imported>Cavendish Inc.: Norm zum Satz mathematische Konstanten (e, i) angewendet.

2025-12-05T22:39:57Z

Norm zum Satz mathematische Konstanten (e, i) angewendet.

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[[Datei:Wave packet (no dispersion).gif|miniatur|Ausbreitung eines eindimensionalen Wellenpakets ohne [[Dispersion (Physik)|Dispersion]]]]
[[Datei:Wave packet (dispersion).gif|miniatur|Ausbreitung eines eindimensionalen Wellenpakets mit [[Dispersion (Physik)|Dispersion]]]]
Ein '''Wellenpaket''', eine '''Wellengruppe''' oder ein '''Wellenzug''' ist eine räumlich oder zeitlich begrenzte [[Welle]]. Mathematisch kann ein Wellenpaket als zusammengesetztes System einfacherer Wellen aufgefasst werden. Insbesondere kann ein Wellenpaket durch [[Superposition (Physik)|Superposition]] (Addition) mehrerer [[ebene Welle|ebener Wellen]] dargestellt werden. Diese Zerlegung des Wellenpakets nach [[Frequenz]]<nowiki/>komponenten ist durch die [[Fouriertransformation]] motiviert und kann experimentell mit einem [[Spektrometer]] bestimmt werden. Die Geschwindigkeit, mit der sich die Hüllkurve eines Wellenpakets fortbewegt, heißt [[Gruppengeschwindigkeit]].

== Mathematische Formulierung ==
[[Datei:Wellenpaket mit verschiedenem Dispersionsverhalten.webm|mini|Ein Wellenpaket in Medien mit unterschiedlichen Brechungsindizes und somit verschiedenem Dispersionsverhalten]]
[[Datei:Wave mono.png|miniatur|Ebene bzw. monochromatische Welle (Realteil/Cos-Welle)]]
[[Datei:Wave more.png|miniatur|Ein Wellenpaket, das aus einer Überlagerung verschiedener monochromatischer Wellen (siehe obere Abbildung) zusammengesetzt ist.]]
Ein Wellenpaket <math>\psi(x,t)</math> kann als Summe ebener Wellen dargestellt werden:

:<math>\psi(x, t) = \sum \limits_j C_j \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\omega_j \cdot t - k_j \cdot x\right)}</math>

Dabei sind
* die [[Amplitude]]n <math>C_j</math> jeder einzelnen ebenen Welle beliebig und bestimmen die spezielle Struktur des Wellenpakets, vor allem die mehr oder weniger enge Begrenzung der räumlichen Ausdehnung.
* die einzelnen ebenen Wellen jeweils [[monochromatische Welle|monochromatisch]] mit der [[Kreisfrequenz]] <math>\omega_j</math>; das Wellenpaket insgesamt hat dagegen keine einzelne Frequenz, sondern eine [[Frequenzspektrum|Frequenzverteilung]].
* die [[Wellenzahl]] <math>k_j</math> gegeben durch <math>k_j = \omega_j / c(\omega_j)</math>. Dabei ist <math>c(\omega)</math> die [[Phasengeschwindigkeit]] der ebenen Welle, die je nach [[Ausbreitungsmedium|Medium]] frequenzabhängig sein kann ([[Dispersion (Physik)|Dispersion]], führt zum ''Zerlaufen'' des Wellenpakets mit der Zeit).<ref group="Anmerkung" name="c">Die Amplitude <math>C_j</math> (Großbuchstabe) der j-ten Frequenzkomponente darf nicht mit ihrer Phasengeschwindigkeit <math>c(\omega_j)</math> (Kleinbuchstabe) verwechselt werden. Die hier verwendeten Symbole sind aber in dieser Form üblich. So werden in der Theorie der Fouriertransformation die [[Komplexe Zahl|komplexen]] Koeffizienten mit <math>C_j</math> bezeichnet. Die Real- und Imaginärteile dagegen oft mit <math>A_j</math> und <math>B_j</math>.</ref> Ist <math>c</math> frequenzunabhängig, so ist das Medium dispersionsfrei und das Wellenpaket <math>\psi(x,t)</math> verändert seine Form ''nicht'' mit der Zeit (vgl. erste Abb.).
Die Phasengeschwindigkeit kann zudem mit dem Brechungsindex <math>n</math> durch die Formel <math>n = \tfrac{c_0}{c(w)} </math> ausgedrückt werden. Damit ergibt sich die Form des Wellenpaketes zu
:<math>\psi(x, t) = \sum \limits_j C_j \cdot \exp\left(\mathrm{i}\left(\omega_j \cdot t - \frac{w_j \cdot n(w_j)}{c_0} \cdot x\right)\right).</math>
Damit kann die Aussage getroffen werden: "Hat ein Medium einen konstanten Brechungsindex <math>n(\omega _j) = \text{const}</math> , so wird das Wellenpaket nicht zerlaufen (keine Dispersion)".

