imported>Mathze: /* Winkelgeschwindigkeit */Formelbestandteil in Matheumgebung gezogen

2026-04-04T05:57:49Z

Winkelgeschwindigkeit: Formelbestandteil in Matheumgebung gezogen

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{{Infobox Physikalische Größe
|Name= Winkelgeschwindigkeit, Rotationsgeschwindigkeit, Drehgeschwindigkeit
|Größenart=
|Formelzeichen= <math>\vec\omega</math>
|Dim=
|AbgeleitetVon= [[Winkel]]
|SI= [[Radiant (Einheit)|rad]]·[[Sekunde|s]]−1
|SI-Dimension= [[Zeit|T]]−1
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|SieheAuch=
}}

Die '''Winkelgeschwindigkeit''' ist in der [[Physik]] eine [[Vektor|vektorielle]] [[Physikalische Größe|Größe]], die angibt, wie schnell sich ein [[Winkel]] mit der [[Zeit]] um eine Achse ändert. Ihr Formelzeichen ist <math>\vec\omega</math> (kleines [[Omega]]). Die [[SI-Einheit]] der Winkelgeschwindigkeit ist {{Nowrap|<math>\tfrac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math>.}} Sie spielt insbesondere bei [[Rotation (Physik)|Rotationen]] eine Rolle und wird dann auch als '''Rotationsgeschwindigkeit''' oder '''Drehgeschwindigkeit''' bezeichnet. In vielen Fällen, bei denen sich die Richtung der Drehachse im Bezugssystem nicht ändert, reicht die [[Skalar (Mathematik)|skalare]] Verwendung als Betrag des Vektors aus.

== Definitionen ==
=== Winkelgeschwindigkeit ===
[[Datei:KinematikKreisbewegung.png|mini|Winkelgeschwindigkeit <math>\vec\omega</math> und Bahngeschwindigkeit <math>\vec v</math> der Kreisbewegung]]
Die Winkelgeschwindigkeit <math>\vec\omega</math> wird durch einen [[Pseudovektor]] dargestellt, der die Richtung der Drehachse und die Schnelligkeit der Rotationsbewegung angibt; sie gilt für jeden Punkt des rotierenden Systems, ihr Vektor ist nicht nur in der Rotationsachse platziert. Die Richtung des Pseudovektors ist so orientiert, dass sie gemäß der [[Korkenzieherregel]] die Rotationsrichtung angibt. Der [[Vektor#Länge/Betrag eines Vektors|Betrag]] der Winkelgeschwindigkeit <math>\omega = \left|\vec\omega\right|</math> ist gleich der [[Differentialrechnung|Ableitung]] des Rotationswinkels <math>\varphi</math> nach der Zeit <math>t</math>:

:<math>\omega = \frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dt}\;.</math>
Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit gilt daher
:<math>\omega = \frac{2\pi}{T}</math>,
denn in der Umlaufzeit <math>T</math> wird der Winkel <math>2\pi</math> durchlaufen.

Bei einer ebenen Kreisbewegung ändert sich die Richtung der momentanen Bahngeschwindigkeit eines Punktes mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit wie der Radiusvektor des Punktes. Bei einer im Raum gekrümmten Bahnkurve gilt dies für den momentanen Krümmungskreis. Die Änderung der Richtung der Bahngeschwindigkeit kann man daher genauso gut zu einer Definition der Winkelgeschwindigkeit nutzen. Sie ergibt sich direkt aus den Daten der Bahn und erfordert keine Bestimmung einer Drehachse.

Der Betrag <math>\omega</math> der Winkelgeschwindigkeit wird meist bei Vorgängen verwendet, bei denen sich die Drehachse nicht ändert. Eine Änderung von Richtung oder Betrag der Winkelgeschwindigkeit ist Folge einer [[Winkelbeschleunigung]].

=== Bahngeschwindigkeit ===
Jeder Punkt des rotierenden Systems beschreibt eine Kreisbahn, deren Ebene senkrecht zur Drehachse liegt. Die Bahn- oder Umlaufgeschwindigkeit <math>\vec v</math> des Punktes auf diesem Kreis ist dem Betrag nach
:<math> v = \omega \,r_\perp </math>,
wobei <math>r_\perp</math> der Radius der Kreisbewegung ist. Denn zur infinitesimalen Zeitspanne <math>\mathrm d t</math> gehört der infinitesimale Weg <math>\mathrm d s =r_\perp \, \mathrm d \varphi = r_\perp \,\omega\, \mathrm d t</math>.

Liegt der Ursprung <math>O</math> des Koordinatensystems auf der Drehachse, dann ist die Bahngeschwindigkeit nach Richtung und Betrag gleich dem [[Kreuzprodukt]] aus Winkelgeschwindigkeit und Ortsvektor:
:<math>\vec v = \vec \omega \times \vec r</math>,
denn der Abstand von der Achse ist
:<math>r_\perp = r\, \mathrm {sin}\vartheta </math>
mit dem [[Polarwinkel]] <math>\vartheta </math>, der den konstant bleibenden Winkelabstand zwischen der Drehachse und dem Ortsvektor zum betrachteten Punkt angibt.

Diese Betrachtung der Änderungsgeschwindigkeit des Ortsvektors gilt für jeden Vektor, der einer Drehung unterworfen ist, z. B. für die Basisvektoren <math>\vec{e}'_{i}</math> (<math>i \in \{x, y, z\}</math>) eines [[Rotierendes Bezugssystem|rotierenden Bezugssystems]]. Deren Änderungsgeschwindigkeit ist

:<math>\frac{\mathrm{d}\vec{e}'_{i}}{\mathrm{d}t} \,=\, \vec{\omega}\times\vec{e}'_{i}</math>.

