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2025-07-29T18:07:45Z

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Das '''Weber-Fechner-Gesetz''' ist die Formulierung einer [[Psychophysik|psychophysischen]] Beziehung in der [[Sinnesphysiologie]] und besagt, dass ein linearer Zuwachs der (psychisch) ''subjektiv'' empfundenen Stärke von [[Sinn (Wahrnehmung)|Sinneseindrücken]] dem [[Logarithmus]] des Zuwachses der (physikalisch) ''objektiv'' messbaren Intensität des [[Reiz]]es entspricht.<ref name="Schmidt-Thews">H. Handwerker: ''Allgemeine Sinnesphysiologie.'' In: R. Schmidt, G. Thews, F. Lang (Hrsg.): ''Physiologie des Menschen.'' 28. Auflage, 2013, S. 210 {{Google Buch |BuchID=l5r3BQAAQBAJ |Seite=210}}.</ref>

Hiermit wird die ''Webersche Beziehung'' – dass der für einen gerade noch wahrnehmbaren Unterschied der Intensität von Reizen hinreichende Differenzbetrag in einem konstanten Verhältnis zur Reizstärke steht – auf die ''Fechnersche Beziehung'' erweitert durch die theoretische Annahme, dass aufgrund der gleichen relativen [[Differentielle Wahrnehmbarkeitsschwelle|Unterschiedsschwellen]] eine Skala der Empfindungsstärke in Bezug auf die [[Absolutschwelle]] zu definieren sei. Dies ist für verschiedene [[Sinnesmodalität]]en im Bereich mittlerer Reizintensitäten anwendbar. Doch gilt das ''Weber-Fechner-Gesetz'' weder für sehr niedrige Reizstärken nahe der [[Reizschwelle]] noch für sehr hohe Reizstärken nahe oder über der [[Sättigung (Physik)|Sättigungs]]<nowiki/>schwelle.

== Webersches Gesetz ==
Der deutsche [[Anatomie|Anatom]] und [[Physiologe]] [[Ernst Heinrich Weber]] (1795–1878) untersuchte unter anderem die Beziehung zwischen Sinnesempfindungen und den sie hervorrufenden Reizen unterschiedlicher physikalischer Qualität und Quantität durch verschiedene Versuche (wie den [[Weber-Versuch]]). Er ging auch der Frage nach, um wie viel ein Reiz verstärkt werden muss, um als stärker empfunden zu werden. Weber stellte fest, dass der hierfür mindestens nötige Differenzbetrag – auch [[Differenzlimen]] (''DL'') genannt – bei geringen Reizintensitäten deutlich niedriger liegt als bei hohen. 1834 bemerkte er, dass bei Reizen gleicher Art diese Unterschiedsschwellen sich nahezu gleichen, wenn man sie als Anteil im Verhältnis zur jeweiligen Intensität der Reize angibt. [[Gustav Theodor Fechner|Fechner]] formulierte diese Beziehung in folgender Weise mathematisch:

:(1a)  <math>k = \frac{\Delta R}{R}</math>     '''Weber-Gesetz.'''

Der gerade eben noch wahrnehmbare Unterschied ''ΔR'' steht zum Vergleichsreiz ''R'' in einem bestimmten, gleich bleibenden Verhältnis ''k''.

Umformuliert heißt dies, dass die Unterschiedsschwelle ''ΔR'' in [[Proportionalität|proportionaler]] Beziehung zur Reizintensität steht: ''ΔR'' = ''k'' · ''R''. Im Bereich mittlerer Reizstärken ist diese Gesetzmäßigkeit näherungsweise gültig für verschiedene Sinnesmodalitäten und -[[Sinnesqualität|qualitäten]].

Der '''Weber-Quotient''' ''ΔR/R'' stellt hierbei als dimensionslose Verhältnisangabe den Proportionalitätsfaktor ''k'' dar; dieser ist bei verschiedenartigen Reizen oder unterschiedlichen [[Sinnesorgan]]en nicht gleich.

