imported>KnightMove: /* Geschichte */ Vorname entschleiert

2025-07-30T20:15:12Z

Geschichte: Vorname entschleiert

Neue Seite

[[File:Paul_Dirac,_1933.jpg | thumb | 220x124px | right | Paul Dirac (1933)]]Das '''Wechselwirkungsbild''' (auch bezeichnet als '''Wechselwirkungsdarstellung''' bzw. nach [[Paul Dirac]] als '''Dirac-Bild''' oder '''Dirac-Darstellung''') ist in der [[Quantenmechanik]] ein Modell für den Umgang mit zeitabhängigen Problemen unter Berücksichtigung von [[fundamentale Wechselwirkung|Wechselwirkungen]].

Es ist dem [[Heisenberg-Bild|Heisenberg-]] und dem [[Schrödinger-Bild]] weitgehend äquivalent, d. h. alle physikalisch relevanten Größen ([[Skalarprodukt]]e, [[Eigenwert]]e usw.) bleiben die gleichen (siehe auch [[Mathematische Struktur der Quantenmechanik #Zeitliche Entwicklung|Mathematische Struktur der Quantenmechanik]]).

Zur Kennzeichnung, dass man das Wechselwirkungsbild verwendet, werden [[Zustand (Quantenmechanik)|Zustände]] und [[Operator (Mathematik)|Operatoren]] gelegentlich mit dem Index „I“ (wie engl. ''interaction'') oder „D“ (wie ''Dirac-Bild'') versehen: <math>|\psi_{\rm D}(t)\rangle</math> bzw. <math>\hat A_{\rm D}(t) \, .</math>

== Geschichte ==
Das Wechselwirkungsbild wurde 1926 von Paul Dirac in die Quantenmechanik eingeführt.<ref>Dirac ''On the theory of quantum mechanics'', Proc. Roy. Soc. A 112, 1926, 661; er verwendete es auch in Dirac ''The quantum theory of the emission and absorption of radiation'', Proc. Roy. Soc. A 114, 1927, 243. Historische Angaben nach der Darstellung in Charles Enz ''Not time to be brief. A scientific biography of Wolfgang Pauli'', Oxford University Press 2002, S. 176</ref> In Zusammenhang mit [[Quantenelektrodynamik]] wurde das Wechselwirkungsbild auch von [[Shin’ichirō Tomonaga]]<ref>Tomonaga ''On a relativistically invariant formulation of the quantum theory of wave fields'', Progress of Theoretical Physics, 1, 1946, 27</ref>, Dirac<ref>Dirac, [[Wladimir Fock]], [[Boris Podolsky]] ''On Quantum Electrodynamics'', Phys. Z. Sowjetunion, 2, 1932, 468</ref> und (in einer unveröffentlichten Arbeit als Student am [[City College of New York]]) von [[Julian Schwinger]] (1934) eingeführt.<ref>Mehra, Milton ''Climbing the Mountain. The Scientific Biography of Julian Schwinger'', Oxford University Press 2000, S. 14. Er verwendete sie später in seinen ersten veröffentlichten Arbeiten über [[Quantenfeldtheorie]] (angefangen mit Schwinger ''Quantum Electrodynamics I'', Physical Review, 74, 1948, 1439)</ref> Die Behandlung der [[relativistisch]]en [[Quantenfeldtheorie]] im Wechselwirkungsbild mit [[Zweite Quantisierung|Zweiter Quantisierung]] fand danach Eingang in die Standardlehrbücher.