== Abgrenzung zur Kreisfrequenz ==
{{Hauptartikel|Kreisfrequenz}}
Obwohl die [[Kreisfrequenz]] und die Winkelgeschwindigkeit mit demselben Formelzeichen <math>\omega</math> bezeichnet werden und obwohl sie in derselben Einheit gemessen werden, handelt es sich um zwei verschiedene physikalische Größen.

Die Winkelgeschwindigkeit gibt die Änderungsrate eines geometrischen Winkels an und wird im Zusammenhang von Drehbewegungen verwendet.

Die Kreisfrequenz dagegen ist eine abstrakte Größe im Kontext von Schwingungen.<ref name="KnaebelJäger2009">{{Literatur |Autor=Manfred Knaebel, Helmut Jäger, Roland Mastel |Titel=Technische Schwingungslehre |Verlag=Springer-Verlag |Datum=2009 |Seiten=8 ff. |ISBN=978-3-8351-0180-7 |Online=[https://books.google.de/books?id=8BIvfpZO-hMC&pg=PA8&redir_esc=y&hl=de books.google.com.]}}</ref> Eine Schwingung kann mathematisch durch einen rotierenden Zeiger dargestellt werden (siehe [[Zeigermodell]]). Der Winkel des Zeigers wird als Phase oder Phasenwinkel bezeichnet.<ref>{{Literatur |Autor=Jürgen Eichler |Titel=Physik. Grundlagen für das Ingenieurstudium – kurz und prägnant |Verlag=Springer DE |Datum=2011 |ISBN=978-3-8348-9942-2 |URN=nbn:de:1111-20110310734 |Seiten=112 |Online={{Google Buch |BuchID=rqrjD7PL4ngC |Seite=112}}}}</ref> Die Änderungsgeschwindigkeit dieses Phasenwinkels ist die Kreisfrequenz. Sie ist also – wie auch die [[Frequenz]] – ein Maß dafür, wie schnell eine Schwingung abläuft und hat – abgesehen von der Rotation des gedachten Zeigers – nichts mit einer Drehbewegung zu tun.

== Winkelgeschwindigkeit des Sehstrahls ==
=== Ebene Bewegung ===
[[Datei:Angular velocity1.svg|mini|Die Winkelgeschwindigkeit des Sehstrahls vom Ursprung O zum Teilchen P wird bestimmt durch die [[Tangentialgeschwindigkeit]] des Geschwindigkeitsvektors '''v.''']]

Der Geschwindigkeitsvektor '''v''' eines Teilchens P relativ zu einem Beobachter O kann in [[Polarkoordinaten]] zerlegt werden. Die [[Radialgeschwindigkeit|radiale Komponente]] des Geschwindigkeitsvektors ändert die Richtung des [[Fahrstrahl|Sehstrahls]] nicht. Zwischen der [[Tangentialgeschwindigkeit|tangentialen Komponente]] und der Winkelgeschwindigkeit des Sehstrahls besteht die Beziehung:

:<math>\mathrm{v}_\perp=\frac{\mathrm d\phi}{\mathrm dt}\,r=\omega\cdot r\;.</math>

Es ist anzumerken, dass die Winkelgeschwindigkeit des Sehstrahls vom (willkürlich) gewählten Ort des Beobachters abhängt.

=== Räumliche Bewegung ===
In drei Dimensionen ist die Winkelgeschwindigkeit durch ihren Betrag und ihre Richtung gekennzeichnet.

Wie im zweidimensionalen Fall hat das Teilchen eine Komponente seines Geschwindigkeitsvektors in Richtung des Radiusvektors und eine weitere senkrecht dazu. Die [[Parameterform#Parameterform einer Ebenengleichung|Ebene]] mit Stützvektor <math>\vec 0</math> (Ort des Beobachters) und Richtungsvektoren <math>\vec r</math> und <math>\vec v_\perp</math> definiert eine Rotationsebene, in der das Verhalten des Teilchens für einen Augenblick wie im zweidimensionalen Fall erscheint. Die Rotationsachse ist dann senkrecht zu dieser Ebene und definiert die Richtung des Vektors der momentanen Winkelgeschwindigkeit. Radius- und Geschwindigkeitsvektor werden als bekannt vorausgesetzt. Es gilt dann:
:<math>\vec\omega=\frac{\vec{r}\times\vec{v}}{|{\vec{r}}|^2}\;.</math>

Auch hier gilt, dass die so berechnete Winkelgeschwindigkeit vom (willkürlich) gewählten Ort des Beobachters abhängt.
Zum Beispiel ergibt sich in [[Zylinderkoordinaten]] ''(ρ, φ, z)'' mit <math> \vec{r}=\begin{pmatrix} \rho\cos\varphi\\ \rho\sin\varphi\\ z \end{pmatrix} </math> und daraus berechnetem <math> \vec{v}= \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\vec{r} </math>:
:<math>({\rho}^2+z^2)\vec\omega=
\dot\rho z\hat{e}_\varphi
+\dot\varphi(-z\rho\hat{e}_\rho+\rho^2\hat{e}_z)
-\dot z \rho \hat{e}_\varphi \;.</math>
Dabei sind <math> \hat{e}_\rho, \hat{e}_\varphi, \hat{e}_z </math> die Basisvektoren zu [[Polarkoordinaten#Zylinderkoordinaten|Zylinderkoordinaten]].

In [[Kugelkoordinaten]] ''(r, θ, φ)'' folgt analog
<math>\vec\omega = -\dot\varphi\sin\theta\hat{e}_\theta
+\dot\theta\hat{e}_\varphi \;.
</math>

Eine Anwendung ist die Relativbewegung von Objekten in der Astronomie (siehe [[Eigenbewegung (Astronomie)]]).

