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2026-03-20T07:22:21Z

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{{Infobox Verteilung
| name = Weibull-Verteilung
| type = density
| pdf_image = [[Datei:Weibull PDF.svg|350px]] Dichtefunktion für verschiedene Formparameter <math>k</math>
| cdf_image = [[Datei:Weibull CDF.svg|350px]] Verteilungsfunktion <math>F(x)</math> für verschiedene Formparameter ''k''
| parameters = <math>k>0</math> — Formparameter<br /><math>\lambda>0</math> — inverser Skalenparameter
| support = <math>\{x\in\R\colon x\geq0\}</math>
| pdf = <math>f(x) = \lambda \, k\, (\lambda \, x)^{k-1} \mathrm{e}^{-(\lambda \, x)^k}, \; x > 0</math>
| cdf = <math>F(x) = 1 - \mathrm{e}^{-(\lambda \, x)^k},\; x \geq 0</math>
| mean = <math>\lambda^{-1}\,\Gamma(1 + 1/k)</math>
| median =
| mode =
| variance = <math>\lambda^{-2} [\Gamma(1+2/k) - \Gamma^2(1+1/k)]</math>
| skewness =
| kurtosis =
| entropy =
| mgf =
| char =
| fisher =
}}

Die '''Weibull-Verteilung''' (nach [[Waloddi Weibull]], 1939/1951)<ref>{{Literatur| Autor=W. Weibull| Titel=The Statistical Theory of the Strength of Materials | Sammelwerk=Ingeniors Vetenskaps Academy Handlingar| Nummer=151 | Verlag=Generalstabens Litografiska Anstalts Förlag| Ort=Stockholm| Datum=1939| Seiten=1-45| Sprache=en}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Waloddi Weibull |Titel=A statistical distribution function of wide applicability |Sammelwerk=Journal of Applied Mechanics |Band=18 |Nummer=3 |Datum=1951 |Sprache=en |Seiten=293–297 |DOI=10.1115/1.4010337}}</ref> ist eine zweiparametrige Familie von [[stetig]]en [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en über der Menge der positiven [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]]. Obwohl nach Weibull benannt, wurde sie zuerst von [[Maurice René Fréchet]] identifiziert<ref>{{Literatur| Autor=[[Maurice René Fréchet|Maurice Fréchet]]| Titel=Sur la loi de probabilité de l’écart maximum| Sammelwerk=Annales de la Société Polonaise de Mathématique Année 1927| Ort=Krakôw| Band=6| Datum=1928| Sprache=fr| Seiten=93–116}}</ref> und erstmals von [[Paul Otto Rosin|Rosin]] und [[Erich Rammler|Rammler]]<ref>{{Literatur| Autor=[[Paul Otto Rosin|P. Rosin]], [[Erich Rammler|E. Rammler]]| Titel=The Laws Governing the Fineness of Powdered Coal| Sammelwerk=Journal of the Institute of Fuel| Band=7| Nummer= | Datum=1933| Sprache=en| Seiten=29–36}}</ref> zur Beschreibung einer [[Partikelgrößenverteilung]] angewendet. Abhängig von ihren beiden Parametern ähnelt sie einer [[Normalverteilung]] oder asymmetrischen Verteilungen wie der [[Exponentialverteilung]]. Sie wird unter anderem zur statistischen Modellierung von [[Windgeschwindigkeit]]en oder zur Beschreibung der [[Lebensdauer (Technik)|Lebensdauer]] und [[Ausfallverteilung|Ausfallhäufigkeit]] von [[Elektrisches Bauelement|elektronischen Bauelementen]] oder ([[Sprödigkeit|spröden]]) [[Werkstoff]]en herangezogen. Wenn sie als Verteilung einer zufälligen Lebensdauer verwendet wird, berücksichtigt sie, anders als eine Exponentialverteilung, die Vorgeschichte eines Objekts, sie ist ''gedächtnisbehaftet'' und berücksichtigt die Alterung eines Bauelements nicht nur mit der Zeit, sondern in Abhängigkeit von seinem Einsatz. Sie lässt sich an steigende, konstante und fallende Ausfallraten technischer Systeme anpassen. Eine besondere Bedeutung hat die Weibull-Verteilung in der [[Ereigniszeitanalyse]].