== Annahmen ==
Im Wechselwirkungsbild gelten folgende Annahmen:
* Der [[Hamilton-Operator]] des Systems ist gegeben durch <math>\hat H = \hat H_0 + \hat H_1</math>, wobei
** <math>\hat H_0 = \operatorname{const}</math> der zeitunabhängige Hamilton-Operator des ungestörten Systems ist
** <math>\hat H_1</math> die durch die Wechselwirkung verursachte [[Störungstheorie|Störung]] beschreibt, die zeitabhängig sein kann.
:Es kann nützlich sein, eine solche formale Aufspaltung des Hamiltonoperators auch dann herbeizuführen, wenn keine Wechselwirkung vorliegt.
* [[Quantenmechanischer Zustand|Zustände]] sind zeitabhängig: <math>|\psi\rangle = |\psi(t)\rangle</math>, ihre [[Dynamik (Physik)|Dynamik]] wird beschrieben durch die angepasste [[Schrödinger-Gleichung]].
* [[Operator (Mathematik)|Operatoren]] sind ebenfalls zeitabhängig: <math>\hat A = \hat A(t)</math>, ihre Dynamik ist gegeben durch die angepasste [[Heisenbergsche Bewegungsgleichung]].
* Nur bestimmte Rechnungen sind im Dirac-Bild einfacher durchzuführen. Als bestes Beispiel dient hier die Herleitung der zeitabhängigen [[Störungstheorie (Quantenmechanik)|Störungstheorie]].

== Beschreibung ==
Der Grundgedanke des Wechselwirkungsbildes besteht darin, die zeitliche Entwicklung des Systems, die von <math>\hat H_0</math> verursacht wird, in die zeitliche Abhängigkeit der Operatoren zu stecken, während die von <math>\hat H_1</math> verursachte Zeitabhängigkeit in die Entwicklung des Zustandes eingeht.

Dazu werden zwei [[Zeitentwicklungsoperator]]en definiert:
* der „normale“, mit dem – wie in Zeitentwicklungsoperator erklärt – <math>\hat H</math> definiert wird:

::<math>\hat U(t,t_0) = \hat T \left[ \exp \left( -\frac{\mathrm i}{\hbar}\int_{t_0}^t \hat H(t^\prime)\mathrm dt^\prime\right) \right]</math>

:mit dem [[Zeitordnungsoperator]] <math>\hat T</math>
* der nur von <math> \hat H_0</math> erzeugte Zeitentwicklungsoperator:

::<math>\hat U_0(t,t_0) = \exp \left( -\frac{\mathrm i}{\hbar}\hat H_0(t-t_0) \right).</math>

Der [[Erwartungswert]] ''a'' des Operators <math>\hat A</math> muss in allen drei Bildern (Heisenberg-Bild: Index <math>_H</math>, Schrödinger-Bild: Index <math>_S</math>, Dirac) gleich sein:

:<math>a = \langle \psi _{\text{S}}(t)|\hat{A}_{\text{S}}(t)|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{S}}(t)|\underbrace{\hat{U}_{0}(t,t_{0})\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})}_{1}\,\hat{A}_{\text{S}}(t)\,\underbrace{\hat{U}_{0}(t,t_{0})\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})}_{1}\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle </math>

:<math>a = \langle \underbrace{\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\psi _{\text{S}}(t)}_{\psi _{\text{D}}(t)}|\underbrace{\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\,\hat{A}_{\text{S}}(t)\,\hat{U}_{0}(t,t_{0})}_{\hat{A}_{\text{D}}(t)}\,|\underbrace{\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\psi _{\text{S}}(t)}_{\psi _{\text{D}}(t)}\rangle =\langle \psi _{\text{D}}(t)|\hat{A}_{\text{D}}(t)|\psi _{\text{D}}(t)\rangle </math>

Der zeitabhängige Operator <math>\hat A_{\rm D}(t)</math> ist wie im Heisenberg-Bild gegeben durch:

:<math>\begin{align}
\hat A_{\rm D}(t) & = \hat U_0^{\dagger}(t,t_0) \, \hat A_{\rm S}(t) \, \hat U_0(t,t_0)\\
& = {\rm e}^{\frac{\mathrm i}{\hbar}\hat H_0(t-t_0)} \, \hat A_{\rm S}(t) \, {\rm e}^{-\frac{\mathrm i}{\hbar}\hat H_0(t - t_0)}
\end{align}</math>

