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'''Wilson-Primzahlen''' (nach [[John Wilson (Mathematiker, 1741)|Sir John Wilson]]) sind [[Primzahl]]en <math>p</math>, für die gilt, dass <math>(p-1)! + 1</math> durch <math>p^2</math> teilbar ist. Es handelt sich dabei um eine stärkere Form des [[Satz von Wilson|Satzes von Wilson]]. Bisher sind nur die Wilson-Primzahlen 5, 13 und 563 bekannt.

== Definition ==

: ''Zur Notation siehe [[Fakultät (Mathematik)|Fakultät]], [[Teilbarkeit]] und [[Kongruenz (Zahlentheorie)|Kongruenz]]''

Der Satz von Wilson besagt, dass <math>(p-1)! + 1</math> genau dann durch <math>p</math> teilbar ist, wenn <math>p</math> eine Primzahl ist. Für jede Primzahl <math>p</math> gilt also:

: <math>p \mid (p-1)! + 1</math>

Als Kongruenz lässt sich dies wie folgt beschreiben:

: <math>(p-1)!\equiv-1\pmod p</math>
oder
:<math>(p-1)! + 1 \equiv 0 \pmod p</math>

Das ganzzahlige Ergebnis der Division
: <math>\frac{(p-1)! + 1}{p}</math>
wird in diesem Zusammenhang auch als ''Wilson-Quotient'' <math>W(p)</math> bezeichnet<ref>{{MathWorld|title=Wilson Quotient|id=WilsonQuotient}}</ref> ({{OEIS|A007619}}).

Eine ''Wilson-Primzahl'' ist nun jede Primzahl <math>p</math>, die darüber hinaus sogar Teiler „ihres“ Wilson-Quotienten ist (und den Satz von Wilson damit quasi ''zweimal'' erfüllt).

=== Beweis ===
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei <math>n > 2</math>

* <math>n</math> ist <math>prim \Rightarrow (n-1)! \equiv -1 \mod n</math>

<math> \forall a \in \mathbb{Z}_n^* </math> hat <math>ax \equiv 1 \mod n</math> eine eindeutige Lösung <math>a^{-1} \mod n</math>

<math>a^2 \equiv 1 \Leftrightarrow (a-1)(a+1)=y\cdot n \Leftrightarrow ( a \equiv 1 \mod n</math> oder <math> -1 \mod n )</math>

<math>(n-1)!\equiv (n-1) \equiv -1 \mod n</math>

*<math>(n-1)! \equiv -1 \mod n</math> <math> \Rightarrow n</math> ist <math>\text{prim}</math>

Annahme: <math> n=a \cdot b, a,b >1</math>

<math> a \text{ teilt } (n-1)!</math> mit <math>(n-1)! \equiv -1 \mod n \Rightarrow a \text{ teilt } n-1</math>

Widerspruch: <math>a</math> kann nicht gleichzeitig <math>n</math> und <math>n-1</math> teilen

=== Beispiel ===

Die Zahl <math>p=13</math> ist ein Teiler von <math>(p-1)! + 1</math>:

: <math>\frac{(13-1)! + 1}{13} = \frac{479.001.600 + 1}{13} = 36.846.277</math>

Also ist <math>p=13</math> wegen des [[Satz von Wilson|Satzes von Wilson]] eine Primzahl. Da sie ebenfalls ein Teiler des entsprechenden Wilson-Quotienten ist (36.846.277 <math>:</math> 13 = 2.834.329), ist sie sogar eine Wilson-Primzahl.

Die wiederholte Teilung entspricht der Division durch das Quadrat der Ausgangszahl. Analog zum Satz von Wilson gilt daher, dass jede Primzahl <math>p</math> genau dann eine Wilson-Primzahl ist, wenn:

: <math>p^2 \mid (p-1)! + 1</math>

Beziehungsweise:

:<math>(p-1)!\equiv-1\pmod{p^2}</math>
oder
:<math>\frac{(p-1)! + 1}{p} = W(p) \equiv 0 \pmod p</math>

