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2025-04-15T20:16:40Z

Experimentelle Bestimmung: update PDG 2024

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Der '''Weinberg-Winkel''', nach [[Steven Weinberg]], oder '''elektroschwache Mischungswinkel''' <math>\theta_\text{W}</math> ist eine Größe in der Theorie der [[Elektroschwache Wechselwirkung|elektroschwachen Wechselwirkung]], die dort in verschiedenen Zusammenhängen auftritt. Er ist eine der Größen, die im [[Standardmodell]] nicht vorhergesagt werden, sondern experimentell bestimmt werden müssen.

Der [[Kosinus]] des Weinberg-Winkels tritt als Quotient der Massen des [[W-Boson|W-]] und des [[Z-Boson]]s auf:
:<math>\cos \theta_\text{W} = \frac{m_W}{m_Z}</math>

== Hintergrund ==
=== Lagrangedichte der elektroschwachen Wechselwirkung ===
In der elektroschwachen Wechselwirkung sind [[elektromagnetische Wechselwirkung|elektromagnetische]] und [[schwache Wechselwirkung]] vereinigt. Mathematisch wird sie durch eine [[Yang-Mills-Theorie]] beschrieben und die ihr zugrunde liegende Symmetriegruppe ist <math>SU(2)_L \times U(1)_Y</math>. Die Indices stehen dabei für "left" ("links") und die [[schwache Hyperladung]] <math>Y</math>. Die [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] der <math>SU(2)</math> ist drei, die der <math>U(1)</math> eins, sodass es drei masselose Eichbosonen der <math>SU(2)</math> und eines der <math>U(1)</math> gibt. Die drei Bosonen heißen <math>W^{1,2,3}</math> und das der <math>U(1)</math> wird als <math>B</math> bezeichnet. Die [[Lagrangedichte]] dieses Modells lautet
:<math>\mathcal L = -\frac 14 F^{a\mu\nu} F^a_{\mu\nu} - \frac 14 G^{\mu\nu}G_{\mu\nu} + \bar \psi_L \gamma_\mu D^{\mu}_L \psi_L + \bar \psi_R \gamma_\mu D^\mu_R \psi_R.</math>
Darin sind
* <math>F^{a\mu\nu} = \partial^\mu W^{a\nu} - \partial^\nu W^{a\mu} + g f^{abc} W^{b\mu} W^{c\nu}</math> der [[Feldstärketensor]] der <math>SU(2)</math> mit
** den [[Strukturkonstante]]n der <math>SU(2)</math> <math>f^{abc}</math> und
** der [[Kopplungskonstante]] der <math>SU(2)</math> <math>g</math>,
* <math>G^{\mu\nu} = \partial^\mu B^\nu - \partial^\nu B^\mu</math> der Feldstärketensor der <math>U(1)</math>,
* <math>\psi_L = \tfrac{1-\gamma^5}{2} \psi</math> der linkshändige Anteil und <math>\psi_R = \tfrac{1+\gamma^5}{2} \psi</math> der rechtshändige Anteil des fermionischen Feldes <math>\psi</math>,
* <math>\gamma^\mu</math> die [[Dirac-Matrizen]],
* <math>D^\mu_L = \partial^\mu + \mathrm i g T^a W^{a\mu} + \mathrm i g' Y B^\mu</math> die linkshändige [[kovariante Ableitung]] mit
** den [[Erzeuger (Algebra)|Generatoren]] der <math>SU(2)</math> <math>T^a</math>, die proportional zu den [[Pauli-Matrizen]] sind,
** dem Generator der <math>U(1)</math> <math>Y</math>, der proportional zur [[Einheitsmatrix]] ist, und
** der Kopplungskonstante der <math>U(1)</math> <math>g'</math> und
*<math>D^\mu_R = \partial^\mu + \mathrm i g' Y B^\mu</math> die rechtshändige kovariante Ableitung.
Die Lagrangedichte ist so konstruiert, dass sie invariant unter den Eichtransformationen
:<math>\psi_L \to \psi_L' = \exp(\mathrm i g T^a \alpha^a) \psi_L</math> und <math>\psi \to \psi' = \exp(\mathrm i g' Y \beta) \psi</math>
ist. Die Parameter <math>\alpha^a</math> und <math>\beta</math> sind beliebige reelle Funktionen der [[Raumzeit]]. Die lateinischen Indices laufen von 1 bis 3, die griechischen von 0 bis 3 und es wird [[Einsteinsche Summenkonvention]] verwendet. Diese Lagrangedichte ist, bis auf [[totale Ableitung]]en, die die Bewegungsgleichungen nicht ändern, maximal in dem Sinne, dass ihr kein Term bestehend aus <math>W^a,B</math> und <math>\psi</math> hinzugefügt werden kann, der die Eichinvarianz und [[Renormierung|Renormierbarkeit]] erhält.