Der zeitabhängige Zustand <math>|\psi_{\rm D}(t)\rangle</math> kann nur indirekt – über die Reduktion des (im Schrödinger-Bild) vollständig die Dynamik beschreibenden Zustandes <math>|\psi_{\rm S}(t)\rangle</math> um den von <math>\hat H_0</math> verursachten Anteil seiner Zeitentwicklung – definiert werden:

:<math>|\psi_{\rm D}(t)\rangle=\hat U_0^{\dagger}(t,t_0)\,|\psi_{\rm S}(t)\rangle={\rm e}^{\frac{\mathrm i}{\hbar}\hat H_0(t-t_0)}\,|\psi_{\rm S}(t)\rangle</math>

Damit lässt sich der Operator <math>\hat H_{1 \rm D}(t)</math> definieren:

:<math>\hat H_{1 \rm D}(t)=\hat U_0^{\dagger}(t,t_0)\,\hat H_{1 \rm S}(t)\,\hat U_0(t,t_0) ={\rm e}^{\frac{\mathrm i}{\hbar}\hat H_0(t-t_0)}\,\hat H_{1 \rm S}(t)\,{\rm e}^{-\frac{\mathrm i}{\hbar}\hat H_0(t-t_0)} </math>

Der zeitlich unabhängige Anteil des Hamiltonoperators <math>\hat H_0</math> ist im Wechselwirkungsbild identisch mit dem im Schrödinger-Bild:

:<math>\hat H_{0 \rm D}(t) = \hat H_{0 \rm S}</math>

Die Dynamik der Zustände wird (ähnlich dem Schrödinger-Bild) beschrieben durch die Gleichung:

:<math>\mathrm i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi_{\rm D}(t)\rangle=\hat H_{1 \rm D}(t)\,|\psi_{\rm D}(t)\rangle </math>

Die Dynamik der Operatoren wird (wie im Heisenberg-Bild) beschrieben durch die Heisenbergsche Bewegungsgleichung, mit dem '''nicht zeitabhängigen''' Hamilton-Operator <math>\hat H_0</math>, der das ungestörte System beschreibt:

:<math>\mathrm i\hbar\frac{{\rm d} \hat A_{\rm D}}{{\rm d}t}=\left[\hat A_{\rm D}(t),\hat H_0\right] +\mathrm i\hbar\frac{\partial \hat A_{\rm D}}{\partial t} </math>

Mit <math>\hat H_{1 \rm S} = \hat H_{1 \rm D} = 0</math> geht das Dirac-Bild in das Heisenberg-Bild über.

Zum Zeitpunkt <math>t_0</math> stimmen alle drei Bilder überein:
:<math>\hat{A}_{\text{D}}(t_{0})=\hat{A}_{\text{H}}(t_{0})=\hat{A}_{\text{S}}(t_{0})</math>
:<math>|\psi _{\text{D}}(t_{0})\rangle =|\psi _{\text{H}}(t_{0})\rangle =|\psi _{\text{S}}(t_{0})\rangle </math>

== Herleitung der Bewegungsgleichungen ==
Zur Vorbereitung werden die zeitlichen Ableitungen von <math>\hat U_0</math> und <math>\hat U_0^{\dagger}</math> ermittelt:
:<math>\begin{align}
&\frac{\partial }{\partial t}\hat{U}_{0}(t,t_{0})=\frac{\partial }{\partial t}\operatorname{e}^{-\frac{\mathrm i}{\hbar }\hat{H}_{0}(t-t_{0})}=\operatorname{e}^{-\frac{\mathrm i}{\hbar }\hat{H}_{0}(t-t_{0})}\left( -\frac{\mathrm i}{\hbar }\hat{H}_{0} \right)=-\frac{\mathrm i}{\hbar }\hat{U}_{0}(t,t_{0})\,\hat{H}_{0}=-\frac{\mathrm i}{\hbar }\hat{H}_{0}\,\hat{U}_{0}(t,t_{0})\\
&\frac{\partial }{\partial t}\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})=\frac{\partial }{\partial t}\operatorname{e}^{\frac{\mathrm i}{\hbar }\hat{H}_{0}(t-t_{0})}=\operatorname{e}^{\frac{\mathrm i}{\hbar }\hat{H}_{0}(t-t_{0})}\left( \frac{\mathrm i}{\hbar }\hat{H}_{0} \right)=\frac{\mathrm i}{\hbar }\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\,\hat{H}_{0}=\frac{\mathrm i}{\hbar }\hat{H}_{0}\,\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})
\end{align}</math>

