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2025-05-30T20:58:54Z

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Das '''Wiener-Chintschin-Theorem''' (auch '''Wiener-Chintchin-Kriterium''' oder '''Chintschin-Kolmogorow-Theorem''', nach [[Alexander Jakowlewitsch Chintschin|Alexander Chintschin]]<ref>Alexander Chintchin: ''Korrelationstheorie der stationären stochastischen Prozesse.'' In: ''Mathematische Annalen'' Band 109, 1934. Als „Satz von Chintchin über die Korrelationsfunktion“ bewiesen z. B. in Gnedenko: ''Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie.'' Verlag Harri Deutsch 1978, Seite 310.</ref>, [[Norbert Wiener]]<ref>Norbert Wiener: ''Generalized harmonic analysis.'' In: ''Acta Mathematica'' Band 55, 1930, sowie in seinem Buch ''Extrapolation, Intrapolation and Smoothing of Stationary Time Series.'' MIT 1949. Bekannt wurde die diskrete Version auch durch die Artikel von [[Norman Levinson]], Journal of Mathematical Physics Bd. 25, 1957, S. 261, Bd. 20, S. 110</ref> und [[Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow]]) ist ein Satz in der [[Stochastik]] und [[Signalverarbeitung]]. Er besagt, dass die [[spektrale Leistungsdichte]] eines [[Stationärer stochastischer Prozess|stationären]]<ref>Eine Zufallsprozess (eine Zufallsfunktion) <math>x</math> heißt ''stationär'', wenn die [[Kovarianz (Stochastik)|Kovarianz]] <math>E\left(x(t)x^*(t-\tau)\right)</math> für alle Zeitpunkte <math>t</math> gleich ist. Genauer handelt es sich um stationäre Zufallsprozesse ''im weiteren Sinn"''(Wide Sense Stationary Random Processes).</ref> [[stochastischer Prozess|Zufallsprozesses]] die [[Fourier-Transformation|Fourier-Transformierte]] der korrespondierenden [[Autokorrelation]]sfunktion ist.

Der Satz gilt auch trivialerweise, d. h. durch Einsetzen der Fourier-Transformierten, die in diesem Fall anders als bei Zufallsprozess-Signalen existieren, für die [[Stetige Funktion|stetigen Funktionen]] [[Periodische Funktion|periodischer Signale]], und kann somit auf ein durch [[Rauschen (Physik)|Rauschen]] gestörtes periodisches Signal angewandt werden.

== Formulierung in der Signalverarbeitung ==
Für zeitkontinuierliche Signale hat das Theorem die Gestalt (<math>\mathrm{j}</math> steht für die [[imaginäre Einheit]], <math>f</math> für die [[Frequenz]]):

:<math>S_{xx}(f)=\int_{-\infty}^\infty r_{xx}(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi f\tau} d\tau</math>

mit der Autokorrelationsfunktion:

:<math>r_{xx}(\tau) = E\left(x(t) \cdot x^*(t+\tau)\right) = \lim_{T_F \to \infty} \frac{1}{T_F}\int_{-T_F/2}^{T_F/2} x^*(t) \cdot x(t + \tau) dt</math>

Dabei ist <math>E</math> der [[Erwartungswert]] des Produktes <math>x(t) \cdot x^*(t+\tau)</math>.

Die [[spektrale Leistungsdichte]] <math>\,S_{xx}(f)</math> der Funktion <math>\,x(t)</math> ist außerdem bei Existenz der Fourier-Transformierten <math>\hat x(f)</math> des Signals <math>x(t)</math> definiert als:

:<math>S_{xx}(f) = {\left| \hat x(f) \right|}^2</math>

Für „Rauschsignale“ existiert die Fourier-Transformierte <math>\hat x(f)</math> allerdings im Allgemeinen nicht. Der Name spektrale Leistungsdichte (PSD, Power Spectral Density) kommt daher, dass das Signal <math>x(t)</math> häufig eine Spannung ist und die Autokorrelationsfunktion dann eine Energie liefert. „Spektrale Dichte“ besagt, dass die Leistung als Funktion der Frequenz pro Frequenzintervall angegeben wird. Die PSD erlaubt Aussagen über das Vorliegen von Periodizitäten in verrauschten Signalen. Nach dem Wiener-Chintchin-Theorem kann die PSD aus der Autokorrelationsfunktion gewonnen werden. Für die Detektion periodischer Signale im Rauschhintergrund wurde die Autokorrelationsfunktion allerdings schon früher angewandt, z. B. von [[George Udny Yule]] in den 1920er Jahren.

Umgekehrt ergibt sich auch die Autokorrelationsfunktion als Fourier-Rücktransformierte der spektralen Leistungsdichte:

:<math>r_{xx} (\tau)= \int_{-\infty}^\infty S_{xx}(f)\mathrm{e}^{\mathrm{j}2\pi f\tau} d f</math>

'''Bemerkung''': bei Formulierung mit der Kreisfrequenz <math>\,\omega = 2 \pi f </math> lauten die entsprechenden Formeln:

:<math>S_{xx}(\omega)= \int_{-\infty}^{+\infty} r_{xx}(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega\tau} d\tau </math>

:<math>r_{xx} (\tau)= \frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{+\infty} S_{xx}(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega\tau} d \omega </math>

Das ist die eigentlich übliche Form der Fourier-Transformation, hier wird wie in der [[Signaltheorie]] eine Formulierung ohne Kreisfrequenz gewählt (siehe [[Fourier-Transformation]]).

