imported>Bert Niehaus: /* Rektifizierbare Wege */ Euklische Norm statt Betrag

2024-08-28T07:49:02Z

Rektifizierbare Wege: Euklische Norm statt Betrag

Neue Seite

In der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] und der [[Analysis]] ist ein '''Weg''' oder eine '''parametrisierte Kurve''' eine stetige Abbildung eines reellen Intervalls in einen topologischen Raum. Das Bild eines Weges heißt ''[[Kurve (Mathematik)|Kurve]]'', ''Träger'', ''Spur'' oder ''Bogen''.

== Definition ==
[[Datei:EbeneKurve.png|mini|350px|rechts|Ein nicht-geschlossener Weg mit zwei Doppelpunkten]]
Sei <math>X</math> ein [[topologischer Raum]], <math>I = [a,b]</math> ein reelles [[Intervall (Mathematik)|Intervall]]. Ist <math>f\colon I \to X</math> eine [[Stetige Funktion|stetige]] [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], dann heißt <math>f</math> ein ''Weg'' in <math>X</math>. Die [[Bildmenge]] <math>f(I)</math> heißt ''Kurve'' in <math>X</math>.

Die Punkte <math>f(a)</math> und <math>f(b)</math> heißen ''Anfangspunkt'' und ''Endpunkt'' der Kurve.

Ein Weg <math>f</math> heißt ''geschlossener Weg,'' wenn <math>f(a)=f(b)</math> ist. Ein geschlossener Weg liefert eine stetige Abbildung vom [[Einheitskreis]] <math>S^1</math> (1-[[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]]) nach <math>X</math>. Einen geschlossenen Weg nennt man auch ''Schleife''.

Ein Weg <math>f</math> heißt ''einfacher Weg'' (oder auch doppelpunktfrei), wenn <math>f</math> auf <math>[a,b)</math> [[Injektivität|injektiv]] ist. Insbesondere ist also <math>f(a)=f(b)</math> zugelassen. Ein einfacher Weg heißt auch ''Jordan-Weg''.

Diese Definition umfasst das, was wir uns [[intuitiv]] unter einer „Kurve“ vorstellen: eine zusammenhängende geometrische Figur, die „wie eine Linie“ ist (eindimensional). Aber es gibt auch Kurven, die man rein intuitiv nicht als solche bezeichnen würde.

Man muss zwischen einem Weg und einer Kurve (dem Bild eines Wegs) unterscheiden. Zwei verschiedene Wege können dasselbe Bild haben. Oft sind wir jedoch nur an dem Bild interessiert und nennen dann den Weg eine ''[[Parameterdarstellung]]'' oder ''Parametrisierung'' der Kurve.

Wenn es zu einer Kurve eine Parametrisierung gibt, die ein [[Jordan-Kurve|Jordan-Weg]] ist, dann nennt man die Kurve eine ''[[Jordan-Kurve]]'', ebenso für ''geschlossene Kurve''.

== Beispiele ==

Der [[Funktionsgraph|Graph]] einer stetigen Funktion <math>h\colon [a,b] \to X</math> ist eine Jordan-Kurve in <math>\mathbb{R} \times X</math>. Eine Parametrisierung ist der Jordan-Weg <math>f\colon [a,b] \to \mathbb{R} \times X</math> mit <math> f(t)=(t,h(t))</math>.
Dabei wird auf <math>\mathbb{R} \times X</math> die [[Produkttopologie]] verwendet.

Der [[Einheitskreis]] ist eine geschlossene Jordan-Kurve.

== Rektifizierbare Wege ==

Ist <math>X</math> ein [[metrischer Raum]] mit Metrik <math>d</math>, dann können wir die ''[[Länge (Mathematik)|Länge]]'' <math>L</math> eines Wegs <math>f</math> in <math>X</math> definieren:
: <math>L(f) = \sup\left\{\sum\limits_{i=1}^n d (f(t_i),f(t_{i-1}))\, \Bigg|\, n \in \mathbb{N}, a \le t_0 < t_1 < \ldots < t_n \le b\right\}</math>.
Ein [[rektifizierbarer Weg]] ist ein Weg mit endlicher Länge.

Ist weiterhin <math>X=\mathbb{R}^n</math>, dann gilt:

Jeder [[stückweise stetig differenzierbar]]e Weg ist rektifizierbar, und seine Länge ist das [[Integralrechnung|Integral]] über die [[Norm (Mathematik)|Norm]] der [[Differentialrechnung|Ableitung]]:
: <math>L(f) = \int\limits_a^b \|f'(t)\|\, \mathrm{d}t</math> mit <math>\|f'(t)\|= \|(y_1,\ldots , y_n)\| = \sqrt{ \sum_{k=1}^n y_k^2}</math>.

Eine [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] <math>\mathcal C</math> ist die Bildmenge <math>f([a,b])</math> eines Wegs <math>f</math>, der Weg <math>f</math> ist dann eine Parameterdarstellung der Kurve <math>\mathcal C</math> mit <math>f(t) \in X = \mathbb{R}^n</math> . Für eine gegebene Kurve <math>\mathcal C</math> ist das Wegintegral und damit die Weglänge – wenn endlich – unabhängig von der Wahl der Parameterdarstellung <math>f</math>. Daher lässt sich definieren:

Eine stückweise glatte Kurve <math>\mathcal C</math> heißt rektifizierbar, wenn es für sie eine Parameterdarstellung <math>f</math> gibt, die ein rektifizierbarer Weg ist. Die Länge <math>L(\mathcal C)</math> einer Kurve <math>\mathcal C</math> ist die Weglänge <math>L(f)</math> ihrer Parameterdarstellung <math>f</math>.

Die [[Koch-Kurve]] und auch eine [[Trajektorie (Mathematik)|Trajektorie]] eines [[Wiener-Prozess]]es sind Beispiele für nicht rektifizierbare Kurven.

== Andere Wege ==

Ein [[fraktal]]er Weg ist ein Weg mit gebrochener Dimension. Da verschiedene Definitionen der [[Fraktale Dimension|gebrochenen Dimension]] existieren, gibt es also auch verschiedene Definitionen eines fraktalen Wegs. Typische Beispiele sind die [[Koch-Kurve]] und die [[Drachenkurve]].

== Siehe auch ==

* [[Weg (Physik)]]

== Literatur ==

* {{Literatur | Autor=Klaus Fritzsche | Titel=Grundkurs Analysis 1 | TitelErg=Differentiation und Integration in einer Veränderlichen | Auflage=2 | Verlag=Spektrum Akademischer Verlag (Springer-Verlag) | Ort=Heidelberg | Jahr=2008 | ISBN=978-3-8274-1878-4 | Seiten=257 ff.}}
* {{Literatur | Autor=Stefan Hildebrandt | Titel=Analysis 2 | Verlag=Springer-Verlag | Ort=Berlin/Heidelberg | Jahr=2003 | ISBN=978-3-540-43970-7 | Seiten=110 ff. | Online={{Google Buch | BuchID=PvJug0D6sngC}}}}

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Kurve (Geometrie)]]

[[fr:Lacet (mathématiques)]]

Weg (Mathematik) - Versionsgeschichte

imported>Bert Niehaus: /* Rektifizierbare Wege */ Euklische Norm statt Betrag