== Winkelgeschwindigkeit bei speziellen Bewegungsansätzen ==
Bei der Rotation von Körpern können Winkel zur Parametrisierung der Bewegung eingesetzt werden. Im Folgenden wird eine Auswahl häufig genutzter Ansätze beschrieben.

=== Euler-Winkel in der z-y′-x″-Konvention ===
[[Datei:Lagewinkel-Drehung.svg|mini|Lagewinkel-Drehung vom erdfesten Koordinatensystem ({{enS|''world frame''}}, Index g) ins körperfeste Koordinatensystem ({{enS|''body frame''}}, Index f)]]
Im Fahrzeug- oder Flugzeugbau wird die Orientierung des fahrzeugfesten Systems relativ zum erdfesten System in [[Eulersche Winkel|Euler-Winkeln]] angegeben. Genormt sind drei aufeinander folgende Drehungen. Zuerst um die z-Achse des Systems g (Gierwinkel), dann um die y-Achse des gedrehten Systems (Nickwinkel) und schließlich um die x-Achse des körperfesten Koordinatensystems (Wank/Rollwinkel).

Die Winkelgeschwindigkeit des körperfesten Systems ergibt sich aus den Winkelgeschwindigkeiten um diese Achsen:
:<math>\vec \omega = \dot\psi \vec{u}_1
+\dot\theta \vec{u}_2
+\dot\phi \vec{u}_3.</math>
Der [[Überpunkt#Als wissenschaftliches Symbol|aufgesetzte Punkt]] bezeichnet die Zeitableitung. Diese Basis ist nicht orthonormal. Die Einheitsvektoren können jedoch mit Hilfe von [[Drehmatrix#Drehmatrizen des Raumes R3|Elementardrehungen]] berechnet werden.

=== Euler-Winkel in der z-x′-z″-Konvention ===
[[Datei:eulerframe.svg|mini|Das eulersche Basissystem (grün) gibt die Achsen an, um die die Euler-Winkel ''α, β'' und ''γ'' drehen.]]
In der [[Eulersche Winkel#Roll-, Nick- und Gierwinkel: z-y′-x″-Konvention|Standard-x-Konvention (z, x′, z″)]], siehe Bild, wird zunächst mit dem Winkel ''α'' um die raumfeste z-Achse gedreht, dann mit dem Winkel ''β'' um die x-Achse in ihrer Lage nach der ersten Drehung (x′-Achse, im Bild die N-Achse) und schließlich mit dem Winkel ''γ'' um die z-Achse in deren Lage nach den beiden vorherigen Drehungen (Kurzzeichen z″, im Bild die Z-Achse).

Bezeichnen die Einheitsvektoren <math>\hat{e}_{x,y,z}</math> die raumfeste [[Standardbasis]] (blau im Bild), dann lautet die Winkelgeschwindigkeit bezüglich der raumfesten Basis

:<math>\begin{align}
\vec\omega
=&\dot{\alpha}\hat{e}_z
+\dot{\beta}[\cos(\alpha)\hat{e}_x+\sin(\alpha)\hat{e}_y]
+\dot{\gamma}[\sin(\alpha)\sin(\beta)\hat{e}_x-\cos(\alpha)\sin(\beta)\hat{e}_y+\cos(\beta)\hat{e}_z]
\\=&
[\dot{\beta}\cos(\alpha)+\dot{\gamma}\sin(\alpha)\sin(\beta)]\hat{e}_x
+[\dot{\beta}\sin(\alpha)-\dot{\gamma}\cos(\alpha)\sin(\beta)]\hat{e}_y
+[\dot{\alpha}+\dot{\gamma}\cos(\beta)]\hat{e}_z
.\end{align}</math>

In der bewegten Basis <math>\hat{e}_{X,Y,Z}</math> (rot im Bild) ergibt sich gleichbedeutend:

:<math>\begin{align}
\vec\omega
=&\dot{\alpha}[\sin(\beta)\sin(\gamma)\hat{e}_X+\sin(\beta)\cos(\gamma)\hat{e}_Y+\cos(\beta)\hat{e}_Z]
+\dot{\beta}[\cos(\gamma)\hat{e}_X-\sin(\gamma)\hat{e}_Y]
+\dot{\gamma}\hat{e}_Z
\\=&
[\dot{\alpha}\sin(\beta)\sin(\gamma)+\dot{\beta}\cos(\gamma)]\hat{e}_X
+[\dot{\alpha}\sin(\beta)\cos(\gamma)-\dot{\beta}\sin(\gamma)]\hat{e}_Y
+[\dot{\alpha}\cos(\beta)+\dot{\gamma}]\hat{e}_Z
,\end{align}</math>

siehe [[Eulersche Kreiselgleichungen#Bewegungsfunktion des symmetrischen Kreisels|Bewegungsfunktion des symmetrischen Kreisels]].

=== Zylinderkoordinaten ===
Im [[Zylinderkoordinaten]]system <math>(\rho, \varphi, z)</math> lauten die Basisvektoren
:<math>
\hat{e}_\rho =\begin{pmatrix}
\cos\varphi\\
\sin\varphi\\
0
\end{pmatrix},
\quad
\hat{e}_\varphi =\begin{pmatrix}
-\sin\varphi\\
\cos\varphi\\
0
\end{pmatrix},
\quad
\hat{e}_z =\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}
.</math>

Ändert sich der Winkel ''φ,'' dann entsteht die Winkelgeschwindigkeit <math>\vec\omega=\dot\varphi\hat{e}_z</math>. Mit ihr berechnen sich die Raten der Basisvektoren, beispielsweise <math>\dot{\hat{e}}_\rho=\vec\omega\times\hat{e}_\rho.</math>

Dies ergibt sich aus den [[#Euler-Winkel in der z-x′-z″-Konvention|Euler-Winkeln in der z-x′-z″-Konvention]] mit
* ''α = φ'' und ''β = γ ≡ 0'' oder
* ''γ = φ'' und ''α = β ≡ 0.''