Physikalisch sinnvoll sind nur das Absolutquadrat, der [[Komplexe Zahl|Realteil]] oder der [[Komplexe Zahl|Imaginärteil]] von <math>\psi</math>.

Ein Wellenpaket ist, genau wie eine ebene Welle, eine Lösung der allgemeinen [[Wellengleichung]]

::<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{1}{c^2} \cdot \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}</math>

Dies ergibt sich aus der [[Linearität (Mathematik)|Linearität]] der Wellengleichung, es hat das [[Superposition (Mathematik)|Superpositionsprinzip]] zur Folge.

Bei kontinuierlicher Frequenzverteilung geht man von der Summe zum [[Integralrechnung|Integral]] über. Dabei legt <math>C(k)</math> die Amplitudenverteilung fest, die jetzt von der Wellenzahl <math>k</math> abhängt:

:<math>\text{(1)}:\,\psi(x, t) = \int_{-\infty}^{\infty} C(k) \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t - k \cdot x)} \,\mathrm{d} k</math>

== Beispiel: Gaußsches Wellenpaket ==
[[Datei:Wave gauss.svg|miniatur|Gaußsches Wellenpaket]]Ein häufig verwendetes Beispiel für ein Wellenpaket ist das Gaußsche Wellenpaket. Hierbei handelt es sich um eine Welle, deren Amplitudenverteilung <math>C(k)</math> eine [[Gaußverteilung]] ist.

Eine Besonderheit des Gaußschen Wellenpakets liegt darin, dass die Fouriertransformation einer Gaußfunktion wieder eine Gaußfunktion ergibt. Somit führt die Vorgabe einer gaußverteilten Amplitudenverteilung auf eine gaußförmige Welle im [[Ortsraum]]. Gibt man umgekehrt einem Wellenpaket im Ortsraum die Gaußform, so ist die Frequenzverteilung dieses Wellenpakets automatisch gaußverteilt.

Zusätzlich ist das Gaußsche Wellenpaket dasjenige Wellenpaket mit der geringsten [[Unschärferelation|Unschärfe]]. D. h. bei keinem anderen Wellenpaket ist das Produkt der Breite der Welle im Ortsraum und ihrer Breite im Frequenzraum geringer.

=== Mathematisch ===
Setzt man in obiger Gleichung (1) für die Amplitudenverteilung eine [[Normalverteilung|Gaußfunktion]]

::<math>C(k) = \exp\left(-\frac{(k - k_0)^2}{(2/a)^2}\right)</math>

ein, so erhält man nach der Integration zum Zeitpunkt <math>t = 0</math>:

:<math>\psi(x, 0) = \left( \frac{2}{\pi a^2} \right)^{1/4} \cdot \mathrm{e}^{-x^2/a^2} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \cdot k_0 \cdot x}</math>

Nebenstehende Abbildung zeigt das Ergebnis. Man hat jetzt nur noch einen Bereich, in dem die Amplitude merklich von 0 verschieden ist.

== Dispersion ==
[[Datei:Reflektometer offen.png|miniatur|Reflektierte Impulse bei unbelastetem Kabel]]
Meistens ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle abhängig von der Wellenlänge beziehungsweise von der Frequenz (z. B. Licht in Materie), so dass das Wellenpaket „zerläuft“, d. h. seine Breite wird mit der Zeit immer größer (oder kleiner) und die räumliche Bestimmtheit immer ungenauer. Wellenpakete, die keine Dispersion zeigen, also ihre Form und Breite beibehalten, werden auch als [[Soliton]]en bezeichnet.

Mit folgendem Versuch kann man nachweisen, dass sich [[Elektromagnetische Welle|elektromagnetische Wellen]] über einen extrem großen Wellenlängenbereich von wenigen Zentimetern bis zu einigen Kilometern (Frequenzbereich 20 kHz bis etwa 2 GHz) mit gleicher Geschwindigkeit ausbreiten, dass also ''keine'' Dispersion für elektromagnetische Wellen in einem [[Koaxialkabel]] auftritt: Ein [[Impulsgenerator (Elektronik)|Impulsgenerator]] erzeugt kurze Spannungsimpulse von etwa 10 ns Dauer bei einer Folgefrequenz von etwa 20 kHz. Schickt man diese durch ein etwa 20 m langes Koaxialkabel, werden sie am offenen Ende reflektiert und laufen wieder zurück. Je nach Kabeldämpfung kann man etwa hundert Impulse beobachten, deren Form sich ''nicht'' ändert. Die unvermeidlichen ohmschen Verluste im Kabel und am Verbindungswiderstand zwischen Generator und Kabel bewirken eine gewisse Amplitudenabnahme aber keine Formänderung der Einhüllenden der Wellenpakete.

Mit einer [[Fourieranalyse]] kann man den Frequenzgehalt der sehr kurzen Spannungsimpulse bestimmen:
* Die tiefste Frequenz ist die Wiederholfrequenz der Impulse, also 20 kHz.
* Die höchste Frequenz liegt etwa beim 100-fachen [[Kehrwert]] der Impulsbreite, im oben angenommenen Fall also bei 10 GHz.