== Definition ==

Es gibt eine zweiparametrige und eine dreiparametrige Weibull-Verteilung. In vielen Anwendungen wird die zweiparametrige Weibull-Verteilung verwendet, die hier zunächst behandelt wird. Weiter unten gibt es einen [[Weibull-Verteilung #Dreiparametrige Weibull-Verteilung|Abschnitt zur dreiparametrigen Weibull-Verteilung]].

=== Skalenparameter ===

Der [[Skalenparameter]] ist <math>\tfrac{1}{\lambda} > 0</math>.

In manchen Anwendungen, insbesondere bei Zeitabhängigkeiten wird <math>\lambda</math> durch seinen [[Kehrwert]], die ''charakteristische [[Lebensdauer (Physik)|Lebensdauer]]'' <math>T</math>, ersetzt.
<math>T</math> ist bei Lebensdauer-Analysen jene Zeitspanne, nach der ca. 63,2 % der Einheiten ausgefallen sind.<ref>{{Internetquelle |autor=Thomas Cloodt |url=https://www.cloodt.de/pdf_archiv/1lebensd.pdf |titel=Zuverlässigkeit und Lebensdauer |werk=cloodt.de |hrsg=Clodt Verlag |datum=2014 |abruf=2021-06-28}}</ref> Dieser Wert ist eine Kenngröße der Weibull-Verteilung.

:<math>T\cdot\lambda = 1</math>.

Wird kein Skalenparameter angegeben, so ist implizit <math>\lambda = 1</math> gemeint.

=== Formparameter ===

Der [[Formparameter]] oder ''Weibull-Modul'' ist der Parameter <math>k > 0</math>.

Alternativ werden gerne die Buchstaben <math>b</math> oder <math>\beta</math> verwendet.

In der Praxis typische Werte liegen im Bereich <math>0{,}25 \leq k \leq 5</math>.

Durch den Formparameter <math>k</math> lassen sich verschiedene speziellere Wahrscheinlichkeitsverteilungen realisieren:

* Für <math>k = 1</math> ergibt sich die [[Exponentialverteilung]] mit konstanter Ausfallrate.
* Für <math>k = 2</math> ergibt sich die [[Rayleigh-Verteilung]].
* Für <math>k \approx 3{,}602</math> ergibt sich eine Verteilung mit verschwindender [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]] (ähnlich der [[Normalverteilung]]).
Für <math>k < 1</math> gehört die Verteilung zu den [[Verteilung mit schweren Rändern|Verteilungen mit schweren Rändern]], deren Dichte langsamer als exponentiell abfällt.

=== Dichtefunktion, Verteilungsfunktion, Überlebensfunktion und Ausfallrate ===

Gegeben sei eine Weibull-Verteilung<ref>{{cite journal |doi=10.1111/j.1740-9713.2018.01123.x |title=The Weibull distribution|journal=Significance |volume=15 |issue=2 |pages=10–11 |year=2018 |language=en |last1=Kizilersu |first1=Ayse |last2=Kreer |first2=Markus |last3=Thomas |first3=Anthony W. }}</ref> mit Parametern <math>\lambda, k > 0</math>.

Die [[Dichtefunktion]] ist
:<math>f(x) = \begin{cases} \lambda \cdot k \cdot (\lambda \cdot x)^{k-1} \mathrm{e}^{-(\lambda \cdot x)^k}& \text{für }x > 0, \\ 0 & \text{sonst.}\end{cases}\;</math>

Die [[Verteilungsfunktion]] ist
:<math>F(x) = \begin{cases} 1 - \mathrm{e}^{-(\lambda \cdot x)^k} & \text{für }x \geq 0, \\ 0 & \text{sonst.}\end{cases} \;</math>

Die [[Überlebensfunktion]] oder Zuverlässigkeitsfunktion, ist
:<math>R(x) = 1 - F(x) = \begin{cases} \mathrm{e}^{-(\lambda \cdot x)^k} & \text{für }x \geq 0, \\ 1 & \text{sonst.}\end{cases}\; </math>

