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2026-04-06T17:56:22Z

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[[Datei:Winkelhalbierende-w-gh.svg|mini|Winkelhalbierende eines Winkels bzw. zweier Geraden]]
In der ebenen [[Geometrie]] ist die '''Winkelhalbierende''' eines [[Winkel]]s die [[Halbgerade]], die durch den [[Scheitelpunkt (Winkel)|Scheitelpunkt]] des Winkels läuft und das Winkelfeld in zwei [[Deckungsgleich|deckungsgleiche]] Teile teilt.

Zwei sich schneidende [[Gerade|Geraden]] bestimmt zwei Winkelhalbierende, in diesem Falle Geraden, die zueinander [[Orthogonalität|orthogonal]] sind. Jede dieser Winkelhalbierenden ist eine [[Symmetrieachse]] der geometrischen Figur, die von den sich schneidenden Geraden gebildet wird. Aus dieser Symmetrieeigenschaft folgt eine Charakterisierung der beiden Winkelhalbierenden als [[geometrischer Ort]], die als '''Winkelhalbierendensatz''' bezeichnet wird.

In der [[Analytische Geometrie|analytischen Geometrie]] und in der [[Analysis]] spielen die Winkelhalbierenden der [[Koordinatenachse]]n eines [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystems]] eine besondere Rolle. Diejenige, die durch den I. und III. [[Quadrant (Mathematik)|Quadranten]] verläuft, heißt '''1. Winkelhalbierende''' oder '''1. Mediane''', die andere '''2. Winkelhalbierende'''.

In der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] werden die Winkelhalbierenden von sich schneidenden Geraden ebenfalls durch ihre Eigenschaft als [[Symmetrieachse]]n definiert. Die Existenz dieser Winkelhalbierenden ist dort eines der Axiome, die eine ''frei bewegliche [[präeuklidische Ebene]]'' kennzeichnen.

== Winkelhalbierende in der ebenen Geometrie ==
=== Konstruktion ===
Ein [[Winkel]] ist durch seine beiden Schenkel, also die [[Halbgerade]]n mit gemeinsamen Anfang im Scheitel des Winkels, gegeben. Dann kann die Winkelhalbierende mit [[Zirkel und Lineal]] konstruiert werden: Um den Scheitelpunkt wird ein [[Kreis (Geometrie)|Kreis]] mit beliebigem [[Radius]] gezeichnet. An den [[Schnittpunkt]]en mit den Schenkeln des Winkels wird der Zirkel erneut angesetzt. Dann zeichnet man jeweils einen Kreis mit gleichem Radius. Die Schnittpunkte dieser zwei Kreise liegen auf der Winkelhalbierenden.

Bei dieser Konstruktion wird benutzt, dass die Winkelhalbierende zugleich [[Mittelsenkrechte]] in dem [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenkligen Dreieck]] ist, das durch den Scheitel und die zwei ersten Hilfspunkte gegeben ist.
<div style="text-align:center;">[[Datei:Bissectrice droites.png|mini|Die Winkelhalbierenden (rot) zweier Geraden sind zueinander orthogonal.]][[Datei:Winkelteilung.svg|zentriert|gerahmt|Konstruktion einer Winkelhalbierenden mit Zirkel und Lineal. Dazu müssen drei Kreise oder Kreisbögen gezeichnet werden.]]</div>

Liegen allgemeiner zwei [[Gerade]]n vor, die sich in einem [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] schneiden, so haben wir vier [[Winkel]] und damit vier Winkelhalbierende. Die Winkelhalbierenden zweier Scheitelwinkel fallen zusammen, also bleiben nur zwei Winkelhalbierende übrig. Diese zwei Winkelhalbierenden – die zueinander [[orthogonal]] sind – nennt man die ''Winkelhalbierenden der zwei Geraden'' (siehe Abbildung rechts).