=== Higgs-Mechanismus ===
{{Hauptartikel|Higgs-Mechanismus}}
Alle Teilchen der elektroschwachen Wechselwirkung sind masselos, da die Lagrangedichte insbesondere keine Masseterme enthält. In der Realität bricht der [[Higgs-Mechanismus]] die <math>SU(2)\times U(1)</math> spontan. Für ein skalares Feld <math>\phi</math> in der Lagrangedichte, das [[Higgs-Feld]], ist ein Masseterm <math>\mu^2\phi^\dagger \phi </math> erlaubt. Die Lagrangedichte wird erweitert durch die Terme
:<math>\mathcal L = \dots + (D_L^\mu\phi)^\dagger (D_{\mu,L} \phi) + \mu^2 \phi^\dagger \phi - \lambda (\phi^\dagger \phi)^2 + \dots</math>,
wobei die ersten Auslassungszeichen die weiter oben bereits erwähnte Lagrangedichte umfassen und die zweiten Auslassungszeichen für Interaktionen des <math>\phi</math>-Feldes mit den Fermionen umfassen. Im Higgs-Mechanismus ist die Masse des <math>\phi</math>-Teilchens imaginär, das heißt <math>\mu^2 < 0</math>. Dadurch liegt der [[Grundzustand]] des Higgs-Feldes nicht bei <math>\phi = 0</math>, sondern bei <math>\phi = \begin{pmatrix}0 & \tfrac{\mu^2}{2\lambda}\end{pmatrix}^\mathrm T</math>; man sagt, das Feld <math>\phi</math> hat einen von null verschiedenen [[Vakuumerwartungswert]]. Um die physikalisch beobachtbaren Teilchen zu beschreiben, muss daher das Higgs-Feld um diesen Grundzustand herum entwickelt werden und nicht um das [[falsches Vakuum|falsche Vakuum]] bei <math>\phi = 0</math>. Da die Eichbosonen an das <math>\phi</math>-Feld koppeln, werden sie durch die spontane Symmetriebrechung beeinflusst. Mit der Abkürzung <math>v = \mu/\sqrt \lambda</math> gilt
:<math>(D^\mu\phi)^\dagger (D_\mu\phi) = \frac{g^2v^2}{8} \left[(W^{1\mu})^2+(W^{2\mu})^2 + \left(\frac{g'}{g} B^\mu - W^{3\mu}\right)^2\right] + \dots</math>

=== Massen- und Ladungseigenzustände ===
Da Masse und elektrische Ladung zwei unabhängig messbare Größen sind, ist es möglich, einen Satz gemeinsamer Eigenzustände zu finden. Der [[Ladungsoperator]] der elektrischen Ladung ist
:<math>Q = T^3 + Y = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix},</math>
wobei <math>Y</math> so normiert wurde, dass das Higgs-Teilchen die schwache Hyperladung <math>Y_h = +\tfrac 12</math> hat und die Generatoren der <math>SU(2)</math> so, dass ihre Strukturkonstante gleich dem [[Levi-Civita-Symbol]], <math>f^{abc} = \varepsilon^{abc}</math>, ist. Da die Eichbosonen in der [[adjungierte Darstellung|adjungierten Darstellung]] transformieren, muss also eine Linearkombination der Generatoren gefunden werden, für die
:<math>[Q,x] = qx</math>
gilt.

