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2026-04-04T15:32:06Z

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{{Dieser Artikel|erläutert das Winkelmaß als Maßangabe; für andere Bedeutungen siehe [[Winkelmaß (Begriffsklärung)]].}}
[[Datei:01 Grad-Winkel.svg|rahmenlos|rechts|hochkant=1]]
Ein '''Winkelmaß''' dient zur Angabe der '''Winkelweite''' eines [[Winkel|ebenen Winkels]] in der Mathematik und als [[physikalische Größe]]. Je nach Einsatzgebiet werden verschiedene Maße und deren [[Maßeinheit|Einheiten]] verwendet.

Auch auf gekrümmten Flächen wird ein Winkelmaß verwendet. Hier misst man die Winkel in der [[Tangentialebene]] der Fläche – siehe auch [[sphärische Trigonometrie]] und [[sphärische Astronomie]].

== Gebräuchliche Winkelmaße ==
=== Lineare Unterteilung des Vollwinkels ===
Lineare Winkelmaße zeichnen sich dadurch aus, dass sie bei Drehung des Winkels erhalten bleiben, und bei einer Aufteilung einer Drehung in zwei Teildrehungen das Winkelmaß zur Gesamtdrehung gleich der Summe der Winkelmaße der Teildrehungen ist.
*Der [[Vollwinkel]] ist der kleinste Winkel, um den ein Strahl um seinen Ursprung gedreht wieder seine Ausgangsrichtung erreicht. Er ist eine gesetzliche Maßeinheit, für die kein Einheitenzeichen festgesetzt ist. Die Winkelweite wird als Vielfaches oder Teil angegeben, indem man dem Wort Vollwinkel einen Faktor als [[Physikalische Größe|Zahlenwert]] voranstellt. Er ist auch umgangssprachlich und in der Mathematik in seiner impliziten Form sehr verbreitet, z. B. meint eine ''halbe Drehung'' eine Drehung um einen halben Vollwinkel. Man gibt also die Anzahl der gewünschten Umdrehungen an, die auch nicht-ganzzahlig sein darf.
*Im ''Gradmaß'' wird der Vollwinkel in 360 gleich große Teile unterteilt. Ein solcher Teil wird als ein ''[[Grad (Winkel)|Grad]]'' bezeichnet und mit dem Einheitenzeichen ° gekennzeichnet:
*: 1 Vollwinkel = 360°
*Im ''Bogenmaß'' wird dem Vollwinkel der Umfang des Einheitskreises, also die Maßzahl [[Kreiszahl|2<math>\pi</math>]], zugewiesen. Die Einheit, also der <math>\frac{1}{2\pi}</math>-te Teil des Vollwinkels, wird als ein ''[[Radiant (Einheit)|Radiant]]'' bezeichnet, Einheitenzeichen rad:
*: 1 Vollwinkel = 2<math>\pi</math> rad
*Im ''geodätischen Winkelmaß'' wird der Vollwinkel in 400 gleich große Teile unterteilt. Ein solcher Teil wird als ''[[Gon]]'' bezeichnet und mit dem Einheitenzeichen „gon“ gekennzeichnet:
*: 1 Vollwinkel = 400 gon
*Im ''[[Zeitmaß (Winkel)]]'' wird ein Vollwinkel in 24 Stunden unterteilt. Es wird in der Astronomie zur Angabe des [[Stundenwinkel]]s und der [[Rektaszension]] verwendet:
*: 1 Vollwinkel = 24<sup>h</sup>
*In ''[[Strich (Winkeleinheit)|Strich]]'' wird gemessen, indem der Vollwinkel in eine je nach Anwendungsgebiet unterschiedlich große Anzahl von gleich großen Teilen unterteilt wird:
*: 1 Vollwinkel = 32" (nautisch)
*: 1 Vollwinkel = 6400<math>\mathrm{^-}</math> (artilleristisch)

