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2025-01-22T18:09:47Z

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Die [[Quantenmechanik|quantenmechanische]] '''Wahrscheinlichkeitsstromdichte''' ''(genauer: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsstromdichte)'' ist eine Stromdichte, die im Rahmen der quantenmechanischen [[Kontinuitätsgleichung]] mit der quantenmechanischen Aufenthalts[[wahrscheinlichkeitsdichte]] assoziiert ist. Sie wird durch die [[Wellenfunktion]] <math>\psi(\vec x,t)</math> im [[Ortsraum]] bestimmt und hat bei Abwesenheit magnetischer Felder die Form (zur Präzisierung siehe unten):
:<math>\vec{j} = \frac{i\hbar}{2m}[\psi\vec\nabla\psi^*-\psi^*\vec\nabla\psi].</math>

== Hintergrund ==
:{{Hauptartikel|Kontinuitätsgleichung}}
In physikalischen [[Feldtheorie (Physik)|Feldtheorien]] treten [[Erhaltungsgröße]]n als [[Integralrechnung|Integral]]e über bestimmte Dichten auf. Solche Dichten, die zu den Erhaltungsgrößen gehören, genügen dann ''Kontinuitätsgleichungen'', die eine spezielle Form einer [[Bilanzgleichung]] sind.

Allgemein enthalten Kontinuitätsgleichungen eine Dichte <math>\rho </math> und einen Strom <math>\vec j </math> und verknüpfen sie der Gestalt
:<math> \partial_t \rho + \vec \nabla \cdot \vec j = 0</math>
oder in integraler Formulierung mithilfe des [[Gaußscher Integralsatz|Gaußschen Integralsatzes]]:
:<math> \partial_t \int_V \rho \,\mathrm d V = - \int_{\partial_V} \vec j \cdot \mathrm d \vec A </math>

Anschauliche Bedeutung erfahren die Kontinuitätsgleichungen durch die integrale Formulierung, da die zeitliche Änderung der Dichte innerhalb eines Volumenelements gleich dem Strom über die Grenzen des Volumenelements hinein ist (<math> \vec j </math> zeigt aus dem Volumenelement hinaus).

Da in der Kontinuitätsgleichung nur die [[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] der Stromdichte auftritt, kann zu dieser stets ein Term proportional zur [[Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]] einer beliebigen vektorwertigen (hinreichend glatten) Funktion <math>\vec f </math> addiert werden, da nach dem [[Satz von Schwarz]] <math> \vec \nabla \cdot (\vec \nabla \times \vec f) = 0 </math> gilt.

== Nichtrelativistische Quantenmechanik ==
In der Quantenmechanik ist, wie auch in der statistischen Mechanik, die [[Aufenthaltswahrscheinlichkeit]] eine Erhaltungsgröße. Diese Wahrscheinlichkeit, wenn man den gesamten Raum betrachtet, ist gleich Eins: das einzelne Teilchen muss irgendwo im Raum anzutreffen sein. In der Quantenmechanik ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte durch das Betragsquadrat der [[Wellenfunktion]] <math>\psi</math> gegeben:
:<math>\rho = \psi^* \psi</math>
Da die Wellenfunktion der Quantenmechanik eine vollständige Beschreibung des physikalischen Zustandes des Systems darstellt, ist zunächst aber unklar, wie die zugehörige Stromdichte der Wahrscheinlichkeitsdichte aussehen könnte, da man anders als in der Kontinuumsmechanik ''a priori'' kein zusätzliches Geschwindigkeitsfeld gegeben hat. Die Stromdichte muss vielmehr eine Funktion der Wellenfunktion sein.

=== Wahrscheinlichkeitsstromdichte ohne äußeres elektromagnetisches Feld ===
Die Wahrscheinlichkeitsdichte kann mit Hilfe der [[Schrödingergleichung]] umformuliert werden:
:<math>
\frac{\partial}{\partial t} \rho =\psi^*\frac{\partial}{\partial t}\psi+\psi \frac{\partial}{\partial t} \psi^*
=\frac{1}{\mathrm i\hbar}[\psi^*\hat{\mathcal H}\psi-\psi \hat{\mathcal H} \psi^*],
</math>
wobei <math>\hat{\mathcal H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta +V(\vec x)</math> der [[Hamiltonoperator]] ist. Setzt man die explizite Form des Hamiltonoperators ein, sieht man, dass das Potential <math>V</math> aus der Gleichung herausfällt. Es bleibt ein Term, den man noch in die Form
:<math>\frac{\partial}{\partial t} \rho = \frac{i\hbar}{2m}\vec\nabla\cdot[\psi^*\vec\nabla\psi-\psi \vec\nabla \psi^*]</math>
bringen kann.
Aus einem Vergleich mit der Kontinuitätsgleichung ergibt sich die folgende Form der Wahrscheinlichkeitsstromdichte:
:<math>\vec j = \frac{i\hbar}{2m}[\psi\vec \nabla\psi^*-\psi^*\vec\nabla\psi],</math>
wie am Anfang des Artikels beschrieben.

Alternative Formulierungen:
:<math>
\vec j
= \frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}\left(\psi^*\vec\nabla\psi\right)
= \frac{1}{m}\operatorname{Re}\left(\psi^*\hat{\vec p}\psi\right),
</math>
wobei <math>\hat{\vec p}=\frac{\hbar}{i}\vec \nabla</math> der ''kanonische'' [[Impulsoperator]] ist.

=== Wahrscheinlichkeitsstromdichte mit äußerem elektromagnetischen Feld ===

Die Wellenfunktion im äußeren elektromagnetischen Feld gehorcht der [[Pauli-Gleichung]]