=== Kugelkoordinaten ===
In [[Kugelkoordinaten]] ''(r, φ, θ)'' können die Basisvektoren

:<math>\hat{e}_r =\begin{pmatrix}
\sin\theta\cos\varphi\\
\sin\theta\sin\varphi\\
\cos\theta
\end{pmatrix},
\qquad
\hat{e}_\theta =\begin{pmatrix}
\cos\theta\cos\varphi\\
\cos\theta\sin\varphi\\
-\sin\theta
\end{pmatrix},
\qquad
\hat{e}_\varphi =\begin{pmatrix}
-\sin\varphi\\
\cos\varphi\\
0
\end{pmatrix}</math>

benutzt werden. Bei einer gemeinsamen Rotation dieser Basisvektoren mit variablen Winkeln ''φ'' und ''θ'' entsteht die Winkelgeschwindigkeit

:<math>\vec\omega
=
\begin{pmatrix}
-\dot\theta\sin\varphi\\
\dot\theta\cos\varphi\\
\dot\varphi
\end{pmatrix}
=
\dot\varphi\cos\theta\hat{e}_r
-\dot\varphi\sin\theta\hat{e}_\theta
+\dot\theta\hat{e}_\varphi
.</math>

Mit ihr berechnen sich die Raten der Basisvektoren, beispielsweise gemäß <math>\dot{\hat{e}}_\theta=\vec\omega\times\hat{e}_\theta.</math>

Dies ergibt sich aus den [[Eulersche Winkel#Konventionen|Euler-Winkeln in der z-x′-z″-Konvention]] mit ''α'' ≡ 0, ''β = φ'' und ''γ = θ'' sowie der zyklischen Vertauschung der Koordinatenrichtungen 123Euler → 312Kugel.

== Winkelgeschwindigkeitstensoren ==
[[Datei:orthotensor.png|mini|Drehung eines Vektors <math>\vec{v}</math> um die Drehachse <math>\vec{n}</math> mit Winkel <math>\alpha</math> durch einen orthogonalen Tensor <math>\mathbf{Q}</math>.]]

=== Definition des Winkelgeschwindigkeitstensors ===
Das [[Kreuzprodukt]] der Winkelgeschwindigkeit mit dem Ortsvektor kann als Vektortransformation des Ortsvektors durch den Winkelgeschwindigkeitstensor angesehen werden.

Denn eine reine Drehung von Vektoren wird durch [[Orthogonaler Tensor|orthogonale Tensoren]], das sind [[orthogonale Abbildung]]en von Vektoren auf Vektoren, dargestellt: <math>\vec{x}=\mathbf{Q}\cdot\vec{X}</math>, siehe Bild. Darin ist '''Q''' der orthogonale Tensor mit der Eigenschaft <math>\mathbf{Q\cdot Q}^\top=\mathbf{Q^\top\cdot Q}=\mathbf{1}</math> ('''1''' ist der [[Einheitstensor]], das hochgestellte T bezeichnet die [[Transponierte Matrix|Transposition]]) und <math>\vec x</math> ist der Vektor, auf den der feste Vektor <math>\vec X</math> abgebildet wird. Zeitableitung ergibt:

:<math>\dot{\vec x}=\dot{\mathbf{Q}}\cdot\vec X=\dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{Q}^\top\cdot\vec x
=:\mathbf{\Omega}\cdot\vec x\;.
</math>

Der hier auftretende Winkelgeschwindigkeitstensor '''Ω''' ist [[Schiefsymmetrische Matrix|schiefsymmetrisch]] ('''Ω'''┬=−'''Ω''') wegen

:<math>\dot{\mathbf{1}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{Q\cdot Q}^\top)
=\dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{Q}^\top+\mathbf{Q}\cdot\dot{\mathbf{Q}}^\top
=\mathbf{\Omega+\Omega}^\top
=\mathbf{0}
\,.</math>

=== Winkelgeschwindigkeitstensor und Winkelgeschwindigkeit ===
Jeder schiefsymmetrische Tensor '''W''' besitzt einen dualen Vektor <math>\vec w</math> mit der Eigenschaft <math>\mathbf{W}\cdot\vec{x}=\vec{w}\times\vec x</math> für alle <math>\vec x</math>. Dieser duale Vektor ist beim Winkelgeschwindigkeitstensor die Winkelgeschwindigkeit:

:<math>\dot{\vec x}=\mathbf{\Omega}\cdot\vec x=\vec\omega\times\vec x\,.</math>

Der duale Vektor

:<math>\vec\omega=-\frac12 \sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 \Omega_{ij}\hat{e}_i\times\hat{e}_j</math>

ist die negative Hälfte der [[Vektorinvariante]] des Tensors und als solche ein [[axialer Vektor]]. Die Koordinaten ''Ω''ij des Tensors '''Ω''' gehören zur [[Standardbasis]] <math>\hat{e}_{1,2,3}.</math>

Umgekehrt kann der Winkelgeschwindigkeitstensor aus der Winkelgeschwindigkeit gewonnen werden:

:<math>\begin{align}
\mathbf{\Omega}
=&\vec\omega\times\mathbf{1}
:=\sum_{i=1}^3\omega_i\hat{e}_i\times\sum_{k=1}^3\hat{e}_k\otimes\hat{e}_k
:=\sum_{i=1}^3\sum_{k=1}^3\omega_i(\hat{e}_i\times\hat{e}_k)\otimes\hat{e}_k
=\begin{pmatrix}
0 & -\omega_3 & \omega_2 \\
\omega_3 & 0 & -\omega_1 \\
-\omega_2 & \omega_1 & 0
\end{pmatrix}
\\
\rightarrow
\mathbf{\Omega}\cdot\vec{x}
=&(\vec\omega\times\mathbf{1})\cdot\vec{x}
:=\vec\omega\times(\mathbf{1}\cdot\vec{x})
=\vec\omega\times\vec{x}
,\end{align}</math>

vgl. [[Kreuzprodukt#Kreuzproduktmatrix|Kreuzproduktmatrix]]. Das Rechenzeichen „<math>\otimes</math>“ bildet das [[Dyadisches Produkt|dyadische Produkt]].