Aus der Lagrangedichte ist offensichtlich, dass <math>W^1</math> und <math>W^2</math> bereits Masseneigenzustände sind. Weiterhin sind <math>[Q,T^3]W^3 = 0</math> und <math>[Q,Y]B = 0</math>, sodass <math>W^3</math> und <math>B</math> bereits Ladungseigenzustände sind. Definiert man
:<math>W^{\pm\mu} = \frac {1}{\sqrt{2}} (W^{1\mu} \mp \mathrm i W^{2\mu})</math> nebst <math>T^\pm = \frac{1}{\sqrt{2}}(T^1 \pm \mathrm i T^2)</math>
sowie
:<math>A^\mu = \frac{g'}{\sqrt{g^2 + g'^2}} W^{3\mu} + \frac{g}{\sqrt{g^2 + g'^2}} B^\mu</math> nebst <math>Z^\mu = \frac{g}{\sqrt{g^2 + g'^2}} W^{3\mu} + \frac{g'}{\sqrt{g^2 + g'^2}} B^\mu,</math>
dann lautet die Lagrangedichte
:<math>\mathcal L = \frac{g^2 v^2}{8}\left[(W^{+\mu})^2 + (W^{-\mu})^2 + \frac{g^2 + g'^2}{g^2}Z^2 \right] + \dots </math>
Die Lagrangedichte ist also diagonal in allen vier Feldern <math>W^\pm,Z,A</math>. Weiterhin gilt
:<math>[Q,T^\pm W^\pm]= \pm T^\pm W^\pm.</math>

== Definition ==
[[Datei:Weinberg angle (relation between coupling constants).svg|mini|Zusammenhang der verschiedenen Kopplungskonstanten <math>e,g,g'</math> und des elektroschwachen Mischungswinkels <math>\theta_\text{W}</math>]]
Betrachtet man die Transformation zwischen den zwei Basen <math>W^3,B</math> und <math>Z,A</math>, ist dies eine orthogonale Transformation, was als Drehung in zwei Dimensionen aufgefasst werden kann. In Matrixschreibweise ist
:<math>\begin{pmatrix} \cos \theta_\text{W}& \sin \theta_\text{W} \\ - \sin \theta_\text{W} & \cos \theta_\text{W} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B \\ W^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}A \\ Z \end{pmatrix}</math>
mit
:<math>\theta_\mathrm W = \arctan \frac{g'}{g}.</math>
Dieser Drehwinkel <math>\theta_\mathrm W</math> ist der Weinberg-Winkel.

== Folgen der elektroschwachen Symmetriebrechung ==
Als Resultat der elektroschwachen Symmetriebrechung existieren
* zwei massive elektrisch geladene Bosonen, die <math>W^\pm</math>,
* ein massives elektrisch neutrales Boson, das <math>Z</math> und
* ein masseloses elektrisch neutrales Boson, das <math>A</math>.

Die kovarianten Ableitungen können als
:<math>D^\mu_L = \partial^\mu + \mathrm i \frac{g}{\sqrt 2} (T^+W^{+\mu} + T^- W^{-\mu}) + \mathrm i \frac{g}{\cos \theta_\mathrm W} Z^\mu (T^3 - \sin^2 \theta_\mathrm W Q) + \mathrm i g\sin \theta_\mathrm W A^\mu Q</math> und <math>D^\mu_R = \partial^\mu - \mathrm i \frac{g\sin^2 \theta_\mathrm W}{\cos \theta_\mathrm W} Z^\mu + \mathrm i g\sin \theta_\mathrm W A^\mu</math>
geschrieben werden. Damit das <math>A</math>-Boson als [[Photon]] identifiziert werden kann, muss
:<math>e = g \sin \theta_\text{W}</math>
definiert werden. Damit gilt ebenfalls
:<math>e = g' \cos \theta_\text{W}.</math>

Die Theorie der elektroschwachen Symmetriebrechung sagt ebenfalls einen Unterschied in den Massen der <math>W</math>- und <math>Z</math>-Bosonen vorher. Das <math>Z</math> ist um einen Faktor <math>(\cos\theta_\text{W})^{-1}</math> schwerer als die <math>W^\pm</math>:

:<math>m_Z = \frac{m_W}{\cos \theta_\text{W}}</math>.