== Vorkommen ==

Bisher sind nur die Wilson-Primzahlen 5, 13 und 563<ref>Karl Goldberg: ''A table of Wilson quotients and the third Wilson prime''. In: [[Journal of the London Mathematical Society]], 28, April 1953, S. 252–256 (englisch)</ref> bekannt ({{OEIS|A007540}}). Sollten weitere Wilson-Primzahlen existieren, so sind sie größer als <math>2 \cdot 10^{13}</math>.<ref name="Costa">{{Internetquelle
| autor = Edgar Costa, Robert Gerbicz, [[David Harvey (Mathematiker)|David Harvey]]
| url = https://arxiv.org/pdf/1209.3436v2.pdf
| titel = A search for Wilson primes
| seiten = 1–25
| datum = 27. Oktober 2012
| zugriff = 2020-02-01
}}</ref> Es wird [[Vermutung (Mathematik)|vermutet]], dass unendlich viele Wilson-Primzahlen existieren, und zwar etwa <math>\ln(\ln(y)/\ln(x))</math> zwischen <math>x</math> und <math>y</math>.<ref name="cdp1997">[[Richard Crandall]], Karl Dilcher, [[Carl Pomerance]]: [http://www.ams.org/journals/mcom/1997-66-217/S0025-5718-97-00791-6/home.html ''A search for Wieferich and Wilson primes''.] [[Mathematics of Computation]] '''66''', Januar 1997, S. 433–449 (englisch)</ref><ref>Chris K. Caldwell: [http://primes.utm.edu/glossary/xpage/WilsonPrime.html ''Wilson prime''.] The Prime Glossary (englisch).</ref>

== Verallgemeinerungen ==
=== Wilson-Primzahlen der Ordnung ''n'' ===
Die [[Satz von Wilson#Verallgemeinerungen|Verallgemeinerung des Satzes von Wilson]] besagt, dass eine natürliche Zahl <math>p \in \mathbb N</math> genau dann eine Primzahl ist, wenn für alle <math>1 \leq n \leq p</math> gilt:
: <math>(n-1)! \cdot (p-n)! \equiv (-1)^n \pmod p</math>
Es ist <math>p</math> also eine Primzahl, wenn <math>\frac{(n-1)! \cdot (p-n)! - (-1)^n}{p}</math> [[Ganze Zahl|ganzzahlig]] ist.

Eine '''verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung n''' ist eine Primzahl <math>p</math>, für welche gilt:
: <math>p^2</math> ist Teiler von <math>(n-1)! \cdot (p-n)! - (-1)^n</math> mit <math>n \geq 1</math>, <math>p \geq n</math>
Es ist <math>p</math> also eine verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung ''n'', wenn <math>\frac{(n-1)! \cdot (p-n)! - (-1)^n}{p^2}</math> ganzzahlig ist.

Als Kongruenz lässt sich dies wie folgt beschreiben:
: <math>(n-1)! \cdot (p-n)!\equiv (-1)^n \pmod {p^2}</math>
oder
:<math>(n-1)! \cdot (p-n)! - (- 1)^n \equiv 0 \pmod {p^2}</math>
Es wird vermutet, dass es für jede natürliche Zahl <math>n</math> unendlich viele verallgemeinerte Wilson-Primzahlen der Ordnung <math>n</math> gibt.

=== Beispiel ===
Sei <math>p=17 \in \mathbb P</math> eine Primzahl und <math>n=7</math>. Die Quadratzahl <math>p^2=17^2=289</math> ist ein Teiler von <math>(n-1)! \cdot (p-n)! - (-1)^n = 6! \cdot (p-7)! + 1</math>:
: <math>\frac{6! \cdot (17-7)! + 1}{17^2} = \frac{720 \cdot 3628800 + 1}{289} = \frac{2612736001}{289} = 9040609</math>
Also ist <math>p=17</math> ein Teiler des entsprechenden verallgemeinerten Wilson-Quotienten und ist deswegen eine verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung <math>n=7</math>.

Der folgenden Tabelle kann man die verallgemeinerten Wilson-Primzahlen der Ordnung <math>n</math> entnehmen für <math>1 \leq n \leq 30</math>:

{| class="toptextcells"
|-
|
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|- class="hintergrundfarbe6"
! <math>n</math>
! <math>(n-1)! \cdot (p-n)! - (-1)^n</math>
! Primzahl <math>p</math>, sodass <math>p^2</math> Teiler von <math>(n-1)! \cdot (p-n)! - (-1)^n</math> ist
! [[OEIS]]-Link
|-
|1 || <math>(p-1)!+1</math> || 5, 13, 563 … || ({{OEIS|A007540}})
|-
|2 || <math>(p-2)!-1</math> || 2, 3, 11, 107, 4931 … || ({{OEIS|A079853}})
|-
|3 || <math>2! \cdot (p-3)!+1</math> || 7 … ||
|-
|4 || <math>3! \cdot (p-4)!-1</math> || 10429 … ||
|-
|5 || <math>4! \cdot (p-5)!+1</math> || 5, 7, 47 … ||
|-
|6 || <math>5! \cdot (p-6)!-1</math> || 11 … ||
|-
|7 || <math>6! \cdot (p-7)!+1</math> ||17 … ||
|-
|8 || <math>7! \cdot (p-8)!-1</math> || … ||
|-
|9 || <math>8! \cdot (p-9)!+1</math> || 541 … ||
|-
|10 || <math>9! \cdot (p-10)!-1</math> || 11, 1109 … ||
|-
|11 || <math>10! \cdot (p-11)!+1</math> || 17, 2713 … ||
|-
|12 || <math>11! \cdot (p-12)!-1</math> || … ||
|-
|13 || <math>12! \cdot (p-13)!+1</math> || 13 … ||
|-
|14 || <math>13! \cdot (p-14)!-1</math> || … ||
|-
|15 || <math>14! \cdot (p-15)!+1</math> || 349, 41341 … ||
|}
|
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|- class="hintergrundfarbe6"
! <math>n</math>
! <math>(n-1)! \cdot (p-n)! - (-1)^n</math>
! Primzahl <math>p</math>, sodass <math>p^2</math> Teiler von <math>(n-1)! \cdot (p-n)! - (-1)^n</math> ist
! [[OEIS]]-Link
|-
|16 || <math>15! \cdot (p-16)!-1</math> || 31 … ||
|-
|17 || <math>16! \cdot (p-17)!+1</math> || 61, 251, 479 … || ({{OEIS|A152413}})
|-
|18 || <math>17! \cdot (p-18)!-1</math> || 13151527 … ||
|-
|19 || <math>18! \cdot (p-19)!+1</math> || 71, 621629 … ||
|-
|20 || <math>19! \cdot (p-20)!-1</math> || 59, 499, 43223 … ||
|-
|21 || <math>20! \cdot (p-21)!+1</math> || 217369 … ||
|-
|22 || <math>21! \cdot (p-22)!-1</math> || … ||
|-
|23 || <math>22! \cdot (p-23)!+1</math> || … ||
|-
|24 || <math>23! \cdot (p-24)!-1</math> || 47, 3163 … ||
|-
|25 || <math>24! \cdot (p-25)!+1</math> || … ||
|-
|26 || <math>25! \cdot (p-26)!-1</math> || 97579 … ||
|-
|27 || <math>26! \cdot (p-27)!+1</math> || 53 … ||
|-
|28 || <math>27! \cdot (p-28)!-1</math> || 347, 739399 … ||
|-
|29 || <math>28! \cdot (p-29)!+1</math> || … ||
|-
|30 || <math>29! \cdot (p-30)!-1</math> || 137, 1109, 5179 … ||
|}
|}
Die kleinsten verallgemeinerten Wilson-Primzahlen der Ordnung <math>n</math> lauten (bei aufsteigendem <math>n=1,2,3,\ldots</math>):
: 5, 2, 7, 10429, 5, 11, 17 … ({{OEIS|A128666}})
Schon die nächste verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung <math>n=8</math> ist nicht bekannt, muss aber größer als <math>1{,}4 \cdot 10^7</math> sein.

=== Fast-Wilson-Primzahlen ===
Eine Primzahl <math>p \in \mathbb P</math>, welche die Kongruenz
: <math>(p-1)! \equiv -1+Bp \pmod {p^2}</math> mit [[Betragsfunktion|betrag]]smäßig kleinem <math>|B|</math>
erfüllt, nennt man '''Fast-Wilson-Primzahl''' (englisch ''Near-Wilson primes'').

Ist <math>B=0</math>, so erhält man <math>(p-1)! \equiv -1 \pmod {p^2}</math> und erhält die Wilson-Primzahlen.

