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2017-03-27T21:46:27Z

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Ein '''Wasserpendel''', auch bekannt als schwingende Wassersäule, ist im Allgemeinen ein [[U-Rohr]], in dem eine dazu vorher ausgelenkte Wassersäule schwingt. In der Physik kann man den Änderungsverlauf der Wassersäulenhöhe als [[harmonische Schwingung]] [[Idealisierung (Physik)|idealisieren]].

[[Datei:wasserpendel.png|mini|U-Rohr mit ausgelenkter Wassersäule]]
Die [[Rückstellkraft|rücktreibende Kraft]] eines Wasserpendels ist die [[Gewichtskraft]]

:<math>F(t) = -m \cdot g</math>

der überstehenden Wassersäule.
Dabei gilt:
{| style="margin-left:2em"
|<math> y </math>
|[[Auslenkung]], also die halbe Höhe der überstehenden Wassersäule
|-
|<math> m = 2yA\rho </math>
|[[Masse (Physik)|Masse]] der überstehenden Wassersäule
|-
|<math> m_\mathrm{ges} = A \rho l </math>
|Masse der gesamten Wassersäule mit Länge <math>l</math>
|-
|<math> A=\pi r^2</math>
|[[Querschnittsfläche]] der Wassersäule
|-
|<math> \rho </math>
|[[Dichte]] der Flüssigkeit
|-
|<math> g </math>
|[[Schwerebeschleunigung]]
|}

[[Datei:sin gnuplot.png|mini|Verlauf der Auslenkung auf die Amplitude ''y''<sub>0</sub> normiert, Anfangsphase ''φ'' = 0 und ''x'' = ''ωt'']]
Da die Wassersäule schwingt, verändert sich die Höhe der überstehenden Wassersäule in Abhängigkeit von der Zeit.
Dadurch verändert sich auch deren Masse und Gewichtskraft.
Zum Zeitpunkt <math>t</math> gilt dann:

:<math>F(t) = -2 y(t) A \cdot \rho \cdot g</math>.

Mit dem 2. [[Newtonsche Axiome|Newtonschen Gesetz]], <math>F(t) = m_\mathrm{ges} \cdot \ddot y(t) </math>, erhält man die [[Differentialgleichung]]

:<math> -2y(t) A \rho g = m_\mathrm{ges} \cdot \ddot y(t) </math>

bzw.
:<math> \ddot y(t) + \frac{2 A \rho g}{m_\mathrm{ges}} \cdot y(t) = 0</math>.

Die Lösung der Differentialgleichung ist eine [[harmonische Schwingung]], die z. B. durch

:<math>y(t) = y_0 \sin(\omega t + \varphi)</math>

gelöst wird. Dabei entspricht <math>y_0</math> der [[Amplitude]], <math>\omega = 2\pi f</math> der [[Kreisfrequenz]] und <math>\varphi</math> die [[Phase (Schwingung)|Phase]] der Schwingung.
Der Einfachheit halber wird mit einer Phasenverschiebung von <math>\varphi = 0</math> gerechnet,
da der Anfangszeitpunkt der Schwingung frei gewählt werden kann.

Durch zweimaliges Ableiten und Einsetzen in die obige Gleichung ergibt sich:

:<math>-\omega^2 y_0 \sin(\omega t) + \frac{2 A \rho g}{m_\mathrm{ges}} \cdot y_0 \sin(\omega t) = 0</math> , woraus folgt, dass

:<math>\omega ^2 = \frac{2 A \rho g}{m_\mathrm{ges}}</math>.

Dieses Ergebnis kann weiter vereinfacht werden, da <math> m_\mathrm{ges} = A \rho l</math>. Es folgt:

:<math>\omega^2 = \frac{2g}{l}</math> und somit ergibt sich die Kreisfrequenz zu <math>\omega = \sqrt{\frac{2g}{l}}</math>.

Für die Periodendauer der Schwingung gilt:

:<math>T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{ \sqrt{ \frac{2g}{l} } } = 2\pi \sqrt{ \frac{l}{2g} } </math>,

die Schwingungsdauer hängt also nur von der Länge der Wassersäule und der Gravitation ab.

Bei einer genaueren Behandlung sind die [[Reibungskräfte|Reibung]] ([[Strömungswiderstand]]) mit der Wand des Rohres und die innere Reibung der Flüssigkeit zu betrachten, die beide die Schwingung [[Dämpfung|dämpfen]].

== Siehe auch ==
* [[harmonischer Oszillator]]
* [[Pendel]]
* [[Schlingertank]]

== Weblinks ==
* Patrick Nordmann: [http://www.schulphysikwiki.de/index.php/Animation:_Schwingung_einer_Fl%C3%BCssigkeit_in_einem_U-Rohr Animation des Wasserpendels]

[[Kategorie:Pendel]]
[[Kategorie:Physikalisches Demonstrationsexperiment]]

Wasserpendel - Versionsgeschichte

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