Die [[Ausfallrate]] ist
:<math> h(x) = \frac{f(x)}{R(x)} = \begin{cases} \lambda \cdot k \cdot (\lambda \cdot x)^{k-1} & \text{für }x \geq 0, \\ 0 & \text{sonst.}\end{cases} \,</math>

=== Abweichende Parametrisierung ===

Eine andere verbreitete Konvention ist die Parametrisierung durch <math>T = \frac{1}{\lambda}</math>, d. h., die Weibull-Verteilung wird definiert als Verteilung mit den Parameter <math>T, k > 0</math> und der Dichtefunktion
:<math>f_{k,T}(x) = \begin{cases} \frac{k}{T} \cdot \bigl(\frac{x}{T}\bigr)^{k-1} \cdot \mathrm{e}^{-\left(x/T\right)^k} & \text{für }x > 0, \\ 0 & \text{sonst.}\end{cases}\; </math>

Diese Darstellung wird häufig in der statistischen Theorie und in Statistikprogrammen verwendet, da bei dieser Parametrisierung <math>T</math> ein [[Skalenparameter]] ist.

== Eigenschaften ==

=== Erwartungswert ===

Der [[Erwartungswert]] der Weibull-Verteilung ist
:<math>\operatorname{E}(X)= \frac{1}{\lambda} \cdot \Gamma\left(1 + \frac{1}{k} \right)</math>

mit der [[Gammafunktion]] <math>\Gamma</math>.

=== Varianz ===

Die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] der Verteilung ist

:<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2} \left[\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \Gamma^2\left(1+\frac{1}{k}\right)\right]</math>.

=== Schiefe ===

Die [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]] der Verteilung ist

:<math>\operatorname{v}(X) = \frac{\Gamma(1+3/k) / \lambda^3 - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}</math>

mit dem Mittelwert <math>\mu = \operatorname{E}(X)</math> und der Standardabweichung <math>\sigma = \sqrt{\operatorname{Var}(X)}</math>.

=== Entropie ===

Die [[Entropie (Informationstheorie)|Entropie]] der Weibull-Verteilung (ausgedrückt in [[Nit (Informationseinheit)|nats]]) beträgt
:<math>\frac{(k-1)\gamma}{k} - \ln(\lambda k) + 1</math>
wobei <math>\gamma</math> die [[Euler-Mascheroni-Konstante]] bezeichnet.

== Anwendungen ==

=== Lebensdauer bzw. Zuverlässigkeit von Lebewesen, Bauteilen und Systemen ===
{{Anker|Weibullnetz}}[[Datei:Weibull Wahrscheinlichkeitsnetz.svg|mini|hochkant=1.5|Weibullnetz]]

Die Weibullverteilung wird in der [[Ereigniszeitanalyse]] als parametrische Verteilung zur Modellierung der Lebensdauer verwendet.
Bei Systemen mit unterschiedlichen Ausfallursachen wie beispielsweise technischen Komponenten lassen sich diese mit drei Weibull-Verteilungen so abbilden, dass sich eine „[[Ausfallverteilung#Badewanneneffekt|Badewannen-Kurve]]“ ergibt<ref>Siehe auch: [[:en:Exponentiated Weibull distribution]]</ref>.

Die Verteilungen decken dann diese drei Bereiche<ref>{{Literatur |Autor= |Hrsg= |Titel=Zuverlässigkeitssicherung bei Automobilherstellern und Lieferanten. |Reihe=Qualitätsmanagement in der Automobilindustrie |BandReihe=3 |HrsgReihe=Verband der Automobilindustrie e. V. |Auflage=3 |Verlag=VDA |Ort=Frankfurt a. M. |Datum=2000 |ISSN=0943-9412 |Kapitel=Abschnitt 2.4.3.|Seiten=}}</ref> ab:

* Frühausfälle mit <math>k < 1</math>, beispielsweise in der Einlaufphase („Kinderkrankheiten“).
* Zufällige Ausfälle mit <math>k = 1</math> in der Betriebsphase
* Ermüdungs- und Verschleißausfälle am Ende der Produktlebensdauer mit <math>k > 1</math>

Trägt man die Verteilung in der Form

:<math>\ln\left(\ln{\frac{1}{1-F(x)}}\right)=k \cdot \ln(x) - k \cdot \ln(T)</math>

in einem doppelt logarithmischen Diagramm auf, welches auch als ''Weibullnetz'' bezeichnet wird, ergibt sich eine [[Geradengleichung|Gerade]], bei der man den Parameter <math>k</math> leicht als [[Steigung]] ablesen kann. Die charakteristische Lebensdauer <math>T</math> kann dann folgendermaßen bestimmt werden:

:<math>T=\exp\left[-\left(\frac{a}{k}\right)\right]</math>.