=== Winkelgeschwindigkeitstensor bei rotierenden Vektorraumbasen ===
Aus den Raten von Vektoren <math>\vec{g}_{1,2,3}</math> einer [[Vektorraumbasis]], die eine Starrkörperrotation ausführt, kann der Winkelgeschwindigkeitstensor direkt berechnet werden.

Denn der Tensor <math>\mathbf{G}:=\sum_{i=1}^3\vec{g}_i\otimes\hat{e}_i</math>, in dem die Basisvektoren spaltenweise eingetragen sind, ist nach Voraussetzung invertierbar:
:<math>|\mathbf{G}|
=\begin{vmatrix}\vec{g}_1 & \vec{g}_2 & \vec{g}_3\end{vmatrix}\cdot
\begin{vmatrix}\hat{e}_1 & \hat{e}_2 & \hat{e}_3\end{vmatrix}\ne 0.</math>
Darin stehen die senkrechten Striche für die [[Determinante]], deren Nichtverschwinden die Invertierbarkeit garantiert. Im Fall einer gemeinsamen Starrkörperrotation der Basisvektoren folgt:

:<math>
\dot{\vec{g}}_{1,2,3}=\vec\omega\times\vec{g}_{1,2,3}
\quad\leftrightarrow\quad
\dot{\mathbf{G}}=\vec\omega\times\mathbf{G}=\mathbf{\Omega\cdot G}
\quad\leftrightarrow\quad
\mathbf{\Omega}=\dot{\mathbf{G}}\cdot\mathbf{G}^{-1}\;.
</math>

Umgekehrt gilt: Wenn die Zeitableitung eines Tensors '''G''', multipliziert mit seiner [[Inverse Matrix|Inversen]] '''G'''−1, schiefsymmetrisch ist, dann können die Spaltenvektoren des Tensors als rotierende Basis aufgefasst werden. Im Fall, dass die Vektoren <math>\vec{g}_{1,2,3}</math> eine [[Orthonormalbasis]] bilden, ist der Tensor '''G''' orthogonal und es ergibt sich die schon erwähnte Beziehung <math>\mathbf{\Omega}=\dot{\mathbf{G}}\cdot\mathbf{G}^\top.</math>

=== Exponential des Winkelgeschwindigkeitstensors ===
Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit ist der Winkelgeschwindigkeitstensor ebenfalls konstant. Dann kann <math>\dot{\mathbf{G}}=\mathbf{\Omega\cdot G}</math> bei gegebenen Anfangswert '''G'''(t=0) über die Zeit integriert werden mit dem Ergebnis:

:<math>\mathbf{G}(t)=\exp(\mathbf{\Omega}t)\cdot\mathbf{G}(t=0).</math>

Denn die ersten vier Potenzen von '''Ω''' berechnen sich mit der [[Kreuzprodukt#Graßmann-Identität|BAC-CAB-Formel]] zu
:<math>\begin{align}
\vec\omega=&\omega\hat{n}\quad\text{mit}\quad |\hat n|=1
\\
\mathbf{\Omega}=&\omega\hat{n}\times\mathbf{1}
=\omega n_i\hat{e}_i\times\hat{e}_j\otimes\hat{e}_j
\\
\mathbf{\Omega}^2
=&(\omega n_i \hat{e}_i\times\hat{e}_j\otimes\hat{e}_j)\cdot(\omega n_k \hat{e}_k\times\hat{e}_l\otimes\hat{e}_l)
=\omega^2 n_i n_k \hat{e}_i\times(\hat{e}_k\times\hat{e}_l)\otimes\hat{e}_l
\\=&\omega^2 n_i n_k (\delta_{il}\hat{e}_k-\delta_{ik}\hat{e}_l)\otimes\hat{e}_l
=\omega^2 n_k \hat{e}_k\otimes n_i \hat{e}_i-\omega^2 n_i n_i\hat{e}_l\otimes\hat{e}_l
=-\omega^2(\mathbf{1}-\hat{n}\otimes\hat{n})
\\
\mathbf{\Omega}^3
=&-\omega\hat{n}\times\mathbf{1}\cdot\omega^2(\mathbf{1}-\hat{n}\otimes\hat{n})
=-\omega^3[\hat{n}\times\mathbf{1}\cdot\mathbf{1}-(\hat{n}\times\mathbf{1}\cdot\hat{n})\otimes\hat{n}]
=-\omega^3\hat{n}\times\mathbf{1}
\\
\mathbf{\Omega}^4
=&\omega^2(\hat{n}\otimes\hat{n}-\mathbf{1})\cdot\omega^2(\hat{n}\otimes\hat{n}-\mathbf{1})
=\omega^4(\hat{n}\otimes\hat{n}-\hat{n}\otimes\hat{n}-\hat{n}\otimes\hat{n}+\mathbf{1})
=\omega^4(\mathbf{1}-\hat{n}\otimes\hat{n})\;.
\end{align}</math>

Oben ist die [[Einsteinsche Summenkonvention]] anzuwenden, der zufolge über in einem Produkt doppelt vorkommende Indizes von eins bis drei zu summieren ist. Nach [[Vollständige Induktion|vollständiger Induktion]] ergeben sich die Potenzen

