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2025-08-21T06:46:00Z

Beispiel

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Die '''Weyl-Quantisierung''' ist eine Methode in der [[Quantenmechanik]], um systematisch einen ''quantenmechanischen'' [[Hermitescher Operator|Hermiteschen Operator]] umkehrbar auf eine ''klassische'' Verteilung im [[Phasenraum]] abzubilden. Daher wird sie auch '''Phasenraum-Quantisierung''' genannt.

Die dieser Quantisierungsmethode zugrundeliegende wesentliche Korrespondenzabbildung von Phasenraumfunktionen auf [[Operator (Mathematik)|Operatoren]] im [[Hilbertraum]] wird '''Weyl-Transformation''' genannt. Sie wurde zuerst [[1927]] von [[Hermann Weyl]]<ref>H.Weyl, "Quantenmechanik und Gruppentheorie", ''Zeitschrift für Physik'', '''46''' (1927) pp. 1–46, [[doi:10.1007/BF02055756]].</ref> beschrieben.

Im Gegensatz zu Weyls ursprünglicher Absicht ein konsistentes Quantisierungsschema zu finden, bildet diese Abbildung nur eine Darstellungsänderung. Sie muss ''klassische'' und ''quantenmechanische'' Größen nicht verbinden: Die Phasenraum-Verteilung darf auch von der Planckschen Konstante h abhängen. In einigen bekannten Fällen, die einen [[Drehimpuls]] beinhalten, ist das so.

Die Umkehrung dieser Weyl-Transformation ist die [[Wignerfunktion]]. Sie bildet aus dem [[Hilbertraum]] in die Phasenraumdarstellung ab. Dieser umkehrbare Wechsel der Darstellung erlaubt es, Quantenmechanik im Phasenraum auszudrücken, wie es in den 1940er Jahren von [[Hilbrand J. Groenewold|Groenewold]] und [[José Enrique Moyal|Moyal]] vorgeschlagen wurde.<ref>H.J. Groenewold, "On the Principles of elementary quantum mechanics",''Physica'','''12''' (1946) pp. 405–460. (englisch)</ref><ref>J.E. Moyal, "Quantum mechanics as a statistical theory", ''Proceedings of the Cambridge Philosophical Society'', '''45''' (1949) pp. 99–124. (englisch)</ref>

== Beispiel ==
Im Folgenden wird die Weyl-Transformation am 2-dimensionalen Euklidischen Phasenraum dargestellt. Die Koordinaten des Phasenraums seien <math>(q,p)</math>; ferner sei <math>f</math> eine Funktion, die überall im Phasenraum definiert ist. Die Weyl-Transformation von <math>f</math> ist durch den folgenden Operator im Hilbertraum gegeben (größtenteils analog zur [[Delta-Distribution]]):
:<math> \Phi [f] = \frac{1}{(2\pi)^2}\iint_{q,\,a} \iint_{p,\,b} f(q,p) \left(e^{i(a(Q-q)
+b(P-p))}\right)\mathrm dq\,\mathrm dp\,\mathrm da\,\mathrm db.</math>

Nun werden die Operatoren <math>P</math> und <math>Q</math> als Generatoren einer [[Lie-Algebra]], der [[Heisenberg-Algebra]] genommen:
:<math>[P,Q]=PQ-QP=-i\hbar,\,</math>

Dabei ist <math>\hbar</math> das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum. Ein allgemeines Element einer Heisenberg-Algebra kann geschrieben werden als

:<math>aQ+bP-i\hbar z.\,</math>

Die [[Exponentialfunktion]] eines Elementes einer Lie-Algebra ist dann ein Element der korrespondierenden [[Lie-Gruppe]]:

:<math>g=e^{aQ+bP-i\hbar z},</math>

ein Element der [[Heisenberg-Gruppe]]. Gegeben sei eine spezielle [[Gruppendarstellung]] <math>\Phi</math> der Heisenberggruppe, dann bezeichnet

:<math>\Phi\left( e^{aQ+bP-i\hbar z} \right)\,</math>

das Element der entsprechenden Darstellung des Gruppenelements <math>g</math>.