Wenn wir wieder zu dem Fall eines [[Winkel]]s zurückkommen, der von zwei Schenkeln ([[Halbgerade]]n) begrenzt wird, und nun diese Schenkel zu [[Gerade]]n verlängern, dann bekommen wir zwei Geraden mit zwei Winkelhalbierenden. Die eine ist die Winkelhalbierende des ursprünglichen Winkels. Die andere ist die Winkelhalbierende seines [[Nebenwinkel]]s. Sie heißt ''Außenwinkelhalbierende'' des ursprünglichen Winkels.
=== Winkelhalbierendensatz ===
Die Winkelhalbierende ist die Menge aller [[Punkt (Geometrie)|Punkte]], die von den beiden Geraden gleich weit entfernt sind.<ref>{{Literatur |Autor=Harald Scheid, Wolfgang Schwarz |Titel=Elemente der Geometrie |Auflage=5. |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-50322-5 |Seiten=13}}</ref> Das bedeutet, dass ein Punkt genau dann auf der Winkelhalbierenden liegt, wenn er von beiden Schenkeln denselben [[Abstand]] hat.<ref>{{Literatur |Autor=Benölken, Gorski, Müller-Philipp |Titel=Leitfaden Geometrie: Für Studierende der Lehrämter |Auflage=7. |Verlag=Springer Spektrum |Ort= |Datum=2018 |ISBN=978-3-658-23377-8 |Seiten=303}}</ref>

=== Winkelhalbierende im Dreieck ===
[[Datei:Aussenwinkelhalbierende2.svg|mini|hochkant=1|Die drei Außenwinkelhablierenden:<br />Die drei Schnittpunkte D, E, F liegen auf einer Geraden (rot) und es gelten die folgenden Streckenverhältnisse:<br /> <math>\begin{align} \frac{|EB|}{|EC|}&=\frac{|AB|}{|AC|} \\ \frac{|FB|}{|FA|}&=\frac{|CB|}{|CA|} \\ \frac{|DA|}{|DC|}&=\frac{|BA|}{|BC|}\end{align} </math>]]
Ist in der [[Dreieck]]slehre von Winkelhalbierenden die Rede, so bezieht sich dieser Begriff meist auf die [[Innenwinkel]], seltener auf die [[Außenwinkel]]. Hier wird die Winkelhalbierende eines Innenwinkels <math>\alpha</math> oft als <math>w_\alpha</math> abgekürzt. Dieses Kürzel steht dann zugleich auch für die Strecke auf der Winkelhalbierenden, die innerhalb des Dreiecks liegt, und in Konstruktionsaufgaben auch für deren [[Länge (Mathematik)|Länge]].

Für diese Winkelhalbierenden gelten unter anderem folgende [[Satz (Mathematik)|Sätze]]:

* Die drei Winkelhalbierenden der Innenwinkel eines [[Dreieck]]s schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des [[Inkreis]]es (siehe [[Ausgezeichnete Punkte im Dreieck]]).
* Jede Winkelhalbierende eines Innenwinkels im [[Dreieck]] teilt die gegenüberliegende Seite im [[Verhältnis (Mathematik)|Verhältnis]] der anliegenden Seiten. Diese Aussage wird auch als [[Winkelhalbierendensatz (Dreieck)|Winkelhalbierendensatz]] bezeichnet und lässt sich mithilfe [[Ähnlichkeit (Geometrie)|ähnlicher Dreiecke]] oder durch Anwendung des [[Sinussatz]]es beweisen.
* Für die [[Länge (Mathematik)|Länge]] <math>w_c</math> der Halbierenden eines [[Innenwinkel]]s <math>\gamma</math> und für die anliegenden Seiten der Länge <math>a</math> und <math>b</math> gilt die Beziehung:

::<math>w_c=\frac{2ab}{a+b}\cos\left( \frac{\gamma}{2} \right)</math><ref>{{Internetquelle |autor=Victor Oxman |url=https://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200425.pdf |titel=On the existence of triangles with given lengths of one side and two adjacent angle bisectors |hrsg=Forum Geometricorum 4 |datum=2004 |seiten=215 |format=PDF |abruf=2022-06-14}}</ref>

:Sind hingegen alle drei Seiten gegeben, so gilt:

::<math>w_c = \sqrt{a \cdot b \left( 1-\frac{c^2}{(a+b)^2}\right)}</math><ref>{{MathWorld |id=AngleBisector |title=Angle Bisector}}</ref>
* Die Halbierenden eines [[Innenwinkel]]s und der zu den beiden anderen Innenwinkeln gehörenden [[Außenwinkel]] eines [[Dreieck]]s schneiden sich jeweils in einem [[Punkt (Geometrie)|Punkt]]. Dieser Punkt ist der [[Mittelpunkt]] eines [[Ankreis]]es.
* Die [[Schnittpunkt]]e der Halbierenden der [[Außenwinkel]] mit den verlängerten Gegenseiten der entsprechenden [[Innenwinkel]] liegen, sofern sie existieren, auf einer [[Gerade]]n.
* Jede Winkelhalbierende schneidet die Mittelsenkrechte der dem Winkel gegenüberliegenden Seite auf dem Umkreis des (nicht-gleichschenkligen) Dreiecks. Dies ist der sogenannte [[Südpolsatz]].