:<math>\begin{align}
\mathbf{\Omega}^{2k}=&(-1)^{k}\omega^{2k}(\mathbf{1}-\hat{n}\otimes\hat{n})
\\
\mathbf{\Omega}^{2k+1}=&(-1)^{k}\omega^{2k+1}\hat{n}\times\mathbf{1}
\end{align}</math>

für ''k'' = 1, 2, 3, … (keine Summen) Mit der Definition '''Ω'''0 := '''1''' kann das [[Exponentialfunktion|Exponential]] exp des Winkelgeschwindigkeitstensors mit der [[Taylorreihe#Exponentialfunktionen und Logarithmen|Taylorreihe]] ermittelt werden:

:<math>\begin{align}
\exp(\mathbf{\Omega}t)
:=&
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\mathbf{\Omega}t)^k}{k!}
=
\mathbf{1}
+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(\mathbf{\Omega}t)^{2k}}{(2k)!}
+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\mathbf{\Omega}t)^{2k+1}}{(2k+1)!}
\\=&
\mathbf{1}
+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}(\omega t)^{2k}}{(2k)!}(\mathbf{1}-\hat{n}\otimes\hat{n})
+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}(\omega t)^{2k+1}}{(2k+1)!}\hat{n}\times\mathbf{1}
\\=&
\mathbf{1}+[\cos(\omega t)-1](\mathbf{1}-\hat{n}\otimes\hat{n})+\sin(\omega t)\hat{n}\times\mathbf{1}\;.
\end{align}</math>

Die letzte Gleichung stellt einen orthogonalen Tensor dar. Wenn '''Ω''' nur als schiefsymmetrischer Tensor ohne das Kreuzprodukt definiert wird, lässt sich das auf [[Drehmatrix#Drehmatrizen des Raumes ℝ³|Drehungen in n Dimensionen]] verallgemeinern.

== Winkelgeschwindigkeit des starren Körpers ==
Die Winkelgeschwindigkeit eines rotierenden starren Körpers oder Bezugssystems ist eine eindeutige Größe, unabhängig von der Wahl eines Bezugspunktes oder einer Drehachse, denn an allen Punkten dreht sich die Richtung der Bahngeschwindigkeit in derselben Umlaufzeit einmal um <math> 2\pi </math>. Jeder Punkt eines starren Körpers hat den gleichen Winkelgeschwindigkeitsvektor.

=== Eindeutigkeit ===
[[Datei:AngularVelocity03.svg|mini|Beweis der Unabhängigkeit der Winkelgeschwindigkeit von der Wahl des Bezugspunkts]]

Der [[Starrer Körper|starre Körper]] möge um eine beliebige Achse rotieren. Es wird gezeigt, dass die Winkelgeschwindigkeit unabhängig ist von der Wahl des Bezugspunkts, durch den die Achse führt. Dies bedeutet, dass die Winkelgeschwindigkeit eine unabhängige Eigenschaft des rotierenden starren Körpers ist.

Der Ursprung des Laborsystems ist in O, während O1 und O2 zwei Punkte auf dem starren Körper mit den Geschwindigkeiten <math>\vec{v}_1</math> bzw. <math>\vec{v}_2</math> sind. Angenommen, die Winkelgeschwindigkeit relativ zu O1 bzw. O2 sei <math>\vec {\omega}_1</math> bzw. <math>\vec {\omega}_2.</math> Da Punkt P und O2 jeweils nur eine Geschwindigkeit haben, gilt:
:<math>\vec{v}_1 + \vec {\omega}_1\times\vec {r}_1 = \vec {v}_2 + \vec {\omega}_2\times\vec {r}_2</math>

:<math>\vec {v}_2 = \vec {v}_1 + \vec {\omega}_1\times\vec {r} = \vec {v}_1 + \vec {\omega}_1\times (\vec {r}_1 - \vec {r}_2)\;.</math>

Einsetzen der unteren Gleichung für <math>\vec{v}_2</math> in die obere ergibt:
:<math>(\vec {\omega}_1-\vec{\omega}_2) \times \vec{r}_2 = \vec{0}\;.</math>

Da der Punkt P (und damit <math> \vec {r}_2 </math>) beliebig wählbar ist, folgt daraus:

:<math>\vec{\omega}_1 = \vec{\omega}_2\;.</math>

Die Winkelgeschwindigkeit des starren Körpers ist somit unabhängig von der Wahl des Bezugspunkts der Drehachse. Somit ist beispielsweise die Messung der [[Gierrate]] in einem Fahrzeug unabhängig vom Einbauort des [[Gierratensensor]]s.

== Kommutative Addition von Winkelgeschwindigkeiten ==
[[Datei:omegakonv.png|mini|Mit kleiner werdendem Zeitintervall konvergiert das Kugelviereck (schwarz) gegen ein ebenes [[Parallelogramm]], und die Differenz der beiden Geschwindigkeiten <math>\dot{\vec{x}}_{12},\ \dot{\vec{x}}_{21}</math> strebt gegen Null.]]
Obwohl Drehungen im Allgemeinen in ihrer Reihenfolge nicht vertauscht werden dürfen, ist bei der Winkelgeschwindigkeit die [[Kommutativgesetz|Kommutativität]] der Addition gegeben. Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit oder ganze Winkelgeschwindigkeitsvektoren addiert werden (anders als bei endlichen Drehungen, siehe Bild).