Hierbei bezeichnet <math>a</math> den [[y-Achsenabschnitt]].

Oft kommt es vor, dass trotz Beanspruchung erst nach einer anfänglichen Betriebszeit <math>t_0</math> Ausfälle eintreten (beispielsweise infolge des Verschleißes von Bremsbelägen). Dies kann in der Weibull-Verteilungsfunktion berücksichtigt werden. Sie hat dann folgendes Aussehen:

:<math>F(t)=1-\exp\left[-\left(\frac{t-t_0}{T^*}\right)^k\right]</math>,

mit&ensp;<math>T^* = T - t_0</math>.

Trägt man die Funktion wieder auf, ergibt sich keine Gerade, sondern eine nach oben konvexe Kurve. Verschiebt man alle Punkte um den Wert <math>t_0</math>, so geht die Kurve in eine Gerade über.


=== Festigkeit spröder Werkstoffe ===

[[Sprödigkeit|Spröde]] [[Werkstoff]]e wie z. B. [[Technische Keramik]] enthalten normalerweise eine gewisse Anzahl von Material- und Oberflächenfehlern unterschiedlicher Größe, wie [[Pore]]n, [[Bruchmechanik#Riss und Bruch|Risse]], [[Inklusion (Mineralogie)|Einschlüsse]] oder Kratzer. Jeder dieser Fehler kann bei [[Belastung (Physik)|Belastung]] ein Materialversagen bzw. einen [[Sprödbruch|Bruch]] verursachen. Die daraus resultierende Verteilungsfunktion der [[Zufallsvariable|Zufallsgröße]] [[Festigkeit]] (<math>\sigma</math>) ist bei einer angenommenen minimalen Festigkeit von <math>\sigma_u = 0</math>

:<math>F(\sigma)=1-\exp\left[-\left(\frac{\sigma}{\sigma_0}\right)^m\right]</math>,

mit <math>\sigma_0</math> als charakteristische [[Mechanische Spannung|Spannung]] und <math>m</math> als Weibull-Modul<ref>{{Literatur |Autor=Dietrich Munz, Theo Fett |Titel=Ceramics - Mechanical Properties, Failure Behaviour, Materials Selection |Reihe=Springer Series in Materials Science |BandReihe=36 |Verlag=Springer |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=1999 |Sprache=en |Kapitel=8| Seiten=137ff | DOI=10.1007/978-3-642-58407-7}}</ref>. Letzterer liegt bei technischen Keramiken typischerweise im Bereich m = 10–20<ref>{{Literatur |Autor=Robert Danzer |Titel=On the relationship between ceramic strength and the requirements for mechanical design |Sammelwerk= J. Eur. Ceram. Soc. |Band=34 |Nummer=15 |Datum=2014 |Sprache=en |Seiten=3435–3460 |DOI=10.1016/j.jeurceramsoc.2014.04.026}}</ref>.

=== Dielektrische Festigkeit von Werkstoffen ===

Analog zur mechanischen Festigkeit wird auch die [[Durchschlagfestigkeit]] bzw. die [[Durchschlagspannung]] <math>u_\mathrm d</math> eines Isolierwerkstoffes u. a. von der größten Schwachstelle im Material bestimmt.

