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2026-02-15T04:24:46Z

Wald-Statistiken für allgemeine lineare Hypothesen

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Der '''Wald-Test''' ist in der [[Ökonometrie]] ein [[Parametrische Statistik|parametrischer]] [[statistischer Test]], der 1939 von [[Abraham Wald]] (1902–1950) entwickelt worden ist.
Mit dem Test kann die Verteilung einer geeigneten [[Teststatistik]] unter Gültigkeit der [[Nullhypothese]] bestimmt werden. Eine allgemeine Teststatistik für verschiedenste ökonometrische Fragestellungen ist die '''Wald-Statistik''', die asymptotisch einer [[Chi-Quadrat-Verteilung]] bzw. <math>\chi^2</math>-Verteilung folgt. Der Wald-Test basiert auf der Tatsache, dass der [[Maximum-Likelihood-Methode|Maximum-Likelihood-Schätzer]] <math>\hat{\vartheta}_{\text{ML}}</math> für den unbekannten Parameter für große Beobachtungszahlen [[Konvergenz in Verteilung|in Verteilung]] gegen eine Normalverteilung strebt. Viele Tests lassen sich daher als Spezialfälle des Wald-Tests auffassen.

== Eindimensionaler Fall ==
Aus der Maximum-Likelihood-Theorie weiß man, dass der [[Maximum-Likelihood-Methode|Maximum-Likelihood-Schätzer]] des unbekannten Parameters in Verteilung für große Beobachtungszahlen gegen eine Normalverteilung strebt. Sei <math>\vartheta</math> ein unbekannter Parameter in der [[Grundgesamtheit]] und <math>\vartheta_0</math> ein vorgegebener Wert. Um die folgende [[Nullhypothese]] gegen korrespondierende [[Alternativhypothese]] zu testen

:<math>H_0\colon \vartheta=\vartheta_0</math>  gegen  <math>H_1\colon \vartheta\neq\vartheta_0</math>,

kann man eine der folgenden Test-Statistiken benutzen:<ref>Leonhard Held und Daniel Sabanés Bové: [https://www.springer.com/de/book/9783642378867 ''Applied Statistical Inference: Likelihood and Bayes.''] Springer Heidelberg New York Dordrecht London (2014). ISBN 978-3-642-37886-7, S. 99.</ref>

:<math>\sqrt{I(\hat{\vartheta}_{\text{ML}})}(\hat{\vartheta}_{\text{ML}}-\vartheta_0) \; \stackrel{a}{\sim} \; \mathcal N(0,1)</math>

oder

:<math>\sqrt{J(\hat{\vartheta}_{\text{ML}})}(\hat{\vartheta}_{\text{ML}}-\vartheta_0) \; \stackrel{a}{\sim} \; \mathcal N(0,1)</math>,

die beide unter der Nullhypothese [[Asymptotische Normalität|asymptotisch normalverteilt]] sind. Hierbei bezeichnet <math>I(\cdot)</math> die [[Fisher-Information]] und <math>J(\cdot)</math> die [[erwartete Fisher-Information]]. Beide Teststatistiken sind approximative [[Pivotgröße]]n für <math>\vartheta</math> und werden ''Wald-Statistiken'' genannt.

Betrachtet man die quadrierte Teststatistik, so gilt:

:<math>W := F(\hat{\vartheta}_{\text{ML}}) (\hat{\vartheta}_{\text{ML}}-\vartheta_0) ^2\; \stackrel{a}{\sim} \;\chi^2(1)</math>,

d. h., sie ist bei großen Stichproben asymptotisch [[Chi-Quadrat-Verteilung|Chi-Quadrat-verteilt]]. Dies gilt, da eine quadrierte standardnormalverteilte Zufallsgröße einer Chi-Quadrat-Verteilung mit einem Freiheitsgrad folgt.

=== Wald-Vertrauensintervall ===
Bezeichne <math>\hat{\vartheta}_{\text{ML}}</math> den [[Maximum-Likelihood-Schätzer]] für <math>\vartheta</math>, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass die Wald-Statistik innerhalb der <math>1-\alpha/2</math>-Quantile der Standardnormalverteilung liegt

:<math>P \left( {-z_\left( 1-\tfrac {\alpha}{2} \right) \le\sqrt{I(\hat{\vartheta}_{\text{ML}})}(\hat{\vartheta}_{\text{ML}}-\vartheta) \le z_\left( 1-\tfrac{\alpha}{2} \right)} \right) \approx1-\alpha</math>

und damit ergibt sich das <math>(1-\alpha)</math>-Wald-[[Vertrauensintervall]] zu<ref>Leonhard Held und Daniel Sabanés Bové: [https://www.springer.com/de/book/9783642378867 ''Applied Statistical Inference: Likelihood and Bayes.''] Springer Heidelberg New York Dordrecht London (2014). ISBN 978-3-642-37886-7, S. 100.</ref>

: <math>KI_{1-\alpha}(\vartheta) = \left[ \hat{\vartheta}_{\text{ML}}-z_\left( 1-\tfrac {\alpha}{2} \right) \frac {1}{\sqrt{I(\hat{\vartheta}_{\text{ML}})} } ; \hat{\vartheta}_{\text{ML}}+z_\left( 1-\tfrac {\alpha}{2} \right) \frac {1}{\sqrt{I(\hat{\vartheta}_{\text{ML}})} } \right]</math>.

