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2026-03-18T09:45:05Z

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Die '''Wirkleistung''' ist die [[elektrische Leistung]], die für die Umwandlung in andere Leistungen (z. B. mechanische, thermische oder chemische) verfügbar ist. Sie ist abzugrenzen von der [[Blindleistung]], die für diese Umwandlung nicht verwendbar ist.

Die Wirkleistung <math>P</math> wird in der Einheit [[Watt (Einheit)|Watt]] angegeben. Bei gleichbleibender [[Elektrische Spannung|Spannung]] und gleichbleibender [[Stromstärke]] ist die Wirkleistung das Produkt von Spannung <math>U</math> und Stromstärke <math>I</math>:
:<math>P=U \cdot I</math>
Bei veränderlichen Werten <math>u</math> und <math>i</math> ist die Wirkleistung der [[Gleichwert]] der Augenblicksleistung <math>p</math>:
:<math>P=\overline p=\overline{u\cdot i}</math>
Für periodische Spannungen und Ströme ist über eine Periode mit der [[Periodendauer]] <math>T</math> zu mitteln:
:<math>P=\frac 1T\int_{t_0}^{t_0+T}u\cdot i\;\mathrm dt</math>

== Festlegungen bei sinusförmiger Wechselspannung ==
Einen wichtigen Anwendungsfall bildet das elektrische [[Energieversorgungsnetz]] oder [[Dreiphasenwechselstrom]]netz. Nur dieser wird hier behandelt. Die Spannung hat einen sinusförmigen zeitlichen Verlauf; Spannung und Strom sind Wechselgrößen mit derselben [[Grundfrequenz]]. Für diesen Fall gibt es Festlegungen in DIN 40108<ref>DIN 40108:2003-06 ''Stromsysteme: Begriffe, Größen, Formelzeichen''</ref> und DIN 40110<ref>DIN 40110-1:1994-03 ''Wechselstromgrößen: Zweileiter-Stromkreise''</ref>, die für diesen Artikel zu beachten sind.

=== Wirkleistung bei sinusförmigem Strom ===
==== Darstellung mit Zeitfunktionen ====
[[Datei:Leistung-uip-real.svg|mini|Zeitlicher Verlauf von Spannung, Stromstärke und Leistung]]
Der sinusförmige Verlauf des Stromes tritt nur dann auf, wenn sich ausschließlich [[Linearer Widerstand|lineare Verbraucher]] im Netz befinden. Bei ohmschen Verbrauchern verlaufen Spannung und Strom gleichphasig. Beim Auftreten [[Kapazität (Elektrotechnik)|kapazitiver]] oder [[Induktivität|induktiver]] Verbraucher tritt zusätzlich eine Verschiebung der [[Phasenwinkel]] zwischen dem Verlauf von Strom und Spannung auf. Mit den [[Effektivwert]]en von Spannung <math>U</math> und Stromstärke <math>I</math>, den [[Amplitude]]n <math>\hat u = \sqrt2\ U</math> und <math>\hat \imath = \sqrt2\ I</math> , dem [[Phasenverschiebungswinkel]] <math>\varphi</math> sowie der [[Kreisfrequenz]] <math>\omega=2\pi f</math> wird
:<math> p = u \cdot i = \hat u\;\sin\omega t\cdot \hat \imath\;\sin (\omega t-\varphi)</math>
Durch Anwenden der [[Trigonometrie|trigonometrischen Beziehung]]
:<math>\sin\alpha\cdot\sin\beta = \tfrac12 [\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)]</math>
folgt
:<math> p = \tfrac12 \ \hat u \;\hat \imath \ [\cos \varphi - \cos (2 \omega t-\varphi)]</math>
und mit der Verwendung der [[Effektivwert]]e
:<math> p = U \;I \ \cos \varphi \ - \ U \;I \ \cos (2 \omega t-\varphi)</math>
Der Ausdruck enthält
# einen zeitunabhängigen Summanden, die Wirkleistung <math>P=U \;I \;\cos\varphi</math> , und
# einen zeitlich mit doppelter Frequenz und der Amplitude <math>S=U\;I </math> schwingenden Summanden, dessen Mittelwert gleich null ist. Die Größe <math>S</math> nennt man die [[Scheinleistung]].

Damit ergibt sich für den sinusförmigen Verlauf
:<math>P=\overline p= U\;I\ \cos \varphi</math>

Die Komponente <math>I\,\cos \varphi</math> der Stromstärke <math>I</math>, die für die Wirkleistung maßgeblich ist, wird [[Wirkstrom]]stärke genannt.

