https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?action=history&feed=atom&title=Winkelverzerrung 2026-06-05T19:53:49Z Versionsgeschichte dieser Seite in Wikipedia (Deutsch) – Lokale Kopie MediaWiki 1.43.8 https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Winkelverzerrung&diff=142738&oldid=prev 2022-09-05T15:00:51Z

<p>im Artikel geht es nicht um mathematik, daher aus der QS wieder ausgetragen</p> <p><b>Neue Seite</b></p><div>{{Quellen}}<br /> Unter &#039;&#039;&#039;Winkelverzerrung&#039;&#039;&#039; versteht man in der [[Kartografie]], [[Geometrie]] und [[Geodäsie]] einerseits die Eigenschaft vieler [[Kartenprojektion]]en, dass [[Winkel]] in der Natur (bzw. [[Winkelmessung|gemessene Winkel]]) auf einer [[Karte (Kartografie)|Karte]] verändert dargestellt werden, andererseits auch die Größe der Winkelverzerrung selbst.<br /> <br /> Die Winkelverzerrung bedeutet eine Formänderung durch die Kartenprojektion – wie sie z.&amp;nbsp;B. bei [[Planigloben]] an der Verzerrung der am Kartenrand liegenden Kontinente erkennbar ist. Die Verzerrung ist i.&amp;nbsp;a. bei [[flächentreu]]en (geografisch verwendeten) Projektionen am größten, bei winkeltreuen Abbildungen (z.&amp;nbsp;B. der Geodäsie oder [[Messtechnik]]) jedoch Null.<br /> <br /> Keine Winkelverzerrung ist hingegen, was auf manchen winkeltreuen Karten wie der [[Mercatorprojektion]] auffällt:<br /> z.&amp;nbsp;B. die merkliche Vergrößerung von [[Grönland]] oder die scheinbare Verbreiterung von [[Sibirien]]. Sie ist eine Folge der kartografischen [[Flächentreue|Flächenverzerrungen]], wie sie bei nicht flächentreuen, überwiegend in der Geografie benutzten Karten auftritt.<br /> <br /> == Winkeltreue ==<br /> {{Hauptartikel|Konforme Abbildung}}<br /> <br /> Eine geometrische Abbildung heißt winkeltreu bzw. konform, wenn sie die Größen von [[Winkel]]n unverändert lässt. Beispiele für winkeltreue Abbildungen sind alle [[Kongruenzabbildung]]en (etwa [[Achsenspiegelung]], [[Punktspiegelung]], [[Parallelverschiebung]] und [[Drehung]]), allgemeiner alle [[Ähnlichkeitsabbildung]]en, insbesondere die [[zentrische Streckung]].<br /> <br /> Bei &#039;&#039;Winkeltreue (Konformität)&#039;&#039; ist die Winkelverzerrung null – dann entsprechen alle Winkel in der Abbildung jenen im [[Urbild (Mathematik)|Urbild]]. Das Abbild in der Projektion ist dem Urbild in kleinsten Bereichen ähnlich, die [[Streckenverzerrung]] somit in alle Richtungen gleich, die [[Tissotsche Indikatrix|Tissot’sche Indikatrix]] bleibt kreisförmig. Man kann also [[Richtung]]en korrekt eintragen, und [[Abstand|Distanzen]] nach einer kleinen [[topografische Reduktion|Reduktion]] ebenso.<br /> <br /> Da es keine allgemein &#039;&#039;[[längentreue]]&#039;&#039; Abbildung einer Kugel oder anderer [[zweidimensional]] gekrümmter Flächen in die [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] gibt, muss man entweder Winkelverzerrungen oder [[Flächentreue|Flächenverzerrungen]] oder beides in Kauf nehmen. Die Verzerrungen betragen in üblichen regionalen Karten allerdings nur einige Prozent, können jedoch bei [[Weltkarte|globalen]] Kartendarstellungen auf etwa 30–50 % anwachsen.<br /> <br /> Um eine Winkeltreue zu erhalten, dehnen beispielsweise [[Gauß-Krüger-Koordinatensystem|Gauß und Krüger]] alle [[Ordinate]]n um<br /> :y³&amp;nbsp;:&amp;nbsp;6r² (y = Abstand vom Mittelmeridian, r = Erdradius)<br /> <br /> == Anwendung ==<br /> Während Winkelverzerrungen bei [[geographisch]]en Arbeiten weniger eine Rolle spielen (hier ist meist die [[Flächentreue]] wichtiger), sind sie bei Darstellung von [[Messgröße]]n besonders unangenehm. Daher bevorzugt man Projektionen mit geringen Winkelverzerrungen – bzw. winkeltreue Karten – speziell bei:<br /> * [[Astronomie]] und [[Geometrie]]<br /> * [[Navigation]] und [[Flugsicherung]]<br /> * [[Geodäsie]] und [[Vermessungswesen]]<br /> * [[Geophysik]] und [[Felsmechanik]]<br /> <br /> == Wichtige winkeltreue Projektionen ==<br /> * [[Mercator-Projektion]] – Zylinderprojektion für die meisten [[Seekarte]]n<br /> * [[Lamberts winkeltreue Kegelprojektion]] – Kegelprojektionen für die [[Luftfahrt]] (meiste [[Luftfahrtkarte]]n) und spezielle Anwendungen in der [[Geografie]]<br /> * [[Gauß-Krüger-Koordinatensystem]] und [[UTM-Koordinatensystem]] – transversale (äquatorständige) Zylinderprojektion für die [[Vermessung]]<br /> * [[stereografische Projektion]] – Azimutale Projektion für Astronomie und Geometrie.<br /> <br /> == Siehe auch ==<br /> * [[Kartennetzentwurf]]<br /> * [[Klaffung]]<br /> * [[Kreistreue]]<br /> <br /> [[Kategorie:Mathematische Geographie]]<br /> [[Kategorie:Erdmessung]]</div>

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