Der folgenden Tabelle kann man alle solche Fast-Wilson-Primzahlen entnehmen für <math>|B| \leq 100</math> mit <math>10^6 :<ref name="Costa" />
{| class="toptextcells"
|-
|
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|- class="hintergrundfarbe6"
! <math>p</math>
! <math>B</math>
|-
| 1282279 || +20
|-
| 1306817 || −30
|-
| 1308491 || −55
|-
| 1433813 || −32
|-
| 1638347 || −45
|-
| 1640147 || −88
|-
| 1647931 || +14
|-
| 1666403 || +99
|-
| 1750901 || +34
|-
| 1851953 || −50
|-
| 2031053 || −18
|-
| 2278343 || +21
|-
| 2313083 || +15
|-
| 2695933 || −73
|-
| 3640753 || +69
|-
| 3677071 || −32
|}
|
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|- class="hintergrundfarbe6"
! <math>p</math>
! <math>B</math>
|-
| 3764437 || −99
|-
| 3958621 || +75
|-
| 5062469 || +39
|-
| 5063803 || +40
|-
| 6331519 || +91
|-
| 6706067 || +45
|-
| 7392257 || +40
|-
| 8315831 || +3
|-
| 8871167 || −85
|-
| 9278443 || −75
|-
| 9615329 || +27
|-
| 9756727 || +23
|-
| 10746881 || −7
|-
| 11465149 || −62
|-
| 11512541 || −26
|-
| 11892977 || −7
|}
|
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|- class="hintergrundfarbe6"
! <math>p</math>
! <math>B</math>
|-
| 12632117 || −27
|-
| 12893203 || −53
|-
| 14296621 || +2
|-
| 16711069 || +95
|-
| 16738091 || +58
|-
| 17879887 || +63
|-
| 19344553 || −93
|-
| 19365641 || +75
|-
| 20951477 || +25
|-
| 20972977 || +58
|-
| 21561013 || −90
|-
| 23818681 || +23
|-
| 27783521 || −51
|-
| 27812887 || +21
|-
| 29085907 || +9
|-
| 29327513 || +13
|}
|
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|- class="hintergrundfarbe6"
! <math>p</math>
! <math>B</math>
|-
| 30959321 || +24
|-
| 33187157 || +60
|-
| 33968041 || +12
|-
| 39198017 || −7
|-
| 45920923 || −63
|-
| 51802061 || +4
|-
| 53188379 || −54
|-
| 56151923 || −1
|-
| 57526411 || −66
|-
| 64197799 || +13
|-
| 72818227 || −27
|-
| 87467099 || −2
|-
| 91926437 || −32
|-
| 92191909 || +94
|-
| 93445061 || −30
|-
| 93559087 || −3
|}
|
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|- class="hintergrundfarbe6"
! <math>p</math>
! <math>B</math>
|-
| 94510219 || −69
|-
| 101710369 || −70
|-
| 111310567 || +22
|-
| 117385529 || −43
|-
| 176779259 || +56
|-
| 212911781 || −92
|-
| 216331463 || −36
|-
| 253512533 || +25
|-
| 282361201 || +24
|-
| 327357841 || −62
|-
| 411237857 || −84
|-
| 479163953 || −50
|-
| 757362197 || −28
|-
| 824846833 || +60
|-
| 866006431 || −81
|-
| 1227886151 || −51
|}
|
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|- class="hintergrundfarbe6"
! <math>p</math>
! <math>B</math>
|-
| 1527857939 || −19
|-
| 1636804231 || +64
|-
| 1686290297 || +18
|-
| 1767839071 || +8
|-
| 1913042311 || −65
|-
| 1987272877 || +5
|-
| 2100839597 || −34
|-
| 2312420701 || −78
|-
| 2476913683 || +94
|-
| 3542985241 || −74
|-
| 4036677373 || −5
|-
| 4271431471 || +83
|-
| 4296847931 || +41
|-
| 5087988391 || +51
|-
| 5127702389 || +50
|-
| 7973760941 || +76
|}
|
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|- class="hintergrundfarbe6"
! <math>p</math>
! <math>B</math>
|-
| 9965682053 || −18
|-
| 10242692519 || −97
|-
| 11355061259 || −45
|-
| 11774118061 || −1
|-
| 12896325149 || +86
|-
| 13286279999 || +52
|-
| 20042556601 || +27
|-
| 21950810731 || +93
|-
| 23607097193 || +97
|-
| 24664241321 || +46
|-
| 28737804211 || −58
|-
| 35525054743 || +26
|-
| 41659815553 || +55
|-
| 42647052491 || +10
|-
| 44034466379 || +39
|-
| 60373446719 || −48
|}
|
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|- class="hintergrundfarbe6"
! <math>p</math>
! <math>B</math>
|-
| 64643245189 || −21
|-
| 66966581777 || +91
|-
| 67133912011 || +9
|-
| 80248324571 || +46
|-
| 80908082573 || −20
|-
| 100660783343 || +87
|-
| 112825721339 || +70
|-
| 231939720421 || +41
|-
| 258818504023 || +4
|-
| 260584487287 || −52
|-
| 265784418461 || −78
|-
| 298114694431 || +82
|}
|}

=== Wilson-Zahlen ===
Eine '''Wilson-Zahl''' ist eine natürliche Zahl <math>n</math>, für welche gilt:
: <math>W(n) \equiv 0 \pmod {n^2}</math>, mit <math>W(n) = \prod_\stackrel{1 \leq k \leq n}{\operatorname{ggT}(k,n)=1}{k}+e</math>
Dabei ist <math>e=1</math> [[genau dann, wenn]] <math>n</math> eine [[Primitivwurzel]] hat, sonst ist <math>e=-1</math>.

