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2024-08-27T14:05:58Z

Nachweis ergänzt und Quellen dafür angefügt

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Die '''Weyl-Gleichung''' der [[Teilchenphysik]], benannt nach [[Hermann Weyl]], ist die [[Diracgleichung]] für masselose Teilchen mit [[Spin]] 1/2. Genaugenommen handelt es sich um zwei jeweils zweidimensionale Gleichungen.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.spektrum.de/lexikon/physik/weyl-gleichung/15565 |hrsg=Spektrum |titel=Lexikon der Physik: Weyl-Gleichung |abruf=2024-08-27}}</ref>

Die Weyl-Gleichung wird bei der Beschreibung der [[Schwache Wechselwirkung|schwachen Wechselwirkung]] verwendet. Entsprechend heißen [[Fermion]]en, die diese Gleichung erfüllen, '''Weyl-Fermionen'''.

Weyl-Fermionen wurden erstmals 2015, 86 Jahre nachdem Hermann Weyl sie vorhergesagt hatte, experimentell nachgewiesen.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.weltderphysik.de/gebiet/teilchen/nachrichten/2015/weyl-fermion-mehrfach-nachgewiesen/ |titel=Weyl-Fermion mehrfach nachgewiesen |autor=Rainer Scharf |hrsg=Welt der Physik |abruf=2024-08-27}}</ref><ref>{{cite journal |title=Experimental Discovery of Weyl Semimetal TaAs |author=B. Q. Lv, H. M. Weng, B. B. Fu, X. P. Wang, H. Miao, J. Ma, P. Richard,1,2 X. C. Huang,1
L. X. Zhao, G. F. Chen, Z. Fang, X. Dai, T. Qian and H. Ding |doi=10.1103/PhysRevX.5.031013 |date=2015 |journal=American Physical Society |language=en}}</ref>

== Formulierung ==
:<math> \begin{align}
\mathrm i \sigma^\mu \partial_\mu \Psi_R &= 0 \\
\mathrm i \bar \sigma^\mu \partial_\mu \Psi_L &= 0
\end{align}</math>

mit
* der [[Imaginäre Zahl #Imaginäre Einheit i|imaginären Einheit]] <math>i</math>
* <math> \sigma^\mu = \begin{pmatrix} \sigma^0 & + \vec \sigma\end{pmatrix}</math>
* <math>\bar \sigma^\mu = \begin{pmatrix} \sigma^0 & - \vec \sigma\end{pmatrix}</math>
** der zweidimensionalen [[Einheitsmatrix]] <math>\sigma^0</math>
** den drei zweidimensionalen [[Pauli-Matrizen]] <math>\vec \sigma</math>.

Bei physikalischen Experimenten, an denen die schwache Wechselwirkung beteiligt ist, kann man [[Neutrino]]s oft in sehr guter Näherung als Weyl-Fermionen beschreiben, d. h. als masselos. Da Neutrinos bei diesen Experimenten nur als links[[Chiralität (Physik)|händige]] Teilchen mit negativer [[Helizität]] beobachtet werden, beschreibt in diesem Fall
* <math>\Psi_L</math> das linkshändige Neutrino
* <math>\Psi_R</math> das rechtshändige Antineutrino.

== Herleitung ==
Die [[Darstellung (Gruppe)|Darstellung]] der [[Lorentzgruppe]] auf [[Dirac-Spinor]]en ist [[Irreduzible Darstellung|reduzibel]]. In einer geeigneten Darstellung der [[Dirac-Matrizen]], der [[Dirac-Matrizen #Weyl-Darstellung|Weyl-Darstellung]], transformieren die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten der 4er-[[Spinor]]en getrennt, weshalb sie auch als '''Bispinoren''' bezeichnet werden:

:<math>\Psi = \begin{pmatrix}
\Psi_L\\
\Psi_R
\end{pmatrix}</math>

Die 2er-Spinoren <math>\Psi_L</math> und <math>\Psi_R</math> sind die links- und rechtshändigen [[Weyl-Spinor]]en. Sie sind die [[Eigenzustand|Eigenzustände]] des [[Chiralität (Physik) #Definition|Chiralitätsoperators]] <math>\gamma^5</math>, wenn man ihn in der Weyl-Darstellung schreibt:

:<math>\begin{align}
\gamma^5 \begin{pmatrix}\Psi_L \\ 0\end{pmatrix} &= - \begin{pmatrix}\Psi_L \\ 0\end{pmatrix} \\
\gamma^5 \begin{pmatrix}0 \\ \Psi_R\end{pmatrix} &= + \begin{pmatrix} 0 \\ \Psi_R\end{pmatrix}
\end{align}</math>.

Sie werden in der Diracgleichung für ein [[Freies Teilchen|freies]] Spin-1/2-Teilchen durch die Masse <math>m</math> gekoppelt:

:<math>
\left(\mathrm i\gamma^\mu \partial_\mu - m\right)\Psi=
\begin{pmatrix}
-m& \mathrm i \sigma^\mu \partial_\mu\\
\mathrm i \bar \sigma^\mu \partial_\mu &-m
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\Psi_L\\\Psi_R\end{pmatrix}
= 0
</math>.

Verschwindet die Masse (<math>m = 0</math>), so entkoppelt die vierdimensionale Dirac-Gleichung in die beiden unter „Formulierung“ genannten Gleichungen für den links- und den rechtshändigen Spinor.

== Chirale Kopplung ==
Bei der Beschreibung der [[Elektroschwache Wechselwirkung|elektroschwachen Wechselwirkung]] werden links- und rechtshändige Spinoren unterschiedlich, aber [[Lorentz-Kovarianz|Lorentz-kovariant]] an [[Vektorfeld]]er gekoppelt. Diese spezielle Art der Kopplung wird auch als ''chirale Kopplung'' bezeichnet. Sie entsteht, indem die [[Differentialrechnung #Ableitungsfunktion|Ableitungen]] nach den Koordinaten durch die folgende [[kovariante Ableitung]] ersetzt werden:

:<math>D_\mu = \partial_\mu - \mathrm i g T_a W^a_\mu</math>

Dabei bezeichnen
* <math>g</math> die [[Kopplungskonstante]],
* <math>T_a</math> die [[Erzeuger (Algebra)|Generatoren]] der [[Lie-Algebra]] der [[Eichgruppe]] und
* <math>W^a_\mu</math> die Komponenten der [[Eichtheorie|Eichfelder]].

Die Eichgruppe kann für links- und rechtshändige Teilchen verschieden gewählt werden, ohne dass die Lorenz-Kovarianz dadurch beeinträchtigt wird.

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Teilchenphysik]]

Weyl-Gleichung - Versionsgeschichte

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