Beispiele:
* Ein relativer [[Gewichtskraft|Gewichtsunterschied]] von ungefähr 2 % eines in der ruhenden [[Hand]] gehaltenen Gegenstands wird erkannt. So nimmt man die Gewichtszunahme eines Gegenstands von 50 g erst wahr, wenn das Gewicht um 1 Gramm auf 51 g angewachsen ist. Entsprechend muss 500 g Gewicht um 10 g anwachsen, um schwerer zu wirken. Hier verhält sich die Unterschiedsschwelle zur Reizintensität also wie ''ΔR/R'' = 1/50 = 10/500 = 0,02 = 2 %.
* Beim [[Tastsinn]] beträgt die erforderliche Unterschiedschwelle ''ΔR'' nach Webers Versuchen etwa 3 % des als [[Druck (Physik)|Druck]] auf die Haut ausgeübten Reizes ''R'': ''ΔR/R'' ≈ 0,03.
* Beim [[Helligkeit]]s<nowiki/>sehen ist der Quotient ''ΔR/R'' mit etwa 0,01–0,02 bei mittleren Umgebungshelligkeiten am niedrigsten, die Unterschiedsschwelle beträgt dann 1 bis 2 % der [[Lichtstärke (Photometrie)|Lichtstärke]]; bei abnehmender Helligkeit wächst der Quotient auf über 0,1 in der Dämmerung, bei sehr lichtschwachen Reizen nahe der [[Absolutschwelle]] liegt er noch höher.
* Beim [[Geschmackssinn|Geschmack]] muss die [[Konzentration (Chemie)|Konzentration]] um 10 bis 20 % steigen, um als stärker empfunden zu werden.

== Weber-Fechner-Gesetz ==
Der Physiker, Psychologe und Philosoph [[Gustav Theodor Fechner]] (1801–1887) gilt als Begründer der [[Psychophysik]]. Er erweiterte das Webersche Gesetz 1860 formal durch [[Integralrechnung|Integration]] unter der Annahme, dass ''k'' konstant und unabhängig von ''R'' ist:

:(1b)  <math>\Delta E = c \cdot \frac{\Delta R}{R}</math>     '''Fechnersches Gesetz'''

:(2)  <math>E = c \cdot \log\frac{R}{R_0}</math>     '''Weber-Fechnersches Gesetz'''<ref>{{Literatur|Autor=Rainer Klinke, Stefan Silbernagl|Titel=Physiologie|Herausgeber=Hans-Christian Pape, Armin Kurtz, Stefan Silbernagl|Sammelwerk=|Band=|Nummer=|Auflage=7|Verlag=Thieme|Ort=Stuttgart|Jahr=2014|Seiten=942|ISBN=9783137960072}}</ref>

Hierbei ist ''c'' eine für die jeweilige Reizart charakteristische Konstante; ''R0'' ist eine [[Integrationskonstante]], die zumeist die Intensität an der [[Reizschwelle]] als ''Schwellenreiz'' festlegt. Die Formel (2) besagt, dass bei einem [[exponentiell]]en Anstieg der Reizintensität nur ein linearer Zuwachs der Empfindungsstärke ''E'' zu erwarten ist.

Beim [[Sehsinn]] sind Helligkeitsempfindungen in einem weiten Bereich der Reizintensität möglich, doch ist dafür die Anpassung des [[Auge]]s an die jeweiligen Lichtverhältnisse erforderlich. Für den Übergang von einer taghellen Umgebung zur Dunkelheit mondloser Nacht beträgt die [[Adaptation (Auge)|Adaptationszeit]] rund eine halbe Stunde. Hinsichtlich der physikalischen [[Leuchtdichte]] unterscheidet sich die Absolutschwelle als eben noch wahrnehmbare geringste Reizintensität (≈ 10−6 cd/m²) um mehr als zehn Zehnerpotenzen von der Sättigungsschwelle (≈ 106 cd/m²), ab der die Empfindungsstärke durch zunehmende Reizintensität kaum mehr steigerbar ist.

Die [[scheinbare Helligkeit]] eines [[freiäugig]] gerade noch sichtbaren [[Stern]]s 6. Größe (6 mag) ist [[billion]]enfach schwächer als die der [[Sonne]] (rund −27 mag). Zwischen der – in der Antike nach wahrgenommener Helligkeit vorgenommenen – Einstufung von Sternen in Größenklassen und ihrer objektiv gemessenen Leuchtstärke ''L'' besteht eine logarithmische Beziehung, dem Weber-Fechner-Gesetz angelehnt: ''m'' = -5/2 · log10 (''L'' / ''L''0). Die [[Magnitude (Astronomie)|Magnitude]] ist eine Größenangabe mittels einer Skala, bei der jedem Schritt von einer Stufe zur nächsten (1 mag) je ein Leuchtstärkenunterschied um den Faktor 102/5 (≈ 2,51) entspricht – bei Schritten von 5 mag um 102 (= 100). Zur Abschätzung feiner Helligkeitsunterschiede zweier Sterne bedienen sich [[Astronom]]en in der visuellen [[Fotometrie]] besonderer Verfahren ([[Argelandersche Stufenschätzungsmethode]]).

