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2026-02-08T19:42:19Z

Literatur

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[[Datei:Windschiefe Geraden.svg|mini|Darstellung zweier windschiefer Geraden]]
[[Datei:Windschiefe Geraden.jpg|mini|[[Kreuzblick#Der Kreuzblick|Räumliches]] Bild zweier windschiefer Geraden mit Gemeinlot]]
In der [[Geometrie]] heißen zwei [[Gerade]]n (zueinander) '''windschief'''<ref>''Meyers Rechenduden''. Bibliographisches Institut, Mannheim 1960, S. 807</ref> (seltener '''kreuzend'''<ref>{{Literatur |Autor=Ilʹja N. Bronštejn |Titel=[[Taschenbuch der Mathematik]] |Auflage=11. |Verlag=Europa-Lehrmittel |Ort=Haan-Gruiten |Datum=2020 |ISBN=978-3-8085-5792-1 |Seiten=155}}</ref>), wenn sie sich weder [[Schnittpunkt|schneiden]] noch [[Parallel (Geometrie)|parallel]] zueinander sind. Dies ist im zweidimensionalen [[Euklidischer Raum|Raum]] nicht möglich, da hier alle denkbaren Geraden in der gleichen [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] liegen und sich entweder schneiden oder parallel sind. Windschiefe Geraden gibt es daher nur in mindestens dreidimensionalen Räumen.

Das Wort „windschief“ stammt von der Vorstellung, dass zwei ursprünglich parallele Geraden um ihre Verbindungsachse (Transversale) „gewunden“, also verdreht wurden.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.dwds.de/wb/etymwb/windschief |titel=DWDS – Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache |sprache=de |abruf=2021-05-20}}</ref>

== Untersuchung zweier Geraden auf Windschiefe ==

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Windschiefe von zwei Geraden <math>g</math> und <math>h</math> nachzuweisen:

* Die Windschiefe lässt sich direkt anhand der Definition nachweisen. Es muss also gezeigt werden, dass die Geraden nicht parallel zueinander sind und sich außerdem nicht schneiden.

* Alternativ genügt es zu zeigen, dass ein [[Richtungsvektor]] von <math>g</math>, ein Richtungsvektor von <math>h</math> und ein [[Vektor|Verschiebungsvektor]] von einem [[Ortsvektor|Punkt]] auf <math>g</math> zu einem Punkt auf <math>h</math> [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängig]] sind.<ref>{{Literatur |Titel=Schülerduden Die Mathematik II |Auflage=3. |Verlag=Dudenverlag |Ort=Mannheim / Wien / Zürich |Datum=1991 |ISBN=3-411-04273-7 |Seiten=439}}</ref>
* Äquivalent kann man zeigen, dass es keine Ebene gibt, die beide Geraden enthält.<ref>{{Literatur |Titel=Analytische Geometrie: Lehrbuch für die Sekundarstufe II; Gymnasium. Leistungskurs |Verlag=Volk und Wissen |Ort=Berlin |Datum=2000 |ISBN=3-06-001173-7 |Seiten=144}}</ref>

== Berechnung des Abstands windschiefer Geraden ==
[[Datei:Windschiefe Geraden mit Bezeichnungen.svg|mini|Abstand d zweier windschiefer Geraden]]
Das [[Gemeinlot]] zweier Geraden <math>g</math> und <math>h</math> ist die eindeutig bestimmte [[Strecke (Geometrie)|Strecke]], die im rechten Winkel zu den beiden Geraden steht. Es handelt sich um die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den beiden Graden, weshalb seine Länge den [[Abstand]] <math>d(g,h)</math> der beiden Geraden definiert.<ref>{{Literatur |Autor=Arens et al. |Titel=Grundwissen Mathematikstudium |Datum=2021 |Seiten=249}}</ref>

Gegeben seien die windschiefen Geraden <math>g</math> und <math>h</math> mit den Stützpunkten <math>A</math> und <math>B</math> bzw. den Stützvektoren <math>\vec a = \overrightarrow{OA},\;\vec b = \overrightarrow{OB}</math> und den Richtungsvektoren <math>\vec v</math> und <math>\vec w</math>. Dann sind die [[Parameterform]]en der Geradengleichungen
: <math>g\colon \ \vec x = \vec a + r \vec v</math>
: <math>h\colon \ \vec x = \vec b + s \vec w \ \ \, r,s \in \R</math>,

wobei <math>\vec a,\,\vec b,\,\vec v,\,\vec w \in \R^3</math> ist und die drei Vektoren <math> \vec a - \vec b,\,\vec v,\,\vec w</math> linear unabhängig sind.

