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2024-10-23T17:25:46Z

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Die '''Washburn-Gleichung''' (nach [[Edward W. Washburn]], der sie 1921 herleitete)<ref name="Washburn" /> beschreibt in der [[Physik]] die [[Kapillareffekt|kapillare Strömung]] in [[Porosität|porösen]] Materialien vereinfacht als:

:<math>L = \sqrt{\frac{\gamma \cdot D \cdot t \cdot \cos \phi}{4 \cdot \eta}}</math>

mit
* der [[Eindringtiefe #Werkstoffe|Eindringtiefe]] <math>L</math>, in die eine [[Flüssigkeit]]
* der [[Viskosität]] <math>\eta</math> und
* der [[Oberflächenspannung]] <math>\gamma</math> eindringt
* innerhalb der [[Zeit]] <math>t</math>
in ein vollständig [[Benetzbarkeit|benetzbares]] Material
* mit dem durchschnittlichen [[Pore]]n<nowiki/>durchmesser <math>D</math> und
* dem [[Kontaktwinkel]] <math>\phi</math> zwischen Flüssigkeit und Material.

Popularität erlangte diese Gleichung in England durch den Physiker [[Len Fisher]] der [[Universität Bristol]]. Er demonstrierte die Anwendung der Gleichung anhand eines Kekstauchexperiments, um die Wissenschaft der Physik durch die Beschreibung alltäglicher Probleme zugänglicher zu machen.

== Herleitung ==
Das [[Gesetz von Hagen-Poiseuille]]
:<math>\frac{dV}{dt} = \frac{\pi \cdot r^4}{8 \cdot \eta}\frac{\Delta p}{l}</math>
wird angewendet auf die Kapillarströmung einer Flüssigkeit in einem zylindrischen Rohr ohne Einwirkung eines äußeren [[Gravitationsfeld]]es.

Nach Einsetzen des Ausdrucks
::<math>dV = \pi r^2 dl</math>
für ein differentielles Volumen, welches über die differentielle Länge <math>dl</math> einer Flüssigkeit in einem Rohr definiert wird, erhält man folgende Gleichung:

:<math>\Rightarrow \frac{\delta l}{\delta t} = \frac{\sum p}{8 r^2 \eta l}(r^4 +4 \epsilon r^3).</math>

Darin ist
* <math>\sum p = p_a + p_h + p_c</math> die Summe aller wirkenden [[Druck (Physik)|Drücke]], darunter:
** der [[Atmosphärischer Druck|atmosphärische Druck]] <math>p_a</math>
** der [[Hydrostatischer Druck|hydrostatische Druck]] <math>p_h</math> und
** das Druckäquivalent <math>p_c</math> aufgrund von Kapillarkräften,
* <math>\epsilon</math> der [[Gleitreibungskoeffizient]], welcher für benetzbare Materialien 0 wird,
* <math>r</math> der Radius der [[Kapillare]].

Die einzelnen Druckkomponenten können folgendermaßen ausgedrückt werden:

::<math>p_h = \rho \cdot g \cdot h - \rho \cdot g \cdot l \sin \psi,</math>
::<math>p_c = \frac{2 \cdot \gamma}r \cdot \cos \phi.</math>

mit
* der [[Dichte]] <math>\rho</math> der Flüssigkeit
* dem Ausrichtungswinkel <math>\psi</math> des Rohres, bezogen auf eine horizontale Achse.

Das Einsetzen dieser Gleichungen für die einzelnen Drücke führt zu einer [[Differentialgleichung]] erster Ordnung, die die Eindringtiefe <math>l</math> der Flüssigkeit in das Rohr beschreibt:

:<math>\Rightarrow \frac{\delta l}{\delta t} = \frac{[p_a + g \rho (h - l \sin \psi) + \frac{2 \gamma}{r} \cos \phi](r^4 +4 \epsilon r^3)}{8 r^2 \eta l}.</math>

== Einzelnachweis ==
<references>
<ref name="Washburn">
{{Literatur
|Autor=Edward W. Washburn
|Titel=The Dynamics of Capillary Flow
|Sammelwerk=Physical Review
|Band=17
|Nummer=3
|Jahr=1921
|Seiten=273–283
|DOI=10.1103/PhysRev.17.273}}
</ref>
</references>

== Weblinks ==
* [https://www.imeter.de/imeter-methoden/kapillaritaet-kontaktwinkel-sorptivitaet/washburn-gleichung.html Herleitung, Entwicklung und Anwendung der Washburn-Gleichung]

[[Kategorie:Strömungsmechanik]]

Washburn-Gleichung - Versionsgeschichte

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