* Die Fußpunkte der Winkelhalbierenden (Schnittpunkte der Winkelhalbierenden mit den Seiten des Dreiecks) sind gegeben durch (baryzentrisch):

::<math>W_a = \left( 0 : b : c \right)</math>
::<math>W_b = \left( a : 0 : c \right)</math>
::<math>W_c = \left( a : b : 0 \right)</math>

=== Winkelhalbierende im Viereck ===
Die Winkelhalbierenden eines [[Viereck]]s begrenzen im Allgemeinen ein [[Sehnenviereck]]. Beim [[Tangentenviereck]] ist es zu einem [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] entartet. Beim Sehnenviereck ist das eingeschlossene Viereck [[Orthodiagonales Viereck|orthodiagonal]]. Die Winkelhalbierenden eines [[Parallelogramm]]s schließen im Allgemeinen ein [[Rechteck]] ein, die Winkelhalbierenden eines Rechtecks ein [[Quadrat (Geometrie)|Quadrat]], die Winkelhalbierende eines [[Gleichschenkliges Trapez|gleichschenkligen Trapezes]] ein [[Drachenviereck]], die Winkelhalbierende eines Vierecks mit gleichen gegenüberliegenden Winkeln ein gleichschenkliges Trapez.

=== Gleichungen ===
Sind die [[Gleichung]]en <math>a_1x+b_1y+c_1=0,\ a_2x+b_2y+c_2=0</math> zweier [[Gerade]]n gegeben, so ergeben sich die Gleichungen ihrer Winkelhalbierenden mit Hilfe ihrer [[Hessesche Normalform|Hesseschen Normalformen]]:
:<math>\frac{a_1x+b_1y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}} = \pm \frac{a_2x+b_2y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}.</math>
Denn die Winkelhalbierenden bilden die Gesamtheit der [[Punkt (Geometrie)|Punkte]], die von den beiden Geraden den gleichen [[Abstand]] besitzen.

== Winkelhalbierende eines Koordinatensystems ==
In einem [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystem]] spielen die beiden Winkelhalbierenden der Koordinatenachsen eine besondere Rolle:

Als ''1. Winkelhalbierende'' (Winkelhalbierende des I. und III. [[Quadrant (Mathematik)|Quadranten]]) bezeichnet man die [[Gerade]] mit der [[Gleichung]] <math>y = x</math>. Dieser [[Funktionsgraph]] ist die [[Ursprungsgerade]] mit der [[Steigung]] 1. Sie heißt in Österreich ''1. Mediane''.

Als ''2. Winkelhalbierende'' (Winkelhalbierende des II. und IV. Quadranten) bezeichnet man die Gerade mit der Gleichung <math>y = -x</math>. Dieser Funktionsgraph ist die Ursprungsgerade mit der Steigung −1.

== Verallgemeinerungen ==
{{Siehe auch|Dreiteilung des Winkels}}
Mithilfe von [[Iteration|iterativer]] Winkelhalbierung kann ein [[Winkel]] auch in <math>2 \cdot 2 = 2^2 = 4</math>, <math>2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8</math>, <math>2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4 = 16</math> oder allgemein in <math>2^k</math> [[Deckungsgleich|deckungsgleiche]] Teile geteilt werden. Dazu werden die halbierten Winkel jeweils erneut halbiert. Um einen Winkel zum Beispiel in <math>2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4 = 16</math> gleiche Teile zu teilen, müssen nacheinander 4 Winkelhalbierende konstruiert werden.

Dieses Verfahren lässt sich verallgemeinern: Ist ein Winkel <math>\alpha</math> gegeben, dann kann der Winkel <math>\frac{n}{2^k} \cdot \alpha</math> konstruiert werden, wenn <math>n</math> und <math>k</math> [[Natürliche Zahl|natürliche Zahlen]] sind. Dabei hilft die [[Zahldarstellung]] im [[Dualsystem|Binärsystem]], denn der [[Quotient]] <math>\frac{n}{2^k}</math> hat eine endliche Darstellung mit höchstens <math>k</math> binären [[Nachkommastelle]]n. Soll zum Beispiel der Winkel <math>\frac{5}{8} \cdot \alpha</math> konstruiert werden, dann hilft die [[Dualsystem|binäre]] Darstellung <math>\frac{5}{8} = [0{,}101]_2</math>. Daraus ergibt sich <math>\frac{5}{8} \cdot \alpha = \alpha \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{8}\right)\right) = \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{4} - \frac{\alpha}{8}</math>. Der Winkel <math>\frac{5}{8} \cdot \alpha</math> kann also konstruiert werden, indem am [[Scheitelpunkt]] nacheinander der Winkel <math>\frac{\alpha}{2}</math> im Uhrzeigersinn, der Winkel <math>\frac{\alpha}{4}</math> im Uhrzeigersinn und der Winkel <math>\frac{\alpha}{8}</math> gegen den Uhrzeigersinn konstruiert wird.