Bei gleichen Versuchsparametern (Probengeometrie, Elektrodenform/-anordnung, Umgebungsbedingungen etc.) und unter der Annahme, dass auch bei sehr geringen Spannungen bereits ein Ausfall möglich ist, kann die Verteilung der gemessenen Werte der Durchschlagspannung wie folgt angepasst werden:

:<math>F(u_\mathrm d)=1-\exp\left[-\left(\frac{u_\mathrm d}{u_{\mathrm d63}}\right)^{\delta}\right]</math>,

mit <math>u_{\mathrm d63}</math> als „63-%-Wert“ und <math>\delta</math> als „Weibull-Exponent“<ref>{{Literatur| Autor=Wolfgang Hauschild, Wolfgang Mosch| Titel=Statistical Techniques for High-Voltage Engineering| Reihe=IEE Power Series |BandReihe=13 |HrsgReihe=Institution of Electrical Engineers |Auflage= |Verlag=Peter Peregrinus Ltd. |Ort=London |Datum=1992 |Sprache=en |ISBN=978-0863412059 |Seiten=48–60 | DOI=10.1049/PBPO013E}}</ref>.

=== Partikelgrößen ===

In der [[Verfahrenstechnik#Mechanische Verfahrenstechnik|mechanischen Verfahrenstechnik]] findet die Weibull-Verteilung Anwendung als eine spezielle [[Partikelgrößenverteilung]]. Sie wurde in den 1930er Jahren von [[Paul Rosin]] und [[Erich Rammler]] für die Analyse von Kohlestaub entwickelt und wird daher als '''Rosin-Rammler-Verteilung''' oder '''Rosin-Rammler-Sperling-Bennet-Verteilung''' (kurz RRSB-Verteilung) bezeichnet.

=== Windgeschwindigkeit ===

[[Datei:Windvertln.png|mini|Windgeschwindigkeitshäufigkeiten]]
Die Grafik zeigt beispielhaft eine [[Messreihe]] von Windgeschwindigkeiten (grün). Eine Anpassung nach Gauß (blau, [[Normalverteilung]]) nähert sich den gemessenen Werten nur ungenügend. Weder gibt es negative Windgeschwindigkeiten noch ist die Verteilung symmetrisch. Eine Weibull-Verteilung führt einen zweiten freien Parameter ein. Durch sie wird die Verteilung für große und kleine Windgeschwindigkeiten sehr gut approximiert, ebenso die Werte um das Maximum. Aus den angepassten Parametern <math>\lambda = 1/5{,}1 = 0{,}194</math> und <math>k = 2{,}00</math> folgt ein Erwartungswert von 4,5 m/s, in guter Übereinstimmung mit dem Wert von 4,6 m/s bestimmt aus den Messwerten.


== Dreiparametrige Weibull-Verteilung ==

Es gibt eine dreiparametrige Weibull-Verteilung<ref>{{Literatur |Autor=[[Horst Rinne]] |Titel=Taschenbuch der Statistik |Verlag=Harri Deutsch |Ort=Frankfurt am Main |Datum=2008 | Auflage= 4 |ISBN=978-3-8171-1827-4 |Fundstelle=''3.9.5 Weibull-Verteilung'', S. 295–298}}</ref><ref>{{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage= 5 |ISBN=978-3-05-500608-1|Fundstelle=''Weibull-Verteilung'', S. 493–494}}</ref> die durch Erweiterung der zweiparametrigen Weibull-Verteilung mit einem zusätzlichen Verschiebungsparameter erfolgt, der aus statistischer Sicht ein [[Lagemaß (Stochastik)|Lageparameter]] ist.

=== Definition ===
Eine Zufallsvariable <math>X</math> heißt ''dreiparametrig Weibull-verteilt'' mit dem zusätzlichen [[Lagemaß (Stochastik)|Lageparameter]] <math>c \in \R</math>, falls die Zufallsvariable <math>X - c</math> (zweiparametrig) Weibull-verteilt ist.

=== Eigenschaften ===

* Eine dreiparametrig Weibull-verteilte Zufallsvariable <math>X</math> mit den Parametern <math>T = \frac{1}{\lambda} > 0</math>, <math>k > 0</math> und dem Lageparameter <math>c \in \R</math> hat die Dichtefunktion
::<math>f_{k,T,c}(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x \leq c \\ \frac{k}{T} \cdot \left(\frac{x-c}{T}\right)^{k-1} \cdot \mathrm{e}^{-\left( \frac{x-c}{T}\right)^k} & \text{für }x > c\end{cases} </math>
:und die Verteilungsfunktion
::<math>F_{k,T,c}(x) = \begin{cases} 1 - \exp(-(\frac{x-c}{T})^k) & \text{für }x \geq 0, \\ 0 & \text{sonst.}\end{cases} \;</math>

