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2018-12-26T21:53:26Z

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Die '''Witt-Algebra''' wird in der [[Mathematik]] untersucht, es handelt sich um eine spezielle [[Lie-Algebra]].
Sie findet Verwendung in der [[Mathematische Physik|mathematischen Physik]], wie in der [[Stringtheorie]] und [[konforme Feldtheorie|konformen Feldtheorie]]. Namensgeber ist der deutsche Mathematiker [[Ernst Witt]].

== Definition ==

Sei <math>L_j</math> mit <math>j</math> als ganzzahligem Index eine Basis eines Vektorraumes.
Die durch die Kommutatorrelation

<math>
[L_j,L_k]:=(j-k)\cdot L_{j+k}
</math>

definierte Lie-Algebra heißt Witt-Algebra. Man erhält solche Algebren als [[Derivation (Mathematik)|Derivation]]en-Algebra über dem Ring der [[Laurent-Polynom]]e.

== Realisierung durch Vektorfelder ==

In den meisten Anwendungen betrachtet man Derivationen über <math>\Complex</math>. Man kann die Witt-Algebra wie folgt durch komplexwertige Vektorfelder realisieren:

<math>
L_n:= - z^{n+1}\frac{\partial}{\partial z}
</math>

== sl(2,K) als Unteralgebra ==
Aus obigen Kommutatorrelationen ergibt sich sofort, dass für <math>n>0</math> die von <math>L_{-n},L_0,L_n</math> erzeugte Unter-Lie-Algebra gleich <math>K\cdot L_{-n}+K\cdot L_0 + K\cdot L_n</math> ist. Diese drei-dimensionale Unter-Lie-Algebra ist isomorph zur [[sl(2,C)|sl(2,K)]].

== Zentrale Erweiterung ==

Wenn man die Witt-Algebra durch den [[Kozyklus|Kozykel]]

<math>
\omega(L_m,L_n):=\frac{1}{12}(n^3-n)\delta_{m+n,0}
</math>

zentral erweitert, so erhält man die [[Virasoro-Algebra]].

== Quellen ==
[[Igor Frenkel]], [[James Lepowsky]], [[Arne Meurman]]: ''Vertex Operator Algebras and the Monster'', Academic Press, New York (1988) ISBN 0-12-267065-5

[[Kategorie:Lie-Algebra]]
[[Kategorie:Theorie der Lie-Algebren]]

Witt-Algebra - Versionsgeschichte

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