Es gilt folgender Satz: Ist ein Winkel <math>\alpha</math> gegeben und sind <math>p</math> und <math>q</math> [[Natürliche Zahl|natürliche Zahlen]], dann kann der Winkel <math>\frac{p}{q} \cdot \alpha</math> genau dann mit [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal|Zirkel und Lineal]] konstruiert werden, wenn <math>q</math> eine [[Zweierpotenz]] ist, also <math>q = 2^k</math>. Für alle anderen natürlichen Zahlen <math>q</math> ist das nicht möglich.<ref>Stephen Buckley, Desmond MacHale, Department of Mathematics, University College, Cork: [https://archive.maths.nuim.ie/staff/sbuckley/Papers/divide_angle.pdf Dividing an angle into equal parts]</ref>

Das [[Geometrisch|geometrische]] Problem der [[Dreiteilung des Winkels]], das seit dem 5. Jahrhundert v. Chr. bekannt ist, kann daher nicht mit Zirkel und Lineal gelöst werden.

== Synthetische Geometrie ==
Eine [[präeuklidische Ebene]] ist in der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] eine [[affine Ebene]] <math>K^2</math> über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math>, dessen [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] nicht 2 ist, zusammen mit einer [[Präeuklidische Ebene#Orthogonalität|Orthogonalitätsrelation ohne isotrope Geraden]] <math>\perp</math> zwischen den Geraden der Ebene. In einer solchen Ebene können (senkrechte) Achsenspiegelungen definiert werden (siehe [[Spiegelung (Geometrie)#Achsenspiegelung|Spiegelung (Geometrie) – Achsenspiegelung]]).

Als '''Winkelhalbierenden-Axiom''' wird die folgende Aussage bezeichnet:
* Zu zwei [[Gerade]]n <math>a,b</math> existiert eine Gerade <math>w</math>, so dass bei der [[Achsenspiegelung]] an <math>w</math> die Gerade <math>a</math> auf die Gerade <math>b</math> abgebildet wird.
Sind die Geraden <math>a,b</math> parallel und verschieden, so ist deren [[Mittelparallele]] eine Gerade, die die geforderte Symmetrieeigenschaft hat. Da Mittelparallelen in einer präeuklidischen Ebene immer existieren, ist die wesentliche Forderung die nach einer [[Symmetrieachse]] für die sich schneidenden Geraden, also nach einer Winkelhalbierenden. Aus der Existenz ''einer'' Winkelhalbierenden folgt stets die Existenz genau einer zweiten, die senkrecht zur ersten ist.

Eine präeuklidische Ebene, die das [[Axiom]] für Winkelhalbierende erfüllt, wird als '''frei bewegliche Ebene''' bezeichnet.

== Siehe auch ==
* [[Tangente (Winkelhalbierende)]]

== Literatur ==
* [[Friedrich Bachmann (Mathematiker)|Friedrich Bachmann]]: ''Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff.'' 2. Auflage. Springer, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1973, ISBN 978-3-642-65538-8.
:Zusammenfassung: [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0123?tify={%22pages%22:%5B345%5D} Zur Begründung der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff.] Mathematische Annalen, Bd. 123, 1951, S. 341ff.
* Wendelin Degen und Lothar Profke: ''Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie'', Teubner, Stuttgart, 1976, ISBN 3-519-02751-8

== Weblinks ==
{{Commonscat|Angle bisection|Winkelhalbierende}}
{{Wiktionary}}
{{Wiktionary|Winkelsymmetrale}}
* [http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/math4u/var/PD1.html Klassische Transversalen] – Innen- und Außenwinkelhalbierende unter D.7

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Ebene Geometrie]]
[[Kategorie:Synthetische Geometrie]]

Winkelhalbierende - Versionsgeschichte

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