=== Nichtlineare Unterteilung des Vollwinkels ===
Ein anderes [[Messprinzip]] der Winkelweite erfolgt über das Verhältnis von Höhenunterschied zu Länge im Sinne eines [[Steigungswinkel]]s, die Berechnung erfolgt über den [[Tangens]] des Winkels. Diese Skala ist nicht [[Linearität (Mathematik)|linear]], d. h. bei Hintereinanderausführung zweier Drehungen entspricht die Winkelweite in diesem Maß im Allgemeinen nicht der Summe der Winkelweiten der einzelnen Drehungen. Für rechte Winkel geht die Steigung [[Bestimmte Divergenz|gegen unendlich]]. Die Länge kann nur positiv sein (es wird nur „nach vorne“ gemessen) und daher ist der Steigungswinkel nur im Bereich <math> -90^\circ<\alpha < +90^\circ</math> definiert.
* [[Prozent]] oder [[Promille]] (für [[Steigung]]en besonders im [[Verkehrswesen]])
*:~0,57° → 1 %
*:1° → ~1,75 %
*:15° → 26,79… %
*:45° → 100 %
*:90° → ∞
*:<math>\varphi</math> → 100 <math>\cdot \tan(\varphi)</math> %

An Stelle eines (ebenen) Winkels kann man natürlich generell dieses Längenverhältnis zweier senkrecht zueinander stehender Strecken angeben. Dies entspricht dann immer dem Tangens des Winkels im zugrundeliegenden rechtwinkligen Dreieck. In der Luftfahrt gibt man so die [[Gleitzahl]] eines Flugzeuges an.

== Die Entwicklung der Winkelmaße ==
=== Vollkreis und rechter Winkel ===

Prinzipiell kennen wir zwei ''[[Maßverkörperung]]en'' für die Winkelweite, die sich beide von einem intuitiven [[Bezugssystem]] von ''vorne'', ''hinten'', ''rechts'' und ''links'' ableiten:
* Den [[Kreis (Geometrie)|Kreis]], der über das Konzept der ''Unterteilung'' in [[Kreissektor]]en, wie sie etwa als „Tortenstück“ geläufig ist, in enger Beziehung zum [[Arithmetik|arithmetischen]] Prinzip der [[Bruchrechnung]] steht.
* Das [[Polygon]], das über den Zusammenhang zwischen ''[[Innenwinkel]] und [[Zentriwinkel]]'' [[Geometrie|geometrischen]] Zugang zum Winkel ermöglicht. Hier ist insbesondere das [[Quadrat (Geometrie)|Quadrat]] zu nennen, bei dem beide einen [[Rechter Winkel|rechten Winkel]] bilden.
Daher gibt es zwei ausgezeichnete [[Maßeinheit]]en für den Winkel, den ''Vollwinkel'' (Vollkreis) und den ''rechten Winkel'' (Viertelkreis). Diese beide Konzepte finden sich schon in den frühesten Spuren [[protowissenschaft]]licher Methoden früher Hochkulturen.<ref>Georges Ifrah: ''Universalgeschichte der Zahlen''. Campus, Frankfurt am Main, New York 1986, 1991. Originaltitel: ''Histoire universelle des chiffres''. dt. Alexander von Platen. ISBN 3-593-34192-1</ref>

Während der rechte Winkel heute nur insofern als Maß dient, sprachlich – und natürlich auch rechentechnisch – „gerade“ von „schiefen“ Winkeln zu unterscheiden und „[[Spitzer Winkel|spitze]]“ von „[[Stumpfer Winkel|stumpfen]]“, also ein [[Prüfen|Prüfkriterium]] zur Zuordnung [[Boolesche Variable|boolescher Werte]] („ja“, „nein“) ist, ist der Vollwinkel gesetzliche Maßeinheit. Bis etwa 1980 war aber auch der rechte Winkel als ''Rechter'' mit dem Einheitenzeichen ∟ in Deutschland üblich.

=== Bogenmaß: 2 π ===
Bei einem regelmäßigen [[Sechseck]], dessen Ecken auf einem Kreis liegen, ergibt sich aus der Gleichheit von Kantenlänge und [[Umkreisradius]] eine Teilung des Sechsecks in sechs [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitige Dreiecke]], sodass in ihm ausschließlich Winkel von 60 Grad und deren Vielfache zu finden sind. Bei einem Radius des Umkreises von 1 beträgt der Umfang des Sechseckes 6. Dieser Wert wurde schon früh für den [[Kreisumfang]] als Wert angenommen und ist Bestandteil zahlreicher [[Empirische Formel|empirischer Formeln]], die in alten Quellen überliefert sind.

