imported>Vfb1893: BKL Versagen aufgelöst

2025-04-26T19:40:11Z

BKL Versagen aufgelöst

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Als '''Widerstandsmoment''' <math>W</math> wird in der [[Technische Mechanik|technischen Mechanik]] eine allein aus der Geometrie (Form und Maße) eines [[Balken]][[Querschnitt (Mechanik)|querschnitts]] abgeleitete [[Physikalische Größe|Größe]] bezeichnet. Sie ist ein Maß dafür, welchen Widerstand ein Balken bei [[Belastung (Physik)|Belastung]] der Entstehung innerer [[Spannung (Mechanik)|Spannungen]] entgegensetzt. Der Begriff des Widerstandsmomentes geht auf Friedrich Laissle (1829–1907) und [[Adolf von Schübler]] (1829–1904) zurück, die 1857 bei einfachsymmetrischen Querschnitten von „Widerstandsvermögen gegen Druck bzw. Zug“ sprachen.<ref>[[Karl-Eugen Kurrer]]: ''The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium''. Ernst & Sohn, Berlin, ISBN 978-3-433-03229-9, S. 449.</ref>
* Bei der Belastung [[Biegung (Mechanik)|Biegen]] wird vom '''axialen''' oder '''Biegewiderstandsmoment''' <math>W_{\mathrm{ax}}</math> gesprochen
* beim Verwinden ([[Torsion (Mechanik)|Torsion]]) wird vom '''polaren''' '''Widerstandsmoment''' <math>W_{p}</math> oder '''Torsionswiderstandsmoment''' <math>W_{t}</math> gesprochen.
Das Widerstandsmoment eines Querschnitts steht in einfachem geometrischen Zusammenhang mit dem [[Flächenträgheitsmoment]], mit dessen Hilfe bei der Querschnitts-[[Bemessung (Ingenieurwesen)|Bemessung]] die [[Verformung]] eines Balkens bei Belastung berechnet wird (siehe auch [[Steifigkeit]]). Widerstandsmoment und Flächenträgheitsmoment sind, in Abhängigkeit von den typischen Abmessungen geometrisch einfacher Flächen und standardisierter Materialprofile (z. B. [[Stahlprofil]]e), in allgemeinen technischen Handbüchern enthalten, oft in gemeinsamen Tabellen.

== Grundlagen ==
Bei [[Kraft|Kräften]] senkrecht zu einer Bezugsachse will die Kraft den Körper biegen bzw. – sofern ein [[Hebel (Physik)|Hebel]] vorhanden – um diese Achse drehen. Wird die Drehung durch [[Einspannung #Einspannung|Einspannung]] verhindert, entsteht ein [[Biegemoment|Biege-]] oder [[Torsionsmoment]]. Widerstandmomente werden immer in Bezug auf die jeweilige Momentenachse berechnet.

=== Berechnung ===
Das Widerstandsmoment ist definiert als:

:<math>W = \frac{I}{a_{\mathrm{max}}}</math>

mit
* dem [[Flächenträgheitsmoment]] <math>I</math>
* dem maximalen senkrechten Abstand <math>a_{\mathrm{max}}</math> der Randfaser (Querschnittsrand) zur [[Neutrale Faser|neutralen (spannungsfreien) Faser]]. In der Randfaser treten die gesuchten maximalen [[Beanspruchung (Technische Mechanik) |Bauteilbeanspruchung]]en auf (siehe unten: Anwendung).

Die Einheit des Widerstandsmoments ist <math>\mathrm{m}^3</math>.

Für symmetrische Querschnitte sind die Widerstandsmomente in den Randfasern parallel zur [[Symmetrieachse]] gleich. Deshalb sind auch die Spannungen in diesen Fasern gleich, wenn die Biegekräfte senkrecht zu dieser Symmetrieachse wirken.

=== Anwendung ===
Bei einer rein elastischen Verformung werden die in den Randfasern auftretenden maximalen Spannungen ermittelt durch:

: <math>\sigma_{\mathrm{max}} = \frac{M_b}{W_\text{ax}} = M_b \cdot \frac{a_{\mathrm{max}}}{I_\text{ax}}</math>

mit
* <math>\sigma_{\mathrm{max}}</math>: maximale [[Normalspannung]]
* <math>M_{b}</math>: [[Biegemoment]] um die Bezugsachse
* <math>I_\text{ax}</math>: axiales [[Flächenträgheitsmoment]].
* <math>a_\text{max}</math>: maximaler senkrechter Abstand der Randfaser zur [[Neutrale Faser|neutralen Faser]]

und durch:

: <math>\tau_{\mathrm{max}} = \frac{M_t}{W_{p}} = M_t \cdot \frac{a_{\mathrm{max}}}{I_{p}}</math>

mit
* <math>\tau_{\mathrm{max}}</math>: maximale Tangentialspannung ([[Schubspannung]])
* <math>M_{t}</math>: [[Torsionsmoment]] um die Bezugsachse
* <math>I_{p}</math>: polares [[Flächenträgheitsmoment]].
* <math>a_\text{max}</math>: maximaler senkrechter Abstand der Randfaser zur [[Neutrale Faser|neutralen Faser]]

Die so ermittelten maximal auftretenden Spannungen werden mit den vom [[Werkstoff]] erträglichen Spannungen ([[Festigkeit]]) verglichen, um zu überprüfen, ob der Balken [[Mechanisches Versagen|versagt]].