Mathematisch kann das durch Drehungen mit zwei Winkelgeschwindigkeiten in einem (infinitesimal) kleinen Zeitintervall <math>\mathrm dt</math> gezeigt werden.<ref>{{Literatur |Hrsg=Institut für Physik an der Universität Rostock |Titel=Theoretische Physik II – Theoretische Mechanik |TitelErg=Kapitel 5 – Starrer Körper und Kreiseltheorie |Online=[{{Toter Link |inline=1 |url=http://www.qms.uni-rostock.de/fileadmin/Physik_Festkoerpertheorie/Lehre_Scheel/Theoretische_Physik_II_-_Theoretische_Mechanik/Theor_Phy_II_Kapitel_5_-_Starrer_Koerper_und_Kreiseltheorie.pdf}} online] |Format=pdf |Abruf=2017-06-06 |Seiten=109}}</ref> Im Zeitintervall <math>\mathrm dt</math> bewegt sich ein Partikel am Ort <math>\vec x</math> nach <math>{\vec x}'=\vec x+\vec{\omega}_1\times\vec x\,\mathrm{d}t</math>. Eine weitere Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit <math>\vec\omega_2</math> liefert die Endposition <math>{\vec x}''={\vec x}'+\vec{\omega}_2\times{\vec x}'\,\mathrm{d}t</math> und die Verschiebung
:<math>\begin{align}
\mathrm{d}{\vec x}_{12}:=&\ {\vec x}''-\vec x
= {\vec x}'+\vec{\omega}_2\times{\vec x}'\,\mathrm{d}t-\vec x
\\=& \ (\vec x+\vec{\omega}_1\times\vec x\,\mathrm{d}t)
+\vec{\omega}_2\times(\vec x+\vec{\omega}_1\times\vec x\,\mathrm{d}t)\,\mathrm{d}t-\vec x
\\=&\ \vec{\omega}_1\times\vec x\,\mathrm{d}t
+\vec{\omega}_2\times\vec x\,\mathrm{d}t
+\vec{\omega}_2\times(\vec{\omega}_1\times\vec x)\,\mathrm{d}t^2.
\end{align}</math>

Der [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] <math>\mathrm dt \to 0</math> kann berechnet werden:

:<math>\dot{\vec x}_{12}=\lim_{\mathrm{d}t\to0}\frac{\mathrm{d}{\vec x}_{12}}{\mathrm{d}t}
=(\vec{\omega}_1+\vec{\omega}_2)\times\vec x\;.</math>

Diese Geschwindigkeit entspricht einer Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit <math>\vec{\omega}_1+\vec{\omega}_2</math>. Bei umgekehrter Reihenfolge der infinitesimalen Drehungen leitet sich ein identisches Ergebnis für die Geschwindigkeit <math>\dot{\vec x}_{21}</math> ab. Deswegen addieren sich Winkelgeschwindigkeiten wie Vektoren und infinitesimal kleine Drehungen sind – anders als große Drehungen – in ihrer Reihenfolge vertauschbar.

{|class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
|-
| Beweis mit Tensorrechnung 
|-
| Drehungen können mit orthogonalen Tensoren beschrieben werden, von denen zwei, '''Q'''1,2, gegeben seinen. Mit den Definitionen
:<math>\begin{align}
\mathbf{\Omega}_k:=&\dot{\mathbf{Q}}_k\cdot\mathbf{Q}_k^\top
\\
\bar{\mathbf{\Omega}}_k:=&
\mathbf{Q}_k^\top\cdot\dot{\mathbf{Q}}_k
=\mathbf{Q}_k^\top\cdot\mathbf{\Omega}_k\cdot\mathbf{Q}_k
\end{align}</math>
für ''k'' = 1, 2 berechnet sich die Geschwindigkeit eines Vektors <math>\vec{x}_{21}=\mathbf{Q}_1\cdot\mathbf{Q}_2\cdot\vec X</math>, der durch Drehung aus dem festen Vektor <math>\vec X</math> hervorgeht, zu:
:<math>\begin{align}
\dot{\vec x}_{21}=&
(\dot{\mathbf{Q}}_1\cdot\mathbf{Q}_2+\mathbf{Q}_1\cdot\dot{\mathbf{Q}}_2)\cdot\vec X
\\=&
\mathbf{Q}_1\cdot(\mathbf{Q}_1^\top\cdot\dot{\mathbf{Q}}_1
+\dot{\mathbf{Q}}_2\cdot\mathbf{Q}_2^\top)\cdot\mathbf{Q}_2\cdot\vec X
\\=&
\mathbf{Q}_1\cdot(\bar{\mathbf{\Omega}}_1+\mathbf{\Omega}_2)\cdot\mathbf{Q}_2\cdot\vec X\;.
\end{align}</math>
Bei umgekehrter Reihenfolge der Rotationen, <math>\vec{x}_{12}=\mathbf{Q}_2\cdot\mathbf{Q}_1\cdot\vec X,</math> ergibt sich analog die im Allgemeinen andere Geschwindigkeit
:<math>
\dot{\vec x}_{12}
= (\dot{\mathbf{Q}}_2\cdot\mathbf{Q}_1+\mathbf{Q}_2\cdot\dot{\mathbf{Q}}_1)\cdot\vec X
=\mathbf{Q}_2\cdot(\bar{\mathbf{\Omega}}_2+\mathbf{\Omega}_1)\cdot\mathbf{Q}_1\cdot\vec X
\,.</math>
Diese Identitäten gelten bei beliebig großen Rotationen. Berechnung der Geschwindigkeiten im Zustand '''Q'''1,2 = '''1''' liefert die Winkelgeschwindigkeiten am Ort <math>\vec x:=\vec{x}_{12}=\vec{x}_{21}=\vec X.</math> Dann ist <math>\bar{\mathbf{\Omega}}_{1,2}=\mathbf{\Omega}_{1,2}</math> und die obigen Gleichungen spezialisieren sich zu
:<math>\begin{align}
\dot{\vec x}_{21}=&(\mathbf{\Omega}_1+\mathbf{\Omega}_2)\cdot\vec{x}
=(\vec\omega_1+\vec\omega_2)\times\vec{x}
\\
\dot{\vec x}_{12}=&(\mathbf{\Omega}_2+\mathbf{\Omega}_1)\cdot\vec x
=(\vec\omega_2+\vec\omega_1)\times\vec{x}
\,,\end{align}</math>
siehe [[#Winkelgeschwindigkeitstensor und Winkelgeschwindigkeit|Winkelgeschwindigkeitstensor und Winkelgeschwindigkeit]]. Weil die Addition von Tensoren kommutativ ist, stimmen die Geschwindigkeiten überein:
:<math>\dot{\vec x}_{21}=\dot{\vec x}_{12}=
\vec v=(\vec\omega_1+\vec\omega_2)\times\vec{x}=(\vec\omega_2+\vec\omega_1)\times\vec{x}\;.</math>
|}
Somit ist die Kommutativität der Addition der Winkelgeschwindigkeiten erwiesen.