Insbesondere aber die chinesischen Naturalisten der vorchristlichen Zeit setzen 3 kanonisch als Maßzahl des halben Kreisumfangs fest und entwickelten einen leistungsfähigen Kalkül der [[Winkelmessung]]en, und können insofern als Erfinder des [[Radiant (Einheit)|Bogenmaßes]] angesehen werden.<ref name="Granet">''Die Zahl'', S. 100ff. In: Marcel Granet: ''Das chinesische Denken''. Übers. Manfred Porkert, Suhrkamp, Frankfurt 1993, ISBN 3-518-28119-4. Originaltitel: ''La pensée chinoise''. Albin Michel, Paris 1936</ref>
Schon das ''[[Zhōu Bì Suàn Jīng]]'' {{zh|c=周髀算经|w=[[Chou pei suan ching]]}}, dessen Wurzeln auf etwa [[1200 v. Chr.]] datiert werden, formuliert die Winkelberechnung elementarer Dreiecke über das Sechseck.<ref>Granet, S. 201ff</ref>
Diese durchaus vielversprechenden Ansätze verloren sich aber bald in einer komplizierten [[Numerologie]] und [[Zahlenmystik]], die wissenschaftliche Weiterentwicklung durch Formalismen ersetzte und sich in einer Zehntelung des Kreises (''[[Himmelsstämme]]'') und einer Zwölftelung (''[[Erdzweige]]'') eher deren Anordnung und Symbolik als der mathematischen Anwendung widmete.<ref name="Needham">''Die grundlegenden Ideen der chinesischen Wissenschaft'', S. 163ff. In: Joseph Needham: ''Wissenschaft und Zivilisation in China''. Band 1. Suhrkamp, Frankfurt am Main 1984. Originaltitel: ''The shorter science and civilisation in China''. University Press, Cambridge 1978, dt. Rainer Herbster. ISBN 3-518-57692-5</ref>

Eingang in die [[Geschichte der Mathematik|moderne Mathematik]] findet das Bogenmaß mit dem exakten Wert <math>2\pi</math> erst im ausgehenden 17. Jahrhundert über den [[Differentialrechnung|Differentialkalkül]], da Formeln wie <math>\sin^\prime x = \cos x</math>, die [[Eulersche Identität]] und die Näherungen (für kleine Winkel) <math>\sin x \approx \tan x \approx x</math> nur gelten, wenn diese [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] mit [[Funktion (Mathematik)|Argumenten]] (Winkeln) im Bogenmaß verwendet werden. Dieses Winkelmaß ist damit die natürliche Einheit für das Argument der [[Sinus und Kosinus|Sinus- und Cosinusfunktion]], so wie die [[Eulersche Zahl]] <math>e</math> die natürliche Basis der [[Exponentialfunktion]] ist – für den Zusammenhang siehe [[komplexe Exponentialfunktion]].

=== Gradmaß: 360, 400; Stundenmaß: 24 ===
Ob es für die Entwicklung des [[Sexagesimalsystem]]s eine Rolle spielte, dass sich in einen Kreis leicht ein regelmäßiges Sechseck mit Umfang des sechsfachen Radius einbeschreiben lässt, ist unbekannt. Aber schon aus [[Sumerer|Sumerischer]] Zeit ist die Verwendung einer [[Sechzig]]erteilung wie auch einer [[Zwölf]]erteilung für [[Astrometrie|astrometrische]] Winkelmessungen nachweisbar. Die Letztere ist im [[Zodiak]] („Tierkreis“) erhalten.

Belegt ist die Einteilung des Vollwinkels in 360 Teile durch die frühen griechischen Astronomen. Sie dürfte wohl auf [[Babylonien|babylonische]] Tradition zurückzuführen sein. [[Hypsikles von Alexandria]] verwendet sie 170 v. Chr. im ''[[Anaphorikos]]''.