==== Komplexe Darstellung ====
[[Datei:Leistung-PQS-Zeiger.svg|mini|[[Zeigerdiagramm|Leistungszeigerdiagramm]]]]
In der Elektrotechnik ist es üblich, die Wechselstromrechnung (also das Rechnen mit sinusförmigen Wechselgrößen) mit Hilfe von Zeigern in der [[Gaußsche Zahlenebene|komplexen Ebene]] durchzuführen, da dieses wesentlich einfacher ist als die Rechnung mit [[Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]]. Zum Anschluss der Leistungsgrößen an die [[komplexe Wechselstromrechnung]] wird die [[Komplexe Leistung (Elektrotechnik)|komplexe Scheinleistung]] <math>\underline S</math> definiert, die Wirk- und [[Blindleistung]] in einer komplexen Größe zusammenfasst. Sie berechnet sich aus dem Produkt des komplexen Effektivwertes der Spannung mit dem konjugiert komplexen Effektivwert der Stromstärke.
:<math>\underline S = P + \mathrm jQ = \underline U \cdot \underline I^* =\tfrac 12\ \underline {\hat u} \cdot \underline {\hat \imath}^*</math>
Die Scheinleistung <math>S</math>, also der Betrag der komplexen Scheinleistung <math>\underline S</math>, ist die [[pythagoreische Summe]] aus Wirk- und Blindleistung. Die Wirkleistung <math>P</math> ist der [[Realteil]], die Blindleistung <math>Q</math> der [[Imaginärteil]] der komplexen Scheinleistung.
:<math>S^2 = P^2 + Q^2\ </math>

==== Vorzeichenfragen ====
Die Konventionen über Zählrichtungen der Spannungen und Ströme durch Erzeuger- und Verbraucher-[[Zählpfeil|Bepfeilung]] bringen es mit sich, dass bei [[Energiefluss]] vom Erzeuger zum Verbraucher die Wirkleistung positiv ist. Das weiter oben gezeigte Bild des zeitlichen Verlaufs zeigt auch negative Werte von <math>p</math>; dann wird Energie zurückgespeist. Die Wirkleistung wird dadurch kleiner als die Scheinleistung; sie bleibt aber positiv.

Bei Netzen mit mehreren Quellen und Lasten kann sich zwischen Netzabschnitten die Richtung des Energieflusses nicht nur für Bruchteile einer Periodendauer umkehren. In Blick auf die Leistung beschreibt man dieses durch Vorzeichenumkehr der Wirkleistung, so dass auch Werte <math>P<0</math> Sinn haben können.

=== Wirkleistung bei nichtsinusförmigem Strom ===
Wenn die Spannung sinusförmig ist, der Strom aber nicht, bleibt die Gleichung <math>P=U \;I \;\cos\varphi</math> unter ''der'' Einschränkung gültig, dass <math>I</math> und <math>\varphi</math> Parameter der ''Grund''schwingung des Stromes sind. [[Oberschwingung]]en gehen in <math>P</math> nicht ein.

== Messungen im Energieversorgungsnetz ==
=== Messgeräte ===
Ein [[Leistungsmesser]] hat einen ''Strompfad'' und einen ''Spannungspfad''. Er multipliziert Augenblickswerte von Spannung und Stromstärke, mittelt über die Augenblickswerte des Produktes und ist somit gemäß der Definition der Wirkleistung ein Wirkleistungsmesser. Das dazu geeignete elektromechanische Messwerk ist durch elektronische [[Messumformer]] abgelöst worden.

[[Datei:Leistung-Anschluss.svg|mini|hochkant=1.25|Anschlusskennzeichnung<br />oben: Einphasen-Messgeräte<br />unten: Dreiphasen-Wirkleistungsmesser]]
Zu jedem [[Messgerät]] gehört ein [[Messbereich]], der nicht überschritten werden darf, weil sonst keine [[Fehlergrenze]] garantiert wird. Darüber hinaus gehören zum Leistungsmesser ''Nennwerte'' von Spannung und Stromstärke, die nur in geringem Maße gemäß Herstellerangaben überschritten werden dürfen, weil sonst das Gerät beschädigt wird. Diese Art von Überlastung kann durchaus auftreten, ohne den Messbereich zu überschreiten!