Die Schwäche der schwachen Wechselwirkung gegenüber der elektromagnetischen bei niedrigen Energien erklärt sich somit nicht – wie früher angenommen – über eine kleine Kopplungskonstante (e und g bzw. g' liegen jeweils in derselben Größenordnung). Sie stammt stattdessen aus dem [[Propagator]]term, in dessen Nenner die große Masse der W- bzw. Z-Bosonen quadratisch eingeht, während die Masse des Photons Null ist.

== Experimentelle Bestimmung ==
Der elektroschwache Mischungswinkel ist nicht direkt messbar, kann aber auf verschiedene Weise indirekt bestimmt werden. Da er in verschiedenen Zusammenhängen auftritt, ist die unabhängige Messung des Weinberg-Winkels ein wichtiger Präzisionstest für die Gültigkeit des Standardmodells.

Eine Möglichkeit ist beispielsweise, die Massen der W- und Z-Bosonen zu messen und daraus den Mischungswinkel zu berechnen. Präziser sind hingegen Streuexperimente, die sich die Mischung der Z-Bosonen und des Photons zunutze machen und die eine Asymmetrie im [[Differentieller Wirkungsquerschnitt|differentiellen Wirkungsquerschnitt]] messen.

Da die Kopplungskonstanten [[Laufende Kopplung|laufen]], ist auch der Weinberg-Winkel abhängig von der betrachteten Energieskala. Des Weiteren ist aufgrund von Effekten höherer Ordnung in [[Störungstheorie (Quantenfeldtheorie)|quantenfeldtheoretischer Störungstheorie]] der Weinberg-Winkel abhängig vom verwendeten [[Renormierung]]s<nowiki/>schema.

Der aktuelle Wert für den effektiven Weinberg-Winkel beträgt nach der [[Particle Data Group]] im [[MS-bar-Schema]]<ref>{{Literatur |Autor=Particle Data Group |Titel=Review of Particle Properties 2024}}</ref>
:<math>\sin^2 \theta_\text{W}(m_Z) = 0{,}23129(4)</math>
und nach [[CODATA]] im [[On-shell-Schema]]<ref name="CODATAsin2th" />
:<math>\sin^2 \theta_\text{W} = 0{,}22305(23)</math>.

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Mattew D. Schwartz |Titel=Quantum Field Theory and the Standard Model |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge |Datum=2014 |ISBN=978-1-107-03473-0 |Sprache=en}}
* {{Literatur |Autor=The ALEPH, DELPHI, L3, OPAL, SLD Collaborations, the LEP Electroweak Working Group und the SLD Electroweak and Heavy Flavour Groups |Titel=Precision Electroweak Measurements on the Z Resonance |Sammelwerk=Phys. Rept. |Band=427 |Nummer=5 – 6 |Datum=2006 |Seiten=257 – 451 |Sprache=en |arXiv=hep-ex/0509008 |DOI=10.1016/j.physrep.2005.12.006}}

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="CODATAsin2th">
{{Internetquelle
|url=https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?sin2th
|titel=CODATA Recommended Values (2022)
|hrsg=[[National Institute of Standards and Technology|NIST]]
|sprache=en
|kommentar=
|abruf=2024-06-10}}
</ref>
</references>

[[Kategorie:Teilchenphysik]]
[[Kategorie:Physikalische Konstante]]

Weinberg-Winkel - Versionsgeschichte

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