Es sind die Astronomen, die diese Maßzahl für den Vollkreis schätzten, nicht nur der vielfältigen [[Teilbarkeit|Teilungsmöglichkeiten]] wegen, sondern auch im Kontext der [[Kalenderrechnung]]: Zum einen nähert die Zahl die 365 Tage des [[Jahr]]es an, insbesondere aber lassen sich auch die Berechnungen der Hauptstellungen des Mondes, also seiner [[Synodischer Monat|synodischen Periode]] von knapp 30 Tagen und das [[Lunarjahr]] von 354 Tagen (360 − 6, im Zusammenhang mit 360 + 6) relativ zwanglos handhaben.

Die Möglichkeiten, die diese Rechenweise bietet, war für die jüdischen Gelehrten für die Berechnung des [[Neulicht]]s – der Grundlage [[jüdischer Kalender|ihres Kalenders]] – entscheidend. Von ihnen wurde das Gradmaß als umfassendes Messprinzip für Winkel in [[Astronomie]], [[Geodäsie]] und [[Geometrie]] etabliert, etwa auf [[Astrolabium]], [[Sextant]], oder [[Dioptra]].<ref>''Die arabischen Zahlbuchstaben''. Ifrah, S. 307ff</ref> Es wurde auch in der westlichen Tradition ab dem [[12. Jahrhundert]] weiterbehalten, wo das Grad seinen Namen bekommt. Die Methode umfasst auch die sexagesimale Teilung des ''gradus'' („Schritt“ am Kreis) in ''pars minuta prima'' „erster verminderter Teil“ und ''pars minuta secunda'' „nochmals verminderter Teil“, die Winkelangabe in ''[[Grad (Winkel)|Grad]]'', ''[[Winkelminute]]n'' und ''[[Winkelsekunde]]n''. Selten findet sich auch noch die veraltete ''[[Tertie (Winkel)|Tertie]]'' für „pars minuta tertia“ („dritter verminderter Teil“).

[[Datei:24directions.png|mini|hochkant=0.7|Chinesische Kompassteilung]]
Daneben war seit lang vor der Zeitenwende die chronologische Einteilung des Tages – und damit auch des Vollkreises – in 24 oder 12 Stunden üblich (siehe dazu [[24-Stunden-Zählung]] und [[12-Stunden-Zählung]]). Im Kalenderwesen bezeichnet man das als die ''[[Babylonische Stunden|babylonischen oder griechischen]]'' (beginnend bei Sonnenaufgang) oder ''[[italienische Stunden]]'' (zuerst in jüdischer, dann islamische Tradition übergehend bei Sonnenuntergang). Der Sternkatalog des [[Hipparch von Nikaia]] (190–120 v. Chr.) ist im ''[[Almagest]]'' des [[Ptolemäus]] überliefert, seine trigonometrische Tabelle ist – darüber hinausgehend – mit einer verdoppelten, also 48er-Teilung (7,5°-Intervall) erstellt. Dasselbe System der Zwölfteilung findet sich aber auch in den chinesischen [[Erdzweige]]n, die – vermutlich auch auf mesopotamischer Tradition beruhend – etwa gleich alt sind wie der Hipparchkatalog<ref>Needham, S. 255</ref> und sowohl für Zeitrechnung wie auch für Navigation genutzt wurden. Für Messungen in einem [[Astronomische Koordinatensysteme|Maßsystem]], das die [[Erdumdrehung]] widerspiegelt, ist die 24er-Teilung des Kreises als [[Zeitmaß (Winkel)|Zeitmaß]] bis heute üblich, weil es aus der Winkelangabe des ''[[Stundenwinkel]]s'' eine direkte Zeitmessung ermöglicht. Ein Ursprung lässt sich nicht ausmachen, aber schon im 2. Jahrhundert v. Chr. erreicht – über Vermittlung der indischen Astronomie – eine 12-Stunden Zählung China (realisiert in den Erdzweigen).<ref name="Needham" />

Die gemeinsame Wurzel dieser beiden Kreisteilungen zeigt sich im terrestrischen Längenwinkel (''[[Längengrad]]''), bei dem dem [[Gradnetz|360-Grad-Netz]] das der 24 [[Zeitzone]]n überlagert ist.