== Anwendungen und Beispiele ==
Die Winkelgeschwindigkeit tritt in vielen Gleichungen und Anwendungsfällen der Physik, der [[Astronomie]] oder der [[Technik]] auf.

* Ein Himmelskörper, der sich in einer Entfernung ''R'' von der Erde mit Geschwindigkeit <math>v_t</math> senkrecht zur [[Visur|Sehlinie]] bewegt, zeigt am Himmel eine scheinbare Winkelgeschwindigkeit <math>\mu=v_t/R</math>. Bei [[Meteor]]en (Sternschnuppen) kann sie bis zu 90° pro Sekunde ausmachen, [[Erdnaher Asteroid|sehr]] nahe [[Kleinplanet]]en oder Kometen können sich am Himmel einige Grad pro Stunde bewegen. Bei Sternen wird die Winkelgeschwindigkeit in [[Winkelsekunde]]n pro Jahr angegeben und [[Eigenbewegung (Astronomie)|Eigenbewegung]] genannt.
* Nach dem [[Keplersche Gesetze|dritten Kepler’schen Gesetz]] verhalten sich die Quadrate der Umlaufzeiten ''T'' der Planeten wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen ''a'' ihrer Bahnen. Die Winkelgeschwindigkeiten verhalten sich demnach wie <math>\omega \propto 1/a^{3/2}</math> („Kepler-Rotation“). Gemäß dem zweiten Kepler’schen Gesetz ist die Winkelgeschwindigkeit eines Planeten auf einer elliptischen Umlaufbahn in Bezug auf die Sonne vom jeweiligen Abstand abhängig und variiert somit längs der Bahn. Sie ist am größten, wenn der Planet sich im [[Perihel]] befindet, und am kleinsten, wenn er sich im [[Aphel]] befindet.
* Bei der Rotation eines [[Starrer Körper|starren Körpers]] um eine ortsfeste Achse ist die Winkelgeschwindigkeit ω im Gegensatz zur Geschwindigkeit ''v'' vom Radius unabhängig. Seine [[Rotationsenergie]] und sein [[Drehimpuls]] sind Funktionen seiner Winkelgeschwindigkeit.
* Die Winkelgeschwindigkeit eines Rotors in einem [[Elektromotor]], der sich konstant mit 3.000 Umdrehungen pro Minute dreht, beträgt
::<math>\omega = 2 \pi \cdot 3000 \tfrac{1}{\text{min}}\cdot \tfrac{1 \, \text{min}}{60 \, \text{s}} = 314{,}16 \,\tfrac{\text{rad}}{\text{s}}.</math>
:Bei solchen Angaben von [[Drehzahl]]en werden häufig Einheiten wie <math>\mathrm {\tfrac {U}{min}}</math> und <math>\mathrm {\tfrac {1}{min}}</math> verwendet, siehe dazu den Artikel [[Drehzahl#Definition und Einheit|Drehzahl]].
* Sei <math>\omega_0</math> die Kreisfrequenz der harmonischen Schwingung eines [[Pendel]]s mit der [[Amplitude]] <math>\hat\varphi</math>. Dann berechnet sich die Winkelgeschwindigkeit des Pendels als Funktion der Zeit:
::<math>\omega(t)=\dot\varphi(t)=\frac \mathrm d{\mathrm dt}[\hat\varphi\cdot\sin(\omega_0 t)] = \hat\varphi\cdot\omega_0\cdot\cos(\omega_0 t)\;.</math>
* Bei [[Flugzeug]]en oder [[Pkw]] werden die Winkelgeschwindigkeiten in Komponenten des fahrzeugfesten Koordinatensystems angegeben. Entsprechend den x-, y-, z-Komponenten spricht man von Roll/Wankgeschwindigkeit, Nickgeschwindigkeit, Giergeschwindigkeit. Näheres dazu findet sich
** im Flugwesen unter [[Rollachse]], [[Querachse]], [[Gierachse]] und
** im Fahrzeugbau unter [[Fahrdynamik]].

== Literatur ==
Die ''Winkelgeschwindigkeit'' wird in vielen Lehrbüchern und Formelsammlungen der Natur- und Ingenieurwissenschaften behandelt.
* {{Literatur
|Autor=[[Horst Stöcker]]
|Titel=Taschenbuch der Physik
|Auflage=6
|Verlag=Harri Deutsch
|Datum=2010
|ISBN=978-3-8171-1860-1}}
* {{Literatur
|Autor=[[Lothar Papula]]
|Titel=Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 1
|Auflage=12
|Verlag=Vieweg+Teubner
|Datum=2009
|ISBN=978-3-8348-0545-4}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4265086-0}}

[[Kategorie:Physikalische Größenart]]
[[Kategorie:Winkel]]

Winkelgeschwindigkeit - Versionsgeschichte

imported>Mathze: /* Winkelgeschwindigkeit */Formelbestandteil in Matheumgebung gezogen