== Mehrdimensionaler Fall ==
Im mehrdimensionalen Fall, wobei <math>\hat{\boldsymbol\vartheta}=(\hat{\vartheta_1},\hat{\vartheta_2}, \dotsc, \hat{\vartheta_k})^{\top}</math> der Vektor der [[Schätzfunktion]]en ist und <math>\boldsymbol\Sigma_{\hat{\boldsymbol\vartheta}}</math> die asymptotische [[Reguläre Matrix|nichtsinguläre]] [[Kovarianzmatrix]] des Maximum-Likelihood-Schätzers ist, kann die Nullhypothese <math>
H_0:\boldsymbol\vartheta =\boldsymbol\vartheta_0</math> mit folgender Teststatistik getestet werden<ref>George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, [[Helmut Lütkepohl]], T. C. Lee. ''Introduction to the Theory and Practice of Econometrics.'' 2. Auflage. John Wiley & Sons, New York / Chichester / Brisbane / Toronto / Singapore 1988, ISBN 0-471-62414-4, S. 109.</ref>

:<math>W = (\hat{\boldsymbol \vartheta}-\boldsymbol \vartheta_0)^{\top} \boldsymbol\Sigma_{\hat{\boldsymbol\vartheta}}^{-1} (\hat{\boldsymbol \vartheta}-\boldsymbol \vartheta_0) \ \;\stackrel{a, H_{0}}{\sim} \; \chi^2(k)</math>

ist dann asymptotisch [[Chi-Quadrat-Verteilung|Chi-Quadrat-verteilt]] mit <math>k</math> [[Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)|Freiheitsgraden]].
Die Restriktionsfunktion <math>r(\hat{\vartheta})=( \hat{\vartheta}-\vartheta_0 )</math> muss hierzu unter <math>H_0</math> vollständig differenzierbar sein und vollen Rang haben.

== Wald-Statistiken für allgemeine lineare Hypothesen ==
Um [[Testen allgemeiner linearer Hypothesen|allgemeine lineare Hypothesen zu testen]], spielt die asymptotische Verteilung der Wald-Statistik eine große Rolle. Es sei <math> \boldsymbol R</math> eine <math>q \times (k+1)</math> [[Restriktionsmatrix]], mit <math>q \leq (k+1)</math> und weiterhin angenommen, dass die <math>q </math> Restriktionen an den <math>(k+1) \times 1</math> Parametervektor <math>\boldsymbol \beta</math> ausgedrückt werden können als <math> H_0: \boldsymbol R\boldsymbol\beta= \boldsymbol r </math>, wobei <math>\boldsymbol r</math> ein <math>q \times 1</math>-Vektor bestehend aus bekannten Konstanten darstellt. Unter bestimmten Voraussetzungen folgt unter der Nullhypothese die gewichtete [[Summe der Abweichungsquadrate#Hypothesenquadratsumme|Hypothesenquadratsumme]]

:<math> W=\frac{1}{\sigma^2}( \boldsymbol R\boldsymbol\hat{\beta}-\boldsymbol r)^{\top}(\boldsymbol R(\mathbf X^{\top}\mathbf X)^{-1}\boldsymbol R^{\top})^{-1}( \boldsymbol R\boldsymbol\hat{\beta}-\boldsymbol r)\sim \chi^2(q)
</math>

einer [[Chi-Quadrat-Verteilung]] mit <math>q</math> (Anzahl der Restriktionen) [[Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)|Freiheitsgraden]]. Hierbei misst <math>\boldsymbol R\boldsymbol\hat{\beta}-\boldsymbol r</math> wie weit der geschätzte Wert <math>\boldsymbol\hat{\beta}</math> von der Nullhypothese <math>\boldsymbol R\boldsymbol\beta-\boldsymbol r =\mathbf{0}</math> abweicht. Weiterhin ist <math>(\boldsymbol R\boldsymbol\beta-\boldsymbol r)^{\top}(\boldsymbol R\boldsymbol\beta-\boldsymbol r)</math> die dazugehörige [[Summe der Abweichungsquadrate]] (Analog zur [[Residuenquadratsumme]]).
Diese Summe der Abweichungsquadrate wird mit der inversen Kovarianzmatrix der Nullhypothese <math>(\boldsymbol R(\mathbf X^{\top}\mathbf X)^{-1}\boldsymbol R^{\top})^{-1}/\sigma^2</math> gewichtet, weil für eine große Kovarianz ebenso so große Abweichungen <math>\boldsymbol R\boldsymbol\hat{\beta}-\boldsymbol r</math> nicht notwendigerweise ein Indikator für <math>H_0</math> sind. Falls der [[Erwartungstreue Schätzung der Varianz der Störgrößen|erwartungstreue Schätzer für die Störgrößenvarianz]] <math>\hat \sigma^2 = \tfrac1{n-k-1}\sum\nolimits_{i=1}^n \hat{\varepsilon}_i^2 </math> benutzt wird, kann man zeigen, dass die Wald-Statistik <math>W</math> dividiert durch die Anzahl der Restriktionen <math>q</math> genau der [[Testen allgemeiner linearer Hypothesen#F-Test für das multiple Regressionsmodell|''F''-Statistik des multiplen linearen Testproblems]] entspricht.<ref>Jeffrey Marc Wooldridge: ''Introductory econometrics: A modern approach.'' 4. Auflage. Nelson Education, 2015, S. 810</ref>

