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2023-08-03T14:50:16Z

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Das '''Wiener-Filter''' oder auch '''Wiener-Kolmogoroff-Filter''' ist ein [[Filter (Elektrotechnik)|Filter zur Signalverarbeitung]], welches in den 1940er Jahren von [[Norbert Wiener]] und [[Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow]] unabhängig voneinander entwickelt<ref>Kristian Kroschel: ''Statistische Nachrichtentheorie. Signal- und Mustererkennung, Parameter- und Signalschätzung.'' 3., neubearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-61306-4.</ref> und 1949 durch Norbert Wiener publiziert wurde.<ref name=":0">[[Norbert Wiener]]: ''Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series.'' Wiley, New York NY 1949.</ref> Es führt, gemessen an der [[Mittlere quadratische Abweichung|mittleren quadratischen Abweichung]], eine optimale [[Rauschunterdrückung]] durch.<ref name=":0" />

[[Datei:Wiener filter - my dog.JPG|mini|hochkant=2|Anwendung des Wiener-Filters zur Rauschunterdrückung. (links: Original, Mitte: verrauschtes Bild, rechts: gefiltertes Bild)]]

== Eigenschaften ==

Das Wiener-Filter wird durch die folgenden Eigenschaften beschrieben:<ref>Robert Grover Brown, Patrick Y. C. Hwang: ''Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering. With MATLAB exercises and solutions.'' 3. Auflage. Wiley u. a., New York NY 1996, ISBN 0-471-12839-2.</ref>
# Voraussetzung: Das Signal und das additive Rauschen gleichen [[Stochastische Prozesse|stochastischen Prozessen]] mit bekannter [[Spektralverteilung]] oder bekannter [[Autokorrelation]] und [[Kreuzkorrelation]]
# Fehlerkriterium: Minimale mittlere quadratische Abweichung

== Modelleigenschaften ==
Als Eingangssignal des Wiener-Filters wird ein Signal <math>s\left(t\right)</math> gestört durch ein additives Rauschen <math>n\left(t\right)</math> vorausgesetzt:
:<math>y(t) = s(t) + n(t).</math>

Das Ausgangssignal <math>x\left(t\right)</math> ergibt sich durch die [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] des Eingangssignals mit der Filterfunktion <math>g\left(\tau\right)</math>:
:<math>x(t) = g(\tau) * y(t) = g(\tau) * \left(s(t) + n(t)\right).</math>

Fehler <math>e(t) = s\left(t + d\right) - x(t)</math> und quadratischer Fehler <math>e^2(t) = s^2\left(t + d\right) - 2s(t + d)x(t) + x^2(t)</math> ergeben sich aus der Abweichung des Ausgangssignals vom zeitversetzten Eingangssignal <math>s\left(t + d\right).</math> Abhängig von dem Wert ''d'' des Zeitversatzes können unterschiedliche Problemstellungen betrachtet werden:
* Für <math>\left.d > 0\right.</math> : [[Prädiktion]]
* Für <math>\left.d = 0\right.</math> : Filterung
* Für <math>\left.d < 0\right.</math> : [[Glätten (Mathematik)|Glättung]]

Stellt man <math>x\left(t\right)</math> als Faltungsintegral dar:

:<math>x(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)\left[s(t - \tau) + n(t - \tau)\right]d\tau},</math>
so ergibt sich der Erwartungswert des quadratischen Fehlers zu:

:<math>E(e^2) = R_s(0) - 2\int\limits_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)R_{y\,s}(\tau + d)d\tau} + \int\limits_{-\infty}^{\infty}{\int\limits_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)g(\theta)R_y(\tau - \theta)d\tau}d\theta},</math>
wobei
* <math>R_s</math> die Autokorrelation der Funktion <math>\left.s(t)\right.,</math>
* <math>R_y</math> die Autokorrelation der Funktion <math>\left.y(t)\right.,</math>
* <math>R_{y\,s}</math> die Kreuzkorrelation der Funktionen <math>\left.y(t)\right.</math> und <math>\left.s(t)\right.</math> sind.

Wenn das Signal <math>s\left(t\right)</math> und das Rauschen <math>n\left(t\right)</math> unkorreliert sind (und damit die Kreuzkorrelation gleich Null ist), ergeben sich folgende Vereinfachungen
* <math>R_{y\,s} = R_s,</math>
* <math>R_y = R_s + R_n.</math>

Das Ziel ist es nun, <math>\left.E(e^2)\right.</math> durch Bestimmung eines optimalen <math>g\left(\tau\right)</math> zu minimieren.

== Stationäre Lösungen ==
Das Wiener-Filter hat jeweils eine Lösung für den kausalen und den nicht-kausalen Fall.

=== Nicht-kausale Lösung ===

:<math>G(s) = \frac{S_{x,s}(s)e^{\alpha s}}{S_x(s)},</math>

wobei <math>S_{x,s}(s)</math> und <math>S_x(s)</math> jeweils die [[Spektrale Leistungsdichte]] als [[Laplacetransformation]] der [[Kreuzkorrelation|Kreuz-]] bzw. der [[Autokorrelation]] <math>R_{x\,s}</math> und <math>R_x</math> ist.

Unter der Voraussetzung, dass <math>g\left(t\right)</math> optimal ist, vereinfacht sich die Gleichung, die das Minimum der [[Mittlere quadratische Abweichung|mittleren quadratischen Abweichung]] ([[Minimum Mean-Square Error]], MMSE) beschreibt, zu

:<math>E(e^2) = R_s(0) - \int\limits_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)R_{x,s}(\tau + d)d\tau}.</math>

Die Lösung <math>g\left(t\right)</math> ist die inverse beidseitige Laplacetransformation von <math>\left.G(s)\right.</math>.

=== Kausale Lösung ===

:<math>G(s) = \frac{H(s)}{S_x^{+}(s)}</math>

Wobei
* <math>\left.H(s)\right.</math> die positive Lösung der inversen Laplace-Transformation von <math>\frac{S_{x,s}(s)e^{\alpha s}}{S_x^{-}(s)}</math>,
* <math>S_x^{+}(s)</math> die positive Lösung der inversen Laplace-Transformation von <math>\left.S_{x}(s)\right.</math> und
* <math>S_x^{-}(s)</math> die negative Lösung der inversen Laplace-Transformation von <math>\left.S_x(s)\right.</math> ist.

== Siehe auch ==
* [[Kalman-Filter]]
* [[Wiener-Dekonvolution]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Digitale Signalverarbeitung]]
[[Kategorie:Filter (Elektrotechnik)]]

Wiener-Filter - Versionsgeschichte

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