[[Datei:Leistung-Einphasig.svg|mini|hochkant=1.25|Wirkleistungsmessung im Einphasennetz]]
Zur ''vorzeichen-richtigen Messung'' ist auf korrekte Anschlüsse der Pfade zu achten, die durch korrekte Schaltpläne vorzugeben sind. Für den Regelfall <math>|\varphi|<90^\circ</math> wird innerhalb dieses Artikels, in Übereinstimmung mit DIN 43807<ref>DIN 43807:1983-10 ''Messen, Steuern, Regeln; Elektrische Meßgeräte; Anschlußbezeichnungen für Schalttafel-Meßgeräte, Einbau-Meßgeräte und Meßumformer zur Messung von Leistung und Leistungsfaktor''</ref>, in den Schaltplänen konsequent eingehalten:

Für das richtige Vorzeichen weisen die in den folgenden Schaltplänen angegebenen Pfeile
* für den Strom im Strompfad von links nach rechts
* für die Spannung am Spannungspfad von unten nach oben.
(Einige Spannungspfeile sind in den Schaltplänen nicht eingezeichnet; wie sie weisen müssten, ist gemäß der Systematik dennoch eindeutig.)

Falls dabei ein negativer Messwert entsteht, aber kein negativer Wert ausgegeben werden kann, hilft eine bewusste Vertauschung der Richtung am Spannungspfad (oder Strompfad).

An Laborgeräten sind die Klemmen eingangsseitig häufig mit einem Stern versehen; Geräte zur dauerhaften Installation tragen eine Klemmen-Nummerierung gemäß DIN 43807; Beispiele siehe Bild.

Jeder Leistungsmesser hat einen ''Eigenverbrauch''
* im Strompfad durch einen Spannungsabfall (wie beim [[Strommessgerät]]),
* im Spannungspfad durch eine Stromaufnahme (wie beim [[Spannungsmessgerät]]).
Damit ist beim realen Messgerät zwischen Erzeuger- und Verbraucher-Wirkleistung zu unterscheiden.

=== Einphasennetz ===
Es gibt zwei Möglichkeiten, den Leistungsmesser anzuschließen, siehe zugehöriges Bild. Keine der Schaltungen erfasst aber die Erzeuger- oder Verbraucher-Wirkleistung, sondern gemessen wird
* in der oberen Schaltung Erzeuger-Spannung mal Verbraucher-Strom,
* in der unteren Schaltung Verbraucher-Spannung mal Erzeuger-Strom.
In der bevorzugt verwendeten oberen Schaltung werden die Kosten des Energie-Verbrauchs des Messgerätes getragen
:* soweit vom Spannungspfad herrührend durch den Erzeuger,
:* soweit vom Strompfad herrührend durch den Verbraucher.

[[Datei:Leistung-Dreiphasig.svg|mini|hochkant=1.8|Wirkleistungsmessung im Drehstromnetz]]
=== Drehstromnetz ===
==== Vierleiter-Stromkreis mit Neutralleiter ====
Der umfassendste Fall ist der Vierleiter-Stromkreis mit Neutralleiter und drei Außenleitern, wie er im [[Niederspannungsnetz]] mit <math>U_{1 \mathrm N}</math> = 230 V bzw. <math>U_{12}</math> = 400 V verbreitet ist, in Verbindung mit beliebiger Belastung. Beliebig soll hier heißen: In den drei Außenleitern können Ströme mit unterschiedlichen Amplituden und unterschiedlichen Phasenverschiebungen zur jeweiligen Bezugsspannung fließen. Dann ist
:<math>p = {u_{1 \mathrm N}\;i_1} +{u_{2 \mathrm N}\;i_2} +{u_{3 \mathrm N}\;i_3}</math>

:<math>P = \overline {u_{1 \mathrm N}\;i_1} +\overline {u_{2 \mathrm N}\;i_2} +\overline {u_{3 \mathrm N}\;i_3}</math>

:<math>P = U_{1 \mathrm N}\;I_1\ \cos \varphi_1 + U_{2 \mathrm N}\;I_2\ \cos \varphi_2 + U_{3 \mathrm N}\;I_3\ \cos \varphi_3</math>
Dieses ist messbar mit drei Leistungsmessern bzw. einem Kombinations-Gerät.

[[Datei:Leistung-AronzeigerW.svg|mini|Spannungszeiger im Drehstromnetz]]
==== Dreileiter-Stromkreis ====
[[Datei:Leistung-AronschaltungW.svg|mini|hochkant=1.5|Wirkleistungsmessung in Aronschaltung]]
Durch den fehlenden Neutralleiter im Dreileiter-Stromkreis ist
:<math>i_1+i_2+i_3=0</math> .
Mit <math>\quad u_{1\mathrm N} = u_{12}+ u_{2\mathrm N}</math>

und <math>\quad u_{3\mathrm N} = u_{32}+ u_{2\mathrm N}</math>

wird   <math>p = u_{1\mathrm N}\;i_1 +u_{2\mathrm N}\;i_2 +u_{3\mathrm N}\;i_3</math>
::<math>=u_{12}\;i_1 +u_{32}\;i_3 +u_{2\mathrm N} (i_1+i_2+i_3)</math>
wobei der letzte Summand gleich null ist, womit <math>i_2</math> verschwindet. Im Dreileiter-Stromkreis mit beliebiger Belastung reichen also ''zwei'' Leistungsmesser, wenn sie in [[Aronschaltung]] gemäß der nächsten Gleichung betrieben werden.