[[Bewegungsgleichung]] für die Zustände:
:<math>\begin{align}
\mathrm i\hbar \frac{\partial }{\partial t}|\psi _{\text{D}}(t)\rangle &=\mathrm i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\underbrace{\left( \mathrm i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0}) \right)}_{\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})(-\hat{H}_{0})}\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle +\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\underbrace{\left(\mathrm i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle \right)}_{(\hat{H}_{0}+\hat{H}_{1 \rm S})|\psi _{\text{S}}(t)\rangle } \\
&=\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\hat{H}_{1\text{S}}(t)\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\underbrace{\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\hat{H}_{1\text{S}}(t)\hat{U}_{0}(t,t_{0})}_{\hat{H}_{1 \rm D}(t)}\underbrace{\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle }_{|\psi _{\text{D}}(t)\rangle }=\hat{H}_{1D}(t)|\psi _{\text{D}}(t)\rangle
\end{align}</math>

Bewegungsgleichung für die Operatoren:
:<math>\begin{align}\mathrm i\hbar \frac{\text{d}\hat{A}_{\text{D}}}{\text{d}t}&=\mathrm i\hbar \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left( \hat{U}_{0}^{\dagger }\,\hat{A}_{\text{S}}\,\hat{U}_{0} \right)=\underbrace{\left( \mathrm i\hbar \frac{\text{d}}{\text{d}t}\hat{U}_{0}^{\dagger }\, \right)}_{-\hat{H}_{0}\hat{U}_{0}^{\dagger }}\hat{A}_{\text{S}}\,\hat{U}_{0}+\hat{U}_{0}^{\dagger }\,\hat{A}_{\text{S}}\underbrace{\left( \mathrm i\hbar \frac{\text{d}}{\text{d}t}\,\hat{U}_{0} \right)}_{\hat{U}_{0}\hat{H}_{0}}+\mathrm i\hbar \underbrace{\hat{U}_{0}^{\dagger }\left( \frac{\partial }{\partial t}\hat{A}_{\text{S}} \right)\,\hat{U}_{0}}_{\frac{\partial \hat{A}_{\text{D}}}{\partial t}} \\
&=-\hat{H}_{0}\underbrace{\hat{U}_{0}^{\dagger }\,\hat{A}_{\text{S}}\,\hat{U}_{0}}_{\hat{A}_{\text{D}}}+\underbrace{\hat{U}_{0}^{\dagger }\,\hat{A}_{\text{S}}\,\hat{U}_{0}}_{\hat{A}_{\text{D}}}\hat{H}_{0}+\mathrm i\hbar \frac{\partial \hat{A}_{\text{D}}}{\partial t}=\left[ \hat{A}_{\text{D}},\hat{H}_{0} \right]+\mathrm i\hbar \frac{\partial \hat{A}_{\text{D}}}{\partial t}
\end{align}</math>

== Literatur ==
* Nolting: ''Grundkurs theoretische Physik. Bd.5/1 : Quantenmechanik''. Springer, Berlin
* Cohen-Tannoudji: ''Quantenmechanik 1/2''. de Gruyter, Berlin

== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Quantenmechanik]]

Wechselwirkungsbild - Versionsgeschichte

imported>KnightMove: /* Geschichte */ Vorname entschleiert