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2020-11-27T16:51:47Z

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Der '''Wilson-Loop''' (oder '''Wilson Line''') <math>W_C</math>, benannt nach [[Kenneth Wilson]], einem Pionier der [[Gittereichtheorie]]n, ist ein [[Erwartungswert]] eines [[Operator (Mathematik)|Operators]] in [[Eichtheorie]]n, der zur Unterscheidung der unterschiedlichen Phasen der Theorie dient.

== Definition ==
Der Wilson-Loop wird als eichinvarianter Erwartungswert eines [[Zustand (Quantenmechanik)|Phasenfaktors]] definiert, bei der die Feldvariablen der Eichtheorie, die ([[Vierervektor|Vierer]]-)[[Vektorpotential]]e <math>A_\mu</math> mit Werten in der [[Lie-Algebra]] der zugrundeliegenden [[Lie-Gruppe]] <math>G</math> der Eichtheorie, längs eines geschlossenen Weges (englisch ''Loop'') miteinander multipliziert werden:

:<math>W_C = \mathrm{Tr} \, \left\{ \mathcal{P}\exp i \oint_C A_\mu dx^\mu \right\}</math>

Dabei bezeichnet
* <math>C</math> den geschlossenen Weg
* <math>\mathcal{P}</math>, dass das Produkt der Operatoren längs des Weges geordnet ist.
* <math>Tr</math> (englisch ''Trace'') die [[Spur (Mathematik)|Spur]] bezüglich der [[Eichgruppe]] <math>G</math>. Wegen der zyklischen Invarianz dieser Spur ist der Operator eichinvariant.

== Anwendung ==
=== Gittereichtheorien ===
Ein Hauptanwendungsgebiet der Wilson-Loops sind Gittereichtheorien, wo aus ihnen [[Ordnungsparameter]] für verschiedene Phasenzustände gewonnen werden.

In der [[Quantenchromodynamik]] beispielsweise (betrachtet als [[Quantenfeldtheorie]] auf einem Gitter bei endlicher Temperatur) werden mit den Wilson Loops unterschieden:
* [[Confinement]]-Phasen, wenn sich der Ausdruck im Exponenten in der räumlichen Dimension ''flächenhaft'' verhält (proportional zur umschlossenen Fläche; ''area law''). Dies kann man sich als Folge der additiven Beiträge vieler farbelektrischer confinement-Flusstuben vorstellen. Das zugehörige Potential nimmt linear mit dem Abstand zu, ähnlich dem [[Gummielastizität|elastischen Verhalten eines Gummibandes]].
* [[Deconfinement]]-Phasen, wenn sich der Ausdruck im Exponenten in der räumlichen Dimension ''linear'' verhält (proportional zum ''Umfang'' der Schleife <math>C</math>; ''circumferential law''). Hier gibt es ''keine'' Fluss-Beiträge durch die Schleife bzw. sie heben sich im Mittel auf. Das zugehörige Potential verhält sich ''umgekehrt'' proportional zum Abstand, wie in der Elektrodynamik ([[Coulombsches Gesetz#Coulomb-Potential|Coulombphase]]).

Die Wilson-Loops werden dabei über geschlossene Kurven in der [[Raum-Zeit]] gebildet, wobei die Zeit [[Imaginäre Zahl|imaginär]] angenommen wird, so dass sich ein euklidischer Formalismus ähnlich wie bei der [[statistische Mechanik|statistischen Mechanik]] ergibt, nur in [[4D|vier Dimensionen]]. Dabei ist die entsprechende Temperatur umgekehrt proportional zur Zeit, und es werden periodische [[Randbedingung]]en angenommen. Die geschlossenen Kurven werden üblicherweise über eine Zeit- und eine Raumrichtung geführt; dann entsprechen die Wilson-Loops im [[Kontinuum (Physik)|Kontinuum]]-Limes des Gitters der Berechnung des [[Quark (Physik)|Quark]]-Antiquark-Potentials. Es werden aber auch rein räumliche Schleifen betrachtet.

=== Elektrodynamik ===
In der [[Elektrodynamik]] ist <math>\oint_C A_\mu dx^\mu </math> identisch mit dem [[magnetischer Fluss|magnetischen Fluss]] durch die Schleife <math>C</math>, falls diese räumlich ist, wie sich durch Anwendung des [[Satz von Stokes|Satzes von Stokes]] ergibt.

=== Stringtheorie und Quantengravitation ===
Wilson-Loops werden auch in der [[Stringtheorie]] betrachtet. Hier ergibt sich die Möglichkeit nicht kontraktibler (zusammenziehbarer) Loops in den kompaktifizierten Extra-Dimensionen, je nach deren [[Topologie (Mathematik)|Topologie]].

In der [[Loop-Quantengravitation]] von [[Ashtekar]] spielen Wilson-Loops eine große Rolle als fundamentale Basiszustände einer [[Quantengravitation|quantisierten Gravitationstheorie]]. Dort wird ein [[Paralleltransport]] eines Vierbeins längs eines geschlossenen Weges betrachtet. Das ist in direkter Analogie zu den Wilson-Loops in den Eichtheorien, deren Beschreibung mathematisch ähnlich ist ([[Faserbündel]] mit zugehörigen, den Paralleltransport beschreibenden Zusammenhangsformen ("connections"), die im Fall der Eichtheorien mit den Eichfeldern identisch sind).

Seit den 1990er Jahren wird in der Quantengravitation statt der Wilson-Loops zunehmend der Formalismus der [[Spin-Netzwerk]]e verwendet.

[[Kategorie:Stringtheorie]]
[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]
[[Kategorie:Allgemeine Relativitätstheorie]]

Wilson-Loop - Versionsgeschichte

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