Die Inverse der obigen Weylfunktion ist die Wignerfunktion, welche den Operator <math>\Phi</math> zurück zur Phasenraumfunktion <math>f</math> bringt:

:<math> f(q,p)= 2 \int_{-\infty}^\infty\mathrm dy~e^{2ipy/\hbar}~ \langle q-y| \Phi [f] |q+y \rangle. </math>

Im Allgemeinen hängt die Funktion <math>f</math> von der Planck-Konstante <math>h</math> ab und kann quantenmechanische Prozesse gut beschreiben, sofern sie mit einem [[Sternprodukt]] passend zusammengesetzt ist.<ref>[[Ryogo Kubo|R. Kubo]], "Wigner Representation of Quantum Operators and Its Applications to Electrons in a Magnetic Field", ''Jou. Phys. Soc. Japan'','''19''' (1964) pp. 2127–2139, [[doi:10.1143/JPSJ.19.2127]].</ref>

Zum Beispiel ist die Wignerfunktion eines quantenmechanischen Operators für ein Drehimpulsquadrat <math>(L^2)</math> nicht identisch mit dem klassischen Operator, sondern enthält zusätzlich den Term <math>- \tfrac{3}{2}\hbar^2</math>, welcher dem nichtverschwindenden Drehimpuls des Grundzustands einer Bohrschen Umlaufbahn entspricht.

== Eigenschaften ==
Eine typische Darstellung einer Heisenberg-Gruppe erfolgt durch die Generatoren ihrer Lie-Algebra: Ein Paar [[selbstadjungierter Operator]] ([[Hermitescher Operator|hermitesch]]) auf einem Hilbertraum <math> \mathcal{H}</math>, so dass ihr [[Kommutator (Mathematik)|Kommutator]], ein zentrales Element der Gruppe, das Identitätselement auf dem Hilbertraum ergibt (die [[Impulsoperator|kanonische Vertauschungsrelation]])

:<math>[P,Q]=PQ-QP=-i\hbar ~ \operatorname{Id}_\mathcal{H},</math>

Der Hilbertraum kann als Menge von quadratisch integrierbaren Funktionen über der reellen [[Zahlengerade]] (ebene Wellen) oder einer beschränkteren Menge, wie beispielsweise des [[Schwartz-Raum]] angenommen werden. Abhängig vom beteiligten Raum, folgen verschiedene Eigenschaften:

* Wenn <math>f</math> eine [[reellwertige Funktion]] ist, dann ist das Abbild der Weyl-Funktion <math>\Phi[f]</math> selbst-adjungiert.

* Wenn <math>f</math> ein Element des [[Schwartz-Raum]] ist, dann ist <math>\Phi[f]</math> ein [[Spurklasseoperator]].

* Allgemeiner ist <math>\Phi[f]</math> ein unbeschränkter dicht definierter Operator.

* Für die Standarddarstellung der Heisenberg-Gruppe über den quadratisch integrierbaren Funktionen, entspricht die Funktion <math>\Phi[f]</math> eins-zu-eins dem Schwartz-Raum (als Unterraum der quadratisch integrierbaren Funktionen).

== Verallgemeinerungen ==
Die Weyl-Quantisierung wird in größerer Allgemeinheit in Fällen untersucht, wo der Phasenraum eine [[symplektische Mannigfaltigkeit]] oder möglicherweise eine [[Poisson-Mannigfaltigkeit]] ist. Verwandte Strukturen sind zum Beispiel [[Poisson–Lie-Gruppe]]n und die [[Kac-Moody-Algebra|Kac-Moody-Algebren]].

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Quantenmechanik]]

Weyl-Quantisierung - Versionsgeschichte

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