Die Schreibweise einer [[Dezimalsystem|dezimale Angabe]] der Unterteilung eines Grades (mit [[Kommastelle]]n) in ''Dezimalgrad'' ist erst Ende des Mittelalters in Arabien aufgekommen.

Obwohl die Geodäsie zu den Wissenschaftszweigen zählt, die an der Entwicklung des Gradmaßes ursächlich beteiligt waren, profitiert sie am wenigsten von der Zahl 360. In den 1790er Jahren wurde in Frankreich mit der [[Metrisches Einheitensystem#Verbreitung des metrischen Systems|Metrification]] begonnen, in deren Zuge das [[Urmeter]] als zehnmillionsten Teil des [[Meridianbogen]]s vom [[Pol (Geographie)|Nordpol]] zum [[Äquator]] definiert wurde. In der ''Nouvelle Triangulation de la France'' wurde ein neues [[Gradnetz]] entwickelt, das den Kreis entsprechend in 400 Einheiten, die ''grade nouvelle'' (''Neugrad'') teilte, so dass 0,01<sup>gr</sup> einem Kilometer entsprach. Dieses ''geodätische Winkelmaß'' (in [[Gon]]) wird auch heute noch in der Geodäsie etwa für die [[Triangulation (Geodäsie)|Triangulation]] verwendet, obwohl sich die Definition des Meters schon lange nicht mehr auf die Länge des Erdmeridians bezieht.

=== Peilung: 32, 6400 ===
Verdoppelt man den rechten Winkel (den Viertelkreis), erhält man einen Halbkreis, bei nochmaliger Verdoppelung einen Vollkreis. Wendet man diesen Gedankengang auf die Halbierung an, erhält man einen Achtelkreis, dann einen Sechzehntelkreis und so fort. Im Unterschied zu den vorherigen Systemen der Winkelbestimmung eignet sich dieses Verfahren insbesondere für Bezugsysteme in Bewegung (''[[Azimutales Koordinatensystem]]''), die das eingangs erwähnte Prinzip vier ausgezeichneter [[Richtung]]en im Bezug zur Blick- oder [[Fahrtrichtung]] repräsentieren, und daher den rechten Winkel als Grundmaß verwenden.

Verwendung fand das System insbesondere in der nautischen Navigation zur [[Peilung]] der Position und des [[Kurswinkel]]s. Hierbei erfolgt eine Teilung in vier Hauptrichtungen („Voraus“, „Steuerbord“, „Achteraus“, „Backbord“), vier Nebenrichtungen (Achtel), und das Zweiunddreißigstel des Vollkreises wird mit der Maßeinheit ''[[Nautischer Strich]]'' bedacht. Erst in Kombination mit dem [[Kompass]] erhält diese ''Windrose'' eine ''ortsfeste Richtung'' (meistens den Norden) und wird zur ''Kompassrose''. In der Schifffahrt wird aber heute üblicherweise auch im Gradmaß mit Dezimalminuten gepeilt.<ref>Format international: ggg° mm.m’ – [[DIN 13 312]] ''Navigation''.</ref>

Ein weiterer Anwendungsbereich, bei der die Ausrichtung unabhängig von ortsfesten Netz entscheidend ist, ist das Visieren in der Artillerie. Aufgrund der hohen Präzision, die erforderlich ist – und einem rechentechnischen Vorteil in der Umwandlung von Visiereinteilung am [[Fadennetz]] in Entfernung des anvisierten Objekts – wird der Vollkreis in 6400 ''[[Artilleristischer Strich|Artilleristische Striche]]'' ([[Schweizer Armee]]: ''Artilleriepromille'', nordfest) eingeteilt.

== Siehe auch ==
* [[Geschichte von Maßen und Gewichten]]
* zum Begriff eines Winkelmaßes in der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] siehe [[Euklidischer Körper]].

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Winkelmass}}
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Geschichte der Mathematik]]
[[Kategorie:Physikalische Größe]]

[[pl:Kąt#Miara kąta]]

Winkelmaß - Versionsgeschichte

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