Beim [[Gehörsinn]] hängt die wahrgenommene [[Tonhöhe]] eines [[Ton (Musik)|musikalischen Tons]] logarithmisch von der Grund[[frequenz]] ab: eine Verdoppelung der Grundfrequenz bewirkt die Änderung der Tonhöhe um genau eine [[Oktave]], bei einer Vervierfachung sind es zwei Oktaven.

Beim [[Temperatursinn]] dagegen sprechen die [[Thermorezeptor]]en annähernd [[Linearität (Physik)|linear]] auf Veränderungen der Reizgröße an. Für die [[Schmerzwahrnehmung]] lassen sich psychophysische Beziehungen nicht allgemein gültig formulieren; abhängig vom [[Schmerzgedächtnis]] kann ein gleich starker Reiz intraindividuell verschieden stark empfunden werden.

== Stevenssche Potenzfunktion ==
{{Hauptartikel|Stevenssche Potenzfunktion}}
Der [[Experimentelle Psychologie|experimentelle Psychologe]] [[Stanley Smith Stevens]] (1906–1973) stellte 1957 fest, dass die Erweiterung des Weberschen Gesetzes (1) zur Beziehung (2) zu allgemein sei. Berücksichtigt man die Abhängigkeit der Reaktionsstärke ''E'' von der Größe des Reizes, so folgt aus (1):

:(3)  <math>\frac{\Delta E}{E} = k \cdot \frac{\Delta R}{R}</math>

Die Integration dieser Beziehung führt zur Stevensschen Potenzfunktion:

:(4)  <math>E = c \cdot R^k</math>

Die Konstante ''c'' entsteht aus den beiden Integrationskonstanten. Für ''k'' < 1 ähnelt sie dem logarithmischen Weber-Fechner-Gesetz. Für das Helligkeitsempfinden ist ''k'' ≈ 0,33.

Die wahrgenommene Lautstärke, die [[Lautheit]], folgt für mittlere und hohe [[Schalldruck|Schalldrücke]] nicht dem Weber-Fechner-Gesetz, sondern dem [[Stevenssche Potenzfunktion|Stevensschen Potenzgesetz]] mit ''k'' ≈ 0,6: eine Erhöhung des Schalldrucks um den Faktor <math>\textstyle\sqrt{10}</math> (10 [[Dezibel|dB]]) bewirkt eine Verdopplung der Lautheit.

== Mikroökonomie ==
In der [[Mikroökonomie]] findet sich das Phänomen wieder als '''Fühlbarkeitsschwelle'''.<ref>Böventer, Illing: ''Einführung in die Mikroökonomie.'' Oldenbourg Wissenschaftsverlag, ISBN 3-486-24248-2, S. 64f.</ref> Von Interesse ist es bei der Untersuchung von [[Indifferenzkurve]]n auf [[Stetige Funktion|Stetigkeit]] und Transitivität. Die mikroökonomische Theorie geht davon aus, dass Indifferenzkurven stetig, fallend und [[Konvexe und konkave Funktionen|konvex gekrümmt]] sind.

Das praktische Problem, dass ein Mensch marginale Unterschiede in Farbe oder Temperatur etc. nicht wahrnehmen kann, führt dazu, dass man die [[Transitivitätsannahme]] etwas lockerer formulieren muss.

== Siehe auch ==
* [[Gammakorrektur]]

== Literatur ==
* [[Stanislas Dehaene|Dehaene, Stanislas]]: ''The neural basis of the Weber–Fechner law: a logarithmic mental number line.'' Trends in cognitive sciences 7.4 (2003): 145–147.

== Weblinks ==
* {{Webarchiv | url=http://rst.et.htwk-leipzig.de/kontakte/Fechner/projekte/pwoche/natur/webfech/wfg2.html | wayback=20071014164734 | text=Fechner-Projekt der Gustav-Theodor-Fechner-Schule, Leipzig}}
* Konrad Hoppe: ''[http://www.ewald-gerth.de/Weber-Fechner.pdf Das Weber-Fechner’sche Gesetz unter besonderer Berücksichtigung der Süßintensität.]''
* Konrad Hoppe (posthum veröffentlichter Artikel): [http://www.elmer-herzig.de/wp-content/uploads/2012/03/Hoppe-posthum1.pdf ''Das Weber-Fechner’sche Gesetz unter besonderer Berücksichtigung des Weber’schen Gesetzes''] (PDF; 4,0 MB)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Psychoakustik]]
[[Kategorie:Wahrnehmung]]

Weber-Fechner-Gesetz - Versionsgeschichte

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