Für jede natürliche Zahl <math>n</math> ist <math>W(n)</math> durch <math>n</math> teilbar. Den Quotienten <math>\frac{W(n)}{n}</math> nennt man '''verallgemeinerter Wilson-Quotient'''.<ref name="Dilcher">{{Internetquelle
| hrsg = [[Mathematics of Computation]] '''67''' (222)
| autor = Takashi Agoh, Karl Dilcher, Ladislav Skula
| url = https://www.ams.org/journals/mcom/1998-67-222/S0025-5718-98-00951-X/S0025-5718-98-00951-X.pdf
| titel = Wilson Quotients for composite moduli
| seiten = 843–861
| datum = April 1998
| zugriff = 2020-02-02
}}</ref> Die ersten verallgemeinerte Wilson-Quotienten lauten:
: 2, 1, 1, 1, 5, 1, 103, 13, 249, 19, 329891, 32, 36846277, 1379, 59793, 126689, 1230752346353, 4727, 336967037143579, 436486, 2252263619, 56815333, 48869596859895986087, 1549256, 1654529071288638505 ({{OEIS|A157249}})
Ist der verallgemeinerte Wilson-Quotient durch <math>n</math> teilbar, erhält man eine Wilson-Zahl. Diese lauten:
: 1, 5, 13, 563, 5971, 558771, 1964215, 8121909, 12326713, 23025711, 26921605, 341569806, 399292158 ({{OEIS|A157250}})
Wenn eine Wilson-Zahl <math>n</math> prim ist, dann ist <math>n</math> eine Wilson-Primzahl. Es gibt 13 Wilson-Zahlen für <math>n < 5 \cdot 10^8</math>.

== Literatur ==

* [[N. G. W. H. Beeger]]: ''Quelques remarques sur les congruences rp−1 ≡ 1 (mod p2) et (p−1)! ≡ −1 (mod p2)''. In: ''The Messenger of Mathematics'', 43, 1913–1914, S. 72–84 (französisch) {{archive.org|messengerofmathe43cambuoft|Blatt=72}}
* [[Emma Lehmer]]: [http://gradelle.educanet2.ch/christian.aebi/.ws_gen/14/Emma_Lehmer_1938.pdf ''On congruences involving Bernoulli numbers and the quotients of Fermat and Wilson''.] (PDF; 747 kB) In: ''Annals of Mathematics'', 39, April 1938, S. 350–360 (englisch)
* [[Paulo Ribenboim]]: ''Die Welt der Primzahlen. Geheimnisse und Rekorde''. Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-34283-4 (aktualisierte Übersetzung von ''The little book of bigger primes''. Springer, New York 2004)

== Weblinks ==

* {{MathWorld |id=WilsonPrime |title=Wilson Prime}}
* Chris K. Caldwell: [http://primes.utm.edu/glossary/xpage/WilsonPrime.html ''Wilson prime''.] The Prime Glossary (englisch).
* [http://www.loria.fr/~zimmerma/records/Wieferich.status ''Here is the latest update on …''] – E-Mail von Richard McIntosh an Paul Zimmermann vom 9. März 2004 (englisch)
* {{Internetquelle
| hrsg = [[Annals of Mathematics]] '''39''' (2)
| autor = [[Emma Lehmer]]
| url = http://gradelle.educanet2.ch/christian.aebi/.ws_gen/14/Emma_Lehmer_1938.pdf
| titel = On congruences involving Bernoulli numbers and the quotients of Fermat and Wilson
| seiten = 350–360
| datum = April 1938
| zugriff = 2020-02-03
}}
* {{Internetquelle
| hrsg = mersenneforum.org
| url = https://www.mersenneforum.org/showthread.php?t=16028
| titel = Distributed search for Wilson primes
| zugriff = 2020-02-03
}}
* {{Internetquelle
| hrsg = [[Mathematics of Computation]] '''17'''
| autor = [[Erna H. Pearson]]
| url = https://www.ams.org/journals/mcom/1963-17-082/S0025-5718-1963-0159780-0/S0025-5718-1963-0159780-0.pdf
| titel = On the Congruences (''p'' − 1)! ≡ −1 and 2''p''−1 ≡ 1 (mod ''p''2)
| seiten = 194–195
| datum = 6. April 1962
| zugriff = 2020-02-03
}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Primzahlklassen}}

[[Kategorie:Ganzzahlmenge]]
[[Kategorie:Primzahl]]
[[Kategorie:Zahlentheorie]]

Wilson-Primzahl - Versionsgeschichte

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