:<math>P=\overline{u_{12}\;i_1} +\overline{u_{32}\;i_3} = P_1+P_3</math>

mit <math>P_1= U_{12}\;I_1\ \cos \delta_1</math>

und <math>P_3= U_{32}\;I_3\ \cos \delta_3</math> ,

wobei <math>\delta_1 =\varphi_1 +30^\circ</math> = Winkel zwischen <math>\underline U_{12}</math> und <math>\underline I_1</math>

und <math>\delta_3 =\varphi_3 -30^\circ</math> = Winkel zwischen <math> \underline U_{32}</math> und <math>\underline I_3</math>
[[Datei:Leistung-AronUI.svg|mini|Spannungen, Ströme und Winkel zur Aronschaltung]]

Hinweise hierzu:
# Formal kann ein Leiter, hier in Übereinstimmung mit DIN 43807 der Leiter L2, als Rückleiter aufgefasst werden.
# <math>P_1</math> und <math>P_3</math> haben keine anschauliche Bedeutung, nicht einmal im Vorzeichen. Z. B. ist bei reiner Blindlast <math>P=0</math>, aber <math>P_1=-P_3 \ne0</math>.
# Weil <math>U_{12}= \sqrt3\;U_{1 \mathrm N}</math> , ist aufzupassen, ob der Leistungsmesser, der auf die Spannung <math>U_{1 \mathrm N} </math> ausgelegt ist, auch die höhere Spannung <math>U_{12}</math> verträgt. Wenn durch einen [[Vorwiderstand]] oder einen [[Spannungswandler (Energietechnik)|Spannungswandler]] die Spannung um den Faktor <math>1/ \sqrt3 </math> vermindert wird, ist diese Überlastungsgefahr behoben. Wegen der so verkleinerten Spannung muss allerdings der Messwert um den Faktor <math>\sqrt3</math> rechnerisch vergrößert werden.

[[Datei:Leistung-Sternpunkt.svg|mini|hochkant=1.25|Leistungsmesser mit künstlichem Sternpunkt]]

==== Symmetrische Belastung ====
Bei symmetrischer Belastung reicht die Verwendung nur eines Leistungsmessers für den Leistungs-Bezug durch einen der [[Außenleiter]]. Die gesamte Leistung ist davon das Dreifache.
: <math>P=3\cdot U_{1 \mathrm N}\;I_1 \;\cos\varphi_1</math> .
Im Dreileiter-Stromkreis ist dazu das Neutralleiter-Potential durch einen Sternpunkt gemäß Bild künstlich zu schaffen mit zwei Widerständen, die genauso groß sind wie der Widerstand des Spannungspfades im Leistungsmesser.

== Weitere Benennungen ==
{| class="wikitable"
! Benennung|| Größe|| Anwendung
|-
|[[Leistungsfaktor]] ||<math>|P|/S =\lambda</math>||allgemein
|-
|Verschiebungsfaktor ||<math>|P|/S=|{\cos \varphi}|</math>||bei Sinusgrößen
|-
|[[Leistungsfaktor#Wirkfaktor|Wirkfaktor]] ||style=Text-align:center;"|<math>P/S=\cos\varphi</math>||bei Sinusgrößen
|-
|Blindfaktor ||style=Text-align:center;"|<math>Q/S=\sin \varphi</math>||bei Sinusgrößen
|-
|Verlustfaktor ||<math>|P/Q|=\tan\delta</math>||bei Sinusgrößen<br /> bei Kondensatoren und Spulen
|}
Alle Angaben stimmen mit DIN 40110-1:1994 überein.

== Siehe auch ==
* [[Elektrische Impedanz]] ([[Wechselstromwiderstand]])
* [[Blindwiderstand]]

== Literatur ==
* Wilfried Weißgerber: ''Elektrotechnik für Ingenieure 2: Wechselstromtechnik, Ortskurven, Transformator, Mehrphasensysteme.'' Springer Vieweg, 9. Aufl. 2015
* Moeller/Frohne/Löcherer/Müller: ''Grundlagen der Elektrotechnik.'' Teubner, 18. Aufl. 1996
* Kurt Bergmann: ''Elektrische Meßtechnik: Elektrische und elektronische Verfahren, Anlagen und Systeme.'' Vieweg, 5. Aufl. 1993

: und nahezu jedes weitere Lehrbuch der Elektrotechnik oder elektrischen Messtechnik

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Elektrische Leistung]]

Wirkleistung - Versionsgeschichte

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