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2022-02-23T14:50:55Z

Erblicher Ring

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In der Mathematik liefern '''Wegealgebren''' eine Möglichkeit, [[Köcher (Mathematik)|Darstellungen von Köchern]] als [[Modul (Mathematik)|Moduln]] aufzufassen und somit Ergebnisse, die für Moduln bekannt sind, auch auf Darstellungen von Köchern zu übertragen. Damit folgt zum Beispiel, dass jede endlich-dimensionale Darstellung eines endlichen Köchers ohne orientierte Kreise isomorph ist zu einer direkten Summe von [[Unzerlegbarkeit|unzerlegbaren]] Darstellungen (durch einfache Anwendung des [[Satz von Krull-Remak-Schmidt|Satzes von Krull-Remak-Schmidt]]).

Ein ''Weg'' (oder ''Pfad'') in einem Köcher (=gerichteten Graphen) <math>Q</math> ist eine Folge <math>a_1 a_2 a_3 \ldots a_n</math> von Pfeilen <math>a_i</math>, so dass die Spitze des <math>(i+1)</math>-ten Pfeils den Anfang des <math>i</math>-ten Pfeils bildet, wobei Wege von rechts nach links hintereinandergehängt werden.

Die ''Wegealgebra'' (oder ''Pfadalgebra'') <math>KQ</math> zu <math>Q</math> ist eine [[Algebra über einem Körper]] <math>K</math> und wie folgt definiert: Als Vektorraum ist sie der <math>K</math>-Vektorraum, der als Basis alle Wege in <math>Q</math> hat, wobei die Multiplikation zweier Wege als Hintereinanderschaltung der Wege gegeben ist, falls man sie aneinanderhängen kann. Stimmt das Ende eines Weges <math>\beta</math> nicht mit dem Anfang des Weges <math>\alpha</math> überein, so setzt man das Produkt <math>\alpha\beta</math> gleich Null. (Man beachte, dass auch das „Stehenbleiben“ an einem Punkt <math>i</math> einen Weg definiert, den trivialen Weg zum Punkt <math>i</math>.)

So erhält man eine [[assoziative Algebra]] über dem Körper <math>K</math>. Die Algebra besitzt genau dann ein [[Einselement]], wenn der Köcher <math>Q</math> nur endlich viele Punkte hat, nämlich die Summe aller trivialen Wege zu allen Punkten. In diesem Fall kann man die <math>KQ</math>-Moduln auf natürliche Weise mit Darstellungen von Köchern identifizieren.

Hat der Köcher <math>Q</math> nur endlich viele Punkte und Pfeile und gibt es keine orientierten Kreise in ihm, so ist <math>KQ</math> eine endlich-[[Dimension (Mathematik)|dimensionale]] [[Erblicher Ring|erbliche]] [[Algebra (Struktur)|Algebra]] über <math>K</math>.

== Literatur ==

* M. Auslander, I. Reiten, S. Smalø: ''Representation theory of Artin algebras.'' Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 36. Cambridge University Press, Cambridge, 1997. xiv+425 pp. ISBN 0-521-41134-3; ISBN 0-521-59923-7

==Weblinks==
*[http://www.amsta.leeds.ac.uk/~pmtwc/quivlecs.pdf W. Crawley–Boevey, Lectures on Represantations of Quivers]

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Darstellungstheorie]]

[[en:Path algebra]]

Wegealgebra - Versionsgeschichte

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