== Beispiele ==
[[Datei:Traegheitsmoment.PNG|rahmenlos|rechts|Rechteck und Kreis]]
Anmerkung: Für nicht kreisförmige Querschnitte können zwar die polaren Widerstandsmomente berechnet werden. Sie besitzen jedoch wenig praktische Bedeutung, da die Verteilung der [[Torsion (Mechanik)|Torsionsspannung]] für derartige Querschnitte anderen Gesetzen unterliegt.

* [[Rechteck]]
:: Für ein Rechteck mit der Breite <math>b</math> parallel zur y-Achse und der Höhe <math>h</math> ist das Widerstandsmoment bezüglich der Horizontalachse

:: <math>W_{y} = \frac{b \cdot h^2}{6}</math>

:: Für dasselbe Rechteck ist das Widerstandsmoment bezüglich der Vertikalachse

:: <math>W_{z} = \frac{h \cdot b^2}{6}</math>

* [[Quadrat (Geometrie)|Quadrat]]
:: für ein Quadrat mit der Seitenlänge <math>a = b = h</math> vereinfacht sich das Widerstandsmoment zu
:: <math> W_{y} = W_{z} = \frac{a^3}{6}</math>

* [[Kreis (Geometrie)|Kreis]]
:: Für einen Kreis mit Durchmesser <math>D</math>

:: <math>W_\text{ax} = \frac{\pi}{32} D^3</math>

:: <math>W_{p} = \frac{\pi}{16} D^3</math>

<div style="clear:both;"></div>
[[Datei:Traegheitsmoment-2.PNG|rahmenlos|rechts|Kreisring]]
* [[Kreisring]]
:: Für einen Kreisring mit Außendurchmesser <math>D</math> und Innendurchmesser <math>d</math> ist das Widerstandsmoment

::<math>W_\text{ax} = \frac{\pi}{32}\cdot \frac{(D^4 - d^4)}{D} </math>

::<math>W_{p} = \frac{\pi}{16} \cdot \frac{(D^4 - d^4)}{D}</math>

<div style="clear:both;"></div>
[[Datei:Traegheitsmoment-3.PNG|rahmenlos|rechts|Trapez]]
* [[Trapez (Geometrie)|Trapez]]
:: Für ein Trapez mit der Basis <math>B</math> parallel zur y-Achse und der Höhe <math>h</math>
::<math>W_{o} = \frac{h^2(B^2+4Bb+b^2)}{12(2B+b)} = W_{\mathrm{min}} </math>
::<math>W_{u} = \frac{h^2(B^2+4Bb+b^2)}{12(B+2b)} </math>

<div style="clear:both;"></div>
[[Datei:Rechteckrohr.png|rahmenlos|rechts|Rechteckrohr]]
* Hohlprofil (Rechteckrohr)
:: Für ein Rechteckrohr (Vierkantrohr) mit der Außenbreite/-Höhe <math>B</math> und <math>H</math>, der Innenbreite <math>b</math> und <math>h</math>; außerdem muss das Profil symmetrisch sein, d. h. die gegenüberliegenden Wandstärken müssen gleich groß sein

:: <math>W_{y} = \frac{BH^3-bh^3}{6H} </math>
:: <math>W_{z} = \frac{B^3H-b^3h}{6B} </math>

:: Für dünnwandige Rechteckprofile mit der gleichmäßigen Wandstärke <math>t</math> ist das Torsionswiderstandsmoment <math>W_{t}</math>
:: <math>W_{t} = \frac{t(H+h)(B+b)}{2} </math>
:: oder
:: <math>W_{t}=2t(H-t)(B-t)</math>

* [[Profilstahl|Walzprofile]]<ref>Kurt Gieck, Reiner Gieck: ''Technische Formelsammlung''. Carl Hanser Verlag, ISBN 978-3-446-46115-4. [https://www.hanser-elibrary.com/isbn/9783446461161 hanser-elibrary.com]</ref>
:: Für Profile bestehend aus <math>n</math> Rechteckquerschnitten, welche jeweils die Breiten <math>b_i</math> und die Höhen <math>h_i</math> mit <math>h_i > b_i</math> besitzen, lässt sich das Torsionswiderstandsmoment angenähert berechnen als
:: <math>W_{t} = \frac{\eta}{3b_\text{max}} \cdot \sum_{i=1}^{n}b_i^3 \cdot h_i </math>

{| class="wikitable" style="margin-left:3em"
|-
!Profil
!n
!η
|-
|I-Profil
|3
|≈1,3
|-
|Winkelprofil
|2
|≈1,0
|-
|T-Profil
|2
|1,12
|-
|U-Profil
|3
|1<η<1,3
|-
|Plus-Profil
|2
|1,17
|}

== Siehe auch ==
* [[Statisches Moment]]
* [[Spannungstrapezverfahren]]
* [[Festigkeitslehre]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Beanspruchungsart]]
[[Kategorie:Balkentheorie]]

Widerstandsmoment - Versionsgeschichte

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