Würde sich die Laufzeit der Impulse aufgrund von Dispersion merklich unterscheiden, müsste sich gemäß den Gesetzen der [[Fouriersynthese]] auch die Kurvenform der Impulse ändern. Da dies nicht beobachtet wird, folgt daraus die Konstanz der Ausbreitungsgeschwindigkeit im Kabel im beschriebenen Frequenzbereich.

== Anwendungen ==
* [[Wasserwelle]]n:<br />Wellenpakete kommen als [[Oberflächenwelle]]n in Wasser zur Anwendung, beispielsweise um die [[Übertragungsfunktion]]en (engl.: RAO = [[Response Amplitude Operator]]) von [[Schiff]]en und [[Offshorebauwerk|Offshore-Konstruktionen]] im Modellversuch zu messen. Dass sich alle Wellen, die von der [[Wellenmaschine]] ausgehen, zur gleichen Zeit am gleichen Ort treffen, gelingt nur, weil nach der [[Dispersionsrelation]] sich kurze (hochfrequente) Wellen auf der Wasseroberfläche langsamer ausbreiten als lange (niederfrequente) Wellen. Als Dienstleister für solche Modellversuche treten (wenige) [[Schiffbau-Versuchsanstalt]]en auf.
* [[Materiewelle]]n:<br />In der [[Quantenmechanik]] verwendet man Wellenpakete, um im Wellenbild [[Teilchen]] zu veranschaulichen. Die Breiten eines Wellenpaketes im [[Ortsraum|Orts-]] und [[Impulsraum]] sind dabei über die heisenbergsche [[Unschärferelation]] miteinander verknüpft. Ein örtlich gut bestimmtes Teilchen hat demnach eine sehr breite Impulsverteilung und umgekehrt. Das Gleiche gilt für Energie (Frequenz) und Zeit.

== Mehrdimensionales Wellenpaket ==
Gleichung (1) ist auch [[vektor]]iell ausdrückbar:<ref name="Physik">{{Literatur|Autor=Stöcker|Titel=Taschenbuch der Physik|Verlag=Verlag Harry Deutsch|Auflage=6|ISBN=978-3-87171-860-1|Jahr=2010}}, Abschnitt 10.3.4 „Wellen mit unterschiedlichen Frequenzen“.</ref>

:<math>\vec{\psi}(\vec{x},t) = \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm dk_x\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm dk_y\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm dk_z \vec C(\vec k)\mathrm e^{\mathrm i(\omega t -\vec x\cdot \vec k)}</math>

Zum Zeitpunkt <math>t = 0</math> kann man dem Raum ein initiales Muster <math>C(\vec x) = \operatorname{FT}[C](\vec k)</math> <ref group="Anmerkung" name="FT">FT[.] steht hier für die Fouriertransformation</ref> aufprägen (Generator), das mittels des [[Huygenssches Prinzip|Huygensschen Prinzips]] dann für alle folgenden Zeitschritte räumlich weiter propagiert wird (Iterator).<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=s8RIqZgFbXA 2D – Wellenpaket – Simulation mit endlicher Auflösung von Raum und Zeit.]</ref>

== Wellenzug ==
Unter einem Wellenzug wird eine zeitlich begrenzte (Dauer <math>\Delta t</math>) Welle einer Frequenz <math>f</math> verstanden.<ref>{{Literatur|Autor=Clemens Schaefer|Titel=Elektromagnetismus|Online={{Google Buch|BuchID=62zjq-YPku4C}}|Seiten=399|Verlag=Walter de Gruyter|Jahr=1999|Auflage=8.}}</ref> Obwohl alle Schwingungen des Wellenzuges die gleiche [[Periode (Physik)|Periode]] <math>1/f</math> haben, besteht das Spektrum des Wellenzuges nicht einzig aus der Frequenzkomponente <math>f</math>. Aus der Fouriertheorie folgt mit der Zeitbegrenztheit eine Mindestbreite des Frequenzspektrums <math>\Delta f</math>:

:<math>\Delta t \cdot \Delta f \geq 1</math> ([[Küpfmüllersche Unbestimmtheitsrelation]]).

== Literatur ==
* [[Wolfgang Demtröder]]: ''Experimentalphysik 3. Atome, Moleküle und Festkörper''. 3. Auflage. Springer, New York / Berlin / Heidelberg 2005, ISBN 3-540-21473-9.

== Anmerkungen ==
<references group="Anmerkung" />

== Weblinks ==
{{Commonscat|Wave packet|Wellenpaket}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Quantenphysik]]
[[Kategorie:Welle]]
[[Kategorie:Wellenlehre]]
[[Kategorie:Wikipedia:Artikel mit Video]]

Wellenpaket - Versionsgeschichte

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