |title=Mathieu Groups |id=MathieuGroups}}
* [http://for.mat.bham.ac.uk/atlas/v2.0/spor/ Die sporadischen Gruppen] (Erzeuger, Untergruppen, Konjugiertenklassen …) im [http://for.mat.bham.ac.uk/atlas/v2.0/ Atlas of Finite Group Representations] (englisch)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Blockplan]]
[[Kategorie:Endliche Geometrie]]

[[en:Steiner system#The Steiner system S(5, 8, 24)]]

Wittscher Blockplan - Versionsgeschichte

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