== Beispiele ==
=== Einstichproben-Gauß-Test als Spezialfall des Wald-Tests ===
Wenn eine Variable in einer Grundgesamtheit normalverteilt ist mit <math>X\sim \mathcal{N}(\mu; \sigma^2)</math> mit unbekanntem Parameter <math>\mu</math> und bekanntem <math>\sigma</math>, dann ist der [[Stichprobenmittelwert]]

:<math>\overline{X}=\frac1n \sum_{i=1}^n X_i \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2/n)</math>

auch der [[Maximum-Likelihood-Methode|Maximum-Likelihood-Schätzer]] für <math>\mu</math>. Eine der Hypothesen für den [[Gauß-Test#Einstichproben-Gauß-Test|Einstichproben-Gauß-Test]] lautet:

:<math>H_0\colon \mu=\mu_0</math>  gegen  <math>H_1\colon \mu\neq\mu_0</math>

und die Teststatistik nach Wald wäre

:<math>T=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\sim\mathcal{N}(0,1)</math>.

Somit kann der Einstichproben-Gauß-Test als Spezialfall des Wald-Tests aufgefasst werden.

=== Globaler ''F''-Test als Spezialfall des Wald-Tests ===
Einen weiteren Spezialfall des Wald-Tests stellt der [[Globaler F-Test|globale ''F''-Test]] dar. Bei diesem wird geprüft, ob mindestens eine erklärende Variable einen Erklärungsgehalt für das Modell liefert. Falls diese Hypothese verworfen wird, ist somit das Modell nutzlos. Die [[Nullhypothese]] des ''F''-Tests auf Gesamtsignifikanz des Modells sagt aus, dass alle erklärenden Variablen keinen Einfluss auf die abhängige Variable haben, und die [[Alternativhypothese]], dass mindestens eine erklärende Variable Einfluss auf sie hat. Sowohl die erklärenden Variablen als auch die unabhängigen Variablen können binär (kategoriell) oder metrisch sein. Der Wald-Test kann dann die [[Hypothesentest|Hypothesen testen]] (ohne Einbezug des [[Regressionsparameter|Achsenabschnitts]]):<ref>[[Ludwig Fahrmeir]], Rita Künstler, [[Iris Pigeot]], [[Gerhard Tutz]]: ''Statistik. Der Weg zur Datenanalyse.'' 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 458.</ref>

:<math>H_0\colon \beta_1=\beta_2=\ldots=\beta_k \;=\;0 \Rightarrow \rho^2 = 0</math>  gegen  <math>H_1: \beta_j \; \neq \; 0 \; \mathrm{f\ddot ur \;mindestens\; ein}\; j \in \{1,\ldots,k\} \Rightarrow \rho^2 > 0</math>.

== Alternativen ==
Eine Alternative zum Wald-Test bietet der [[Likelihood-Quotienten-Test]]. Dieser ist zwar rechenaufwändiger, dafür zeigt er in kleinen Stichproben jedoch auch bessere Eigenschaften. Eine weitere Alternative ist der sogenannte Lagrange-Multiplikator-Tests (LM-Tests, siehe auch [[Lagrange-Multiplikator]]). Asymptotisch sind diese drei Tests jedoch identisch.

== Literatur ==
* ''Wald's W-Statistics.'' In: ''Encyclopedia of Statistical Sciences.'' Wiley, Hoboken 2006, S. 9028–9029.
* Abraham Wald: ''Tests of Statistical Hypotheses Concerning Several Parameters When the Number of Observations is Large.'' In: ''Transactions of the American Mathematical Society.'' Vol. 54, No. 3, Nov 1943, S. 426–482, {{DOI|10.1090/S0002-9947-1943-0012401-3}}, {{JSTOR|1990256}}.
* Tim F. Liao: ''Comparing Social Groups: Wald Statistics for Testing Equality Among Multiple Logit Models.'' In: ''International Journal of Comparative Sociology.'' Vol. 45, No. 1–2, 2004, S. 3–16, {{DOI|10.1177/0020715204048308}}.
* Robert F. Engle: ''Wald, Likelihood Ratio and Lagrange Multiplier Tests in Econometrics.'' In: Zvi Griliches, Michael D. Intriligator (Hrsg.): ''Handbook of Econometrics.'' Vol. 2, Elsevier, Amsterdam u. a. 1984, S. 775–826.

== Einzelnachweise ==

<references />
[[Kategorie:Ökonometrie]]
[[Kategorie:Parametrischer Test]]

Wald-Test - Versionsgeschichte

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