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Der '''Wellenvektor''' oder auch '''Wellenzahlvektor''' <math>\vec{k}</math> ist in der [[Physik]] ein [[Vektor]], der [[Orthogonalität|senkrecht]] auf der [[Wellenfront]] einer [[Welle]] steht und dessen Betrag <math>\frac{2 \pi}{\lambda}</math> ist, wobei <math>\lambda</math> die [[Wellenlänge]] ist. Die Maßeinheit der Komponenten ist 1/m. In den meisten Fällen gibt er die ''Ausbreitungsrichtung'' der Welle an, jedoch kann die Richtung des [[Poynting-Vektor]]s für den Energiefluss bei [[Elektromagnetische Welle|elektromagnetischen Wellen]] in bestimmten Medien vom Wellenvektor abweichen.

== Beschreibung ==
Eine [[ebene Welle]], die sich in <math>\vec k</math>-Richtung ausbreitet, lässt sich schreiben als:

:<math>\psi (\vec r,t) = A \cdot \mathrm e^{\mathrm i(\vec k \cdot \vec r - \omega t)}</math>

mit
* [[Amplitude]] <math>A</math>,
* [[Eulersche Zahl|eulerscher Zahl]] <math>\mathrm e</math>,
* [[Imaginäre Einheit|imaginärer Einheit]] <math>\mathrm i</math>,
* [[Ortsvektor]] <math>\vec r</math>,
* [[Kreisfrequenz]] <math>\omega</math>,
* [[Zeit]] <math>t</math>.

Mit den Komponenten in <math>x</math>-, <math>y</math>- und <math>z</math>-Richtung

:<math>\vec{k} = (k_x, k_y, k_z)</math>

zeigt der Wellenvektor im 3-dimensionalen <math>k</math>-Raum, auch [[reziproker Raum]] genannt, in eine bestimmte Richtung.

Der [[Betragsfunktion|Betrag]] des Wellenvektors ist die '''Kreiswellenzahl''' <math>k</math>, daher auch die Bezeichnung Wellenzahlvektor:

:<math>k = |\vec{k}| = \frac{\omega}{c}=\frac{2 \pi}{\lambda},</math>

wobei
* <math>c</math> die [[Phasengeschwindigkeit]] und
* <math>\lambda</math> die [[Wellenlänge]] ist.

== Wellenvektor und Quantenzahlen ==
Ohne weitere [[Randbedingung]]en, etwa im Vakuum, kann der Wellenvektor eines Teilchens kontinuierlich jeden Betrag und jede Ausrichtung annehmen. Unter bestimmten Umständen ist der Wellenvektor jedoch eine [[Quantisierung (Physik)|quantisierte]] Größe.

Die Beschränkung von Teilchen auf einen endlichen Raum, beispielsweise in einem [[Potentialtopf]], oder das Gitter eines [[Festkörper]]s, führt dazu, dass der [[Stationärer Zustand (Quantenmechanik)|stationäre Zustand]] des Systems nur diskrete Werte annehmen kann. In diesem Fall ist der Wellenvektor quantisiert, auch wenn er streng genommen keine [[Quantenzahl]]en darstellt. Der Wellenvektor ist vielmehr eine Funktion von Quantenzahlen, bzw. seine möglichen Werte können durch Quantenzahlen abgezählt werden. Dies ist in Analogie zu den Eigenenergien eines quantenmechanischen Problems mit einem [[diskretes Spektrum|diskreten Spektrum]] <math>E_n</math> zu sehen: der Index <math>n</math> der diskreten Energie ist die Quantenzahl, nicht jedoch die Energie selbst.

Beispiel: Für die Lösungen der [[Schrödingergleichung]] eines dreidimensionalen, unendlich hohen Potentialtopfs der Kantenlängen <math>a</math> gilt
:<math>\Psi_{n_x,n_y,n_z}(x,y,z) \;=\; A \, \sin \left( k_x \, x \right) \, \sin \left( k_y \, y \right) \, \sin \left( k_z \, z \right)</math>
mit der Amplitude <math>A</math> und der Abkürzung
:<math>k_i = \frac{n_i \, \pi}{a}</math>.
Dabei ist <math>n_i</math> eine [[Natürliche Zahl|nichtnegative ganze Zahl]] und der Index <math>i</math> kann die Werte <math>x</math>, <math>y</math>, oder <math>z</math> annehmen.

Die stationären Zustände des Teilchens, sind also durch die Quantenzahlen <math>n_x</math>, <math>n_y</math> und <math>n_z</math> charakterisiert. Anstatt einen Zustand durch dieses Zahlentripel zu benennen, kann auch der Wellenvektor <math>\vec k = (k_x,k_y,k_z)</math> verwendet werden. Jedoch darf der Wellenvektor oder einer seiner Komponenten nicht als Quantenzahl bezeichnet werden, weil er zum einen dimensionsbehaftet und zum anderen durch [[reelle Zahlen]] dargestellt ist.

Bei einem Potentialtopf mit <math>N</math> Teilchen ergeben sich <math>N</math> Vektoren im [[Reziproker Raum|reziproken Raum]]. Wenn es sich um [[Fermion]]en handelt, gibt es pro Wellenvektor nur eine begrenzte Anzahl von stationären Zuständen. Deren Anzahl ergibt sich aus dem Betrag des [[Spin]]s der betrachteten Teilchen. Elektronen sind Teilchen, bei denen der Betrag des Spins den Wert <math>1/2</math> hat. Ein solcher Spin kann in Bezug auf eine [[Quantisierungsachse]] nur zwei Ausrichtungen annehmen. Daher kann im Potentialtopf jeder Wellenvektor von maximal zwei Elektronen angenommen werden.

== Wellenvektor und Impuls ==
Bei [[Photon]]en sowie bei [[Materiewelle]]n (De-Broglie-Relation) ist der vektorielle [[Impuls]] <math>\vec p</math> [[proportional]] zum Wellenvektor, mit der [[Reduzierte Planck-Konstante|reduzierten Planck-Konstante]] <math>\hbar</math> als Proportionalitätsfaktor:

:<math>\vec p = \hbar \vec k</math>

== Literatur ==
* [[Charles Kittel]]: ''Einführung in die Festkörperphysik''. 15. Auflage, Oldenbourg Verlag München, München 2013, ISBN 978-3-486-59755-4.
* {{Literatur
|Autor=Bahaa E. A. Saleh, Malvin Carl Teich
|Titel=Grundlagen der Photonik
|Verlag=John Wiley & Sons
|Ort=Weinheim
|Datum=2008
|Auflage=2
|ISBN = 978-3-527-40677-7
|Online=https://books.google.de/books?id=dXSfqi1izUkC&pg=PR3&hl
}}
* {{Literatur |Titel=Wellenvektor|Hrsg= Ulrich Kilian u. Christine Weberl |Sammelwerk=Lexikon der Physik |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Datum=2003|ISBN=978-3-860-25296-3| Online=https://www.spektrum.de/lexikon/physik/wellenvektor/15521}}

== Weblinks ==
* [http://www.nadirpoint.de/21707_4.PDF Herleitung des Photonen - Wellenvektors] (abgerufen am 28. Dezember 2015)

[[Kategorie:Wellenlehre]]
[[Kategorie:Quantenmechanik]]

Wellenvektor - Versionsgeschichte

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