Berechnungen im Frequenzraum sind über dieses Theorem gegen solche im Zeitraum austauschbar, ähnlich wie bei dem [[Lp-Ergodensatz|''L''<sup>''p''</sup>-Ergodensatz]] und dem [[Individueller Ergodensatz|individuellen Ergodensatz]] bzw. der [[Ergodenhypothese]], die bei typischen Systemen der statistischen Mechanik die Vertauschbarkeit von Zeit- und Ensemblemittel aussagt.

Im Falle zeitdiskreter Signale (einer Zeitreihe mit N Termen) hat das Wiener-Chintschin-Theorem eine ähnliche Form:

:<math>S_{xx}(f)=\sum_{k=-\infty}^\infty r_{xx}(k)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi k f}</math>

Die Summe wird dabei in Anwendungen auf endlich viele (<math>p < N</math>) Terme begrenzt.

Weiterhin ist <math>r_{xx}(k) = E\left(x^*(n)x(n-k)\right) = \frac{1}{N} \sum_n^N x^*(n) x (n-k)</math> die Autokorrelationsfunktion und <math>\,S_{xx}(f)</math> das Leistungsdichtespektrum von <math>\,x(n)</math>.

== Mathematische Formulierung ==
<math>\phi (u)</math> ist die [[charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] einer [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] mit [[Dichtefunktion]] <math>f</math> genau dann, falls es eine Funktion <math>x(t)</math> gibt mit

:<math>{\Vert x \Vert}^2 = \int_{-\infty}^\infty x(t)x^*(t) dt = 1</math>,

so dass

:<math>\phi (u) = \int_{-\infty}^\infty x (t) x^*(t+u) dt</math>

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>f</math> ist dann gegeben durch

::<math>f = |\hat x|^2</math>

mit der charakteristischen Funktion <math>\hat x</math> von <math>x</math>; letztere entspricht bis auf Vorfaktoren der Fourier-Transformation von <math>x</math>.

Das Theorem ist ein Spezialfall der Plancherel-Formel<ref>W. Feller ''Introduction to probability theory'', Bd. 2, S. 640</ref> (auch [[Satz von Plancherel]] genannt).

Oder in der ursprünglichen Formulierung von Chintchin:

:<math>R(u) = \int_{-\infty}^\infty x (t) x^*(t + u) \, dt</math>

ist dann und nur dann die Korrelationsfunktion eines reellen stationären Zufallsprozesses <math>x(t)</math>, falls

:<math>R(u) = \int_{-\infty}^\infty \cos (ut) \, dF(t)</math>

mit einer [[Verteilungsfunktion]] <math>F(t)</math>.

== Anwendung in der Systemanalyse ==
Das Theorem erlaubt es, [[Lineares zeitinvariantes System|lineare zeitinvariante Systeme]] (LTI-Systeme), wie [[Integrierter Schaltkreis|elektrische Schaltkreise]] mit [[Elektrisches_Bauelement #Lineare und nichtlineare Bauelemente|linearen Bauelementen]], zu untersuchen, wenn deren Ein- und Ausgangssignale ''nicht'' [[quadratintegrabel]] sind und somit keine Fourier-Transformierten existieren, wie im Fall zufälliger Signale (Rauschen).

Nach der Theorie der LTI-Systeme ist die Fourier-Transformierte der Autokorrelationsfunktion des Ausgangssignals nämlich gleich derjenigen des Eingangssignals multipliziert mit dem [[Betragsquadrat]] des [[Frequenzgang]]es, also der Fourier-Transformierten der [[Impulsantwort]] des Systems.

Nach dem Wiener-Chintchin-Theorem ist die Fourier-Transformierte der Autokorrelationsfunktion gleich der spektralen Leistungsdichte, und somit die Leistungsdichte des Ausgangssignals gleich der Leistungsdichte des Eingangssignals, multipliziert mit der Leistungs-[[Übertragungsfunktion]], analog zum Fall periodischer Signale bei LTIs.

== Siehe auch ==
* [[Kohärenz (Physik)#Wiener-Chintschin-Theorem]]

== Weblinks ==
* Bernd Pompe: {{Webarchiv | url=http://www2.physik.uni-greifswald.de/~pompe/SCRIPTS/vss.pdf | wayback=20070625094110| text=''Verfahren der stochastischen Signalverarbeitung.''}} (PDF-Datei; 2,0 MB)
* Alexander Chintchin: [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=37869 ''Korrelationstheorie der stationären stochastischen Prozesse.''] In: ''Mathematische Annalen'' Band 109, 1934.

== Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Satz (Stochastik)]]
[[Kategorie:Signalverarbeitung]]

Wiener-Chintschin-Theorem - Versionsgeschichte

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