Der Abstand zwischen den beiden windschiefen Geraden lässt sich berechnen mithilfe des Verbindungsvektor <math>\vec a - \vec b</math> der beiden Stützpunkte und eines Einheitsvektors <math>\vec n_0</math>, der senkrecht auf <math>\vec v</math> und <math>\vec w</math> steht (und damit in Richtung des Gemeinlots zeigt):<ref>{{Literatur |Titel=Analytische Geometrie: Lehrbuch für die Sekundarstufe II; Gymnasium. Leistungskurs |Auflage=1. |Verlag=Volk und Wissen |Ort=Berlin |Datum=1998 |ISBN=3-06-001173-7 |Seiten=197}}</ref>

:<math>d(g,h)=|(\vec a -\vec b)\cdot \vec n_0|\, .</math>

Einen solchen Vektor <math>\vec n_0</math> erhält man z. B. durch Bildung des [[Kreuzprodukt]]s <math>\vec v \times \vec w</math>, das per Konstruktion senkrecht auf den beiden (nicht parallelen) Richtungsvektoren <math>\vec v</math> und <math>\vec w</math> steht, und anschließende [[Einheitsvektor|Normierung]]. Einsetzen dieses Normaleneinheitsvektor in die obige Gleichung liefert eine Abstandsformel, die von den gegebenen Vektoren <math>\vec a , \vec b, \vec v</math> und <math>\vec w </math> abhängt:<ref>{{Literatur |Autor=[[Andreas Filler]] |Titel=Elementare Lineare Algebra |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Heidelberg |Datum=2011 |ISBN=978-3-8274-2412-9 |Seiten=164}}</ref>

: <math>d(g,h)=\frac{\left|(\vec a -\vec b)\cdot (\vec v \times \vec w)\right|}{|\vec v \times \vec w|}\, .</math>
Der Ausdruck <math>(\vec a - \vec b)\cdot (\vec v \times \vec w)</math> ist das [[Spatprodukt]] der Vektoren <math>\vec a - \vec b, \vec v, \vec w</math>, welches sich auch schreiben lässt als [[Determinante]] der aus diesen Vektoren zusammengesetzten Matrix<math>(\vec a - \vec b, \vec v, \vec w ).</math> Damit erhält man als weitere Abstandsformel<ref>{{Literatur |Autor=Arens et al. |Titel=Grundwissen Mathematikstudium |Datum=2021 |Seiten=250}}</ref>

:<math>d(g,h)=\frac{\left|\det (\vec a - \vec b, \vec v, \vec w )\right|}{|\vec v \times \vec w|}\, .</math>

=== Beispiel ===
Gesucht ist der Abstand der beiden windschiefen Geraden

:<math>g \colon \ \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \quad</math>und <math>\quad h \colon \ \begin{pmatrix} 0 \\ 11 \\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}.</math>
Durch Kreuzproduktbildung erhält man den Normalenvektor

:<math>\vec v \times \vec w = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\-2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -6 \\3 \end{pmatrix}</math>

mit Länge <math>|\vec v \times \vec w |=9</math>. Also ist <math>\vec n_0=\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>ein Einheitsvektor, der sowohl senkrecht auf <math>g </math> als auch auf <math>h</math> steht. Bildet man nun das Skalarprodukt mit <math>\vec a - \vec b = \begin{pmatrix} -1 \\ -11 \\ -8 \end{pmatrix} </math>, so erhält man den Abstand von <math>g</math> und <math>h</math> als <math>d(g,h)=\frac{1}{3}\cdot 12 = 4</math>.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Tilo Arens, Rolf Busam, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel, Klaus Lichtenegger
|Titel=Grundwissen Mathematikstudium
|Auflage=2.
|Ort=Berlin / Heidelberg
|Datum=2021
|ISBN=978-3-662-63312-0
|Seiten=249–250}}

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathematikunterricht/ Sek/ Vektorrechnung/ Windschiefe Geraden|Windschiefe Geraden|suffix=Weitere Methoden zur Berechnung des Abstands und der Lotfußpunkte}}
{{Wiktionary|windschief}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analytische Geometrie]]
[[Kategorie:Raumgeometrie]]

Windschiefe - Versionsgeschichte

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