* Für jeden fixierten Parameter <math>k</math> bildet die zweiparametrige Familie der Dichtefunktionen <math>\left(f_{k, T, c} \right)_{T > 0, c \in \R}</math> eine [[Lage-Skalen-Familie]] mit dem Lageparameter <math>c</math> und dem Skalenparamater <math>T</math>.
* Wenn die Zufallsvariable <math>X'</math> eine zweiparametrige Weibull-Verteilung mit den Parametern <math>k</math> und <math>T</math> hat, dann hat die Zufallsvariable <math>X = X'+ c</math> eine dreiparametrige Weibull-Verteilung mit den Parametern <math>k</math>, <math>T</math> und <math>c</math>. Damit ergibt sich unmittelbar
::<math>\operatorname{E}[X]= c + \operatorname{E}[X']</math>
:und
::<math>\operatorname{Var}[X] = \operatorname{Var}[X']\;.</math>
: Die dreiparametrig Weibull-verteilte Zufallsvariable <math>X</math> hat also einen um den Wert <math>c</math> verschobenen Erwartungswert im Vergleich zur zweiparametrig Weibull-verteilten Zufallsvariable <math>X'</math>, aber dieselbe Varianz.

== Gespiegelte Weibull-Verteilung ==

Die Zufallsvariable <math>X</math> sei Weibull-verteilt. Dann hat die Zufallsvariable <math>Y = -X</math> eine ''gespiegelte Weibull-Verteilung'' (engl.: ''reverse-Weibull distribution'').<ref name="HF">{{Literatur |Autor=Laurens de Haan, Ana Ferreira |Titel=Extrem Value Theory. An Introduction |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2006 |Sprache=en |ISBN=978-1-4419-2020-1 |DOI=10.1007/0-387-34471-3 |Fundstelle= S. 10}}</ref> Es gilt <math>P(X > 0)=1</math> und <math>P(Y < 0)=1</math>. Wenn <math>F_X</math> die Verteilungsfunktion von <math>X</math> bezeichnet, dann hat die Variable <math>Y</math> die Verteilungsfunktion
:<math>F_Y(t) = 1 - F_X(-t), \; t \in \R</math>,
da
:<math>F_Y(t) = P(Y \leq t) = P(-X \leq t) = P(X \geq -t) = 1 - P(X < -t) = 1 - P(X \leq -t) = 1 - F_X(-t)\;,</math>
wobei das vorletzte Gleichheitszeichen gilt, da <math>X</math> eine stetige Zufallsvariable ist.

Die Familie der Verteilungsfunktionen
:<math> \Psi_{\alpha}(x) = \begin{cases}\exp(- (-x)^\alpha)&\text{für } x \leq 0 \\
1& \text{für }x >0
\end{cases}, \quad \alpha > 0</math>
gespiegelter Weibull-Verteilungen tritt in der [[Extremwerttheorie]] als [[Verteilungstyp]] möglicherer [[Extremwertverteilung]]en bei der Untersuchung der Maxima unabhängig und identisch verteilter Zufallsvariablen auf.<ref name="HF"/> Die zugehörigen Verteilungen werden als ''Extremwertverteilungen vom Typ III'' oder als ''Extremwertverteilungen vom Weibull-Typ'' bezeichnet. Zu beachten ist, dass manche Autoren gespiegelte Weibull-Verteilungen als Weibull-Verteilungen bezeichnen.<ref>{{Literatur |Autor=Paul Embrechts, Thomas Mikosch, [[Claudia Klüppelberg]] |Titel=Modelling extremal events |Reihe=Stochastic Modelling and Applied Probability |BandReihe=33 |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Datum= 1997 |Sprache=en |ISBN=3-540-60931-8 |DOI=10.1007/978-3-642-33483-2 |Fundstelle=S. 152, 154}}</ref>

== Beziehung zu anderen Verteilungen ==

=== Beziehung zur Exponentialverteilung ===

* Man sieht, dass der Fall <math>k = 1</math> die [[Exponentialverteilung]] <math>\operatorname{Exp}(\lambda)</math> ergibt. Mit anderen Worten: Die Exponentialverteilung behandelt Probleme mit konstanter [[Ausfallrate]] <math>\lambda</math>. Untersucht man jedoch Fragestellungen mit steigender (<math>k>1</math>) oder fallender (<math>k<1</math>) Ausfallrate, dann geht man von der Exponentialverteilung zur Weibull-Verteilung über.
* Ist der Parameter <math>k>1</math>, dann wird ein System mit einer mit der Zeit ansteigenden Ausfallrate, also ein ''alterndes'' System, beschrieben.
* Besitzt <math>X</math> eine Exponentialverteilung <math>\operatorname{Exp}(\lambda)</math> mit Parameter <math>\lambda</math>, dann besitzt die [[Zufallsvariable]] <math>Y := X^{1/k} ~(k>0)</math> eine Weibull-Verteilung <math>\operatorname{Wei}(\lambda^{1/k}, k)</math>. Zum Beweis betrachte man die Verteilungsfunktion von <math>Y</math>:<br /> <math>F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^{1/k} \le y) = P(X \le y^k) = 1 - e^{-\lambda \cdot y^k} = 1 - e^{-(\lambda^{1/k} \cdot y)^k},~y > 0</math>.<br /> Das ist die Verteilungsfunktion einer Weibull-Verteilung.

=== Gestreckte Exponentialfunktion ===

Die Funktion
:<math>1 - F(x) = \mathrm{e}^{-(\lambda \cdot x)^k}</math>
wird als [[gestreckte Exponentialfunktion]] bezeichnet.

== Siehe auch ==

* [[Mortalität]]
* [[Extremwerttheorie]]

== Literatur ==

* Bernard W. Lindgren: ''Statistical Theory.'' Chapman & Hall, New York u. a. 1993, ISBN 0-412-04181-2.
* [[Marek Fisz]]: ''Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik.'' Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1970.
* [[Joachim Hartung]], Bärbel Elpelt, Karl-Heinz Klösener: ''Statistik.'' Oldenbourg, München 2002, ISBN 3-486-25905-9.
* {{Literatur |Autor=[[Horst Rinne]] |Titel=The Weibull Distribution – A Handbook |Verlag=CRC Press |Ort= Boca Raton |Datum=2008 |ISBN=978-1-4200-8744-4 |DOI=10.1201/9781420087444}}
* {{Literatur |Autor=Horst Rinne |Titel=Zur Genesis der Weibull-Verteilung |Hrsg=Horst Rinne, [[Bernhard Rüger]], [[Heinrich Strecker (Mathematiker)|Heinrich Strecker]] |Sammelwerk=Grundlagen der Statistik und ihre Anwendungen – Festschrift für Kurt Weichselberger |Verlag= Physica-Verlag |Ort=Heidelberg |Datum=1995 |ISBN=3-7908-0872-5|Seiten=76-86}}
* Horst Rinne, Hans-Joachim Mittag: ''Statistische Methoden der Qualitätssicherung.'' Hanser, München/Wien 2002, ISBN 3-446-15503-1.
* Holger Wilker: ''Weibull-Statistik in der Praxis, Leitfaden zur Zuverlässigkeitsermittlung technischer Produkte.'' BoD, Norderstedt 2010, ISBN 978-3-8391-6241-5.
* {{Literatur| Autor=C. K. Lin, C. C. Berndt| Titel=Measurement and analysis of adhesion strength for thermally sprayed coatings| Sammelwerk=Journal of Thermal Spray Technology| Band=3| Nummer=1| Datum=1994| Sprache=en| Seiten=75–104| DOI=10.1007/BF02649003}}

== Weblinks ==

{{Commonscat|Weibull distribution|Weibull-Verteilung}}
* [https://www.youtube.com/watch?v=4HI8XG-C6QE Grundlagen der Weibull-Verteilung] [Youtube]
* [https://www.weibull.de/WeibullHTML.htm Weibull-Verteilung] in der Zuverlässigkeitsanalyse
* [https://www.keramverband.de/brevier_dt/5/3/3/5_3_3_4.htm Weibull-Verteilung] und deren Anwendung bei Keramiken

== Quellen ==

<references />

{{Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}
{{Normdaten|TYP=s|GND=4065029-7}}

[[Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

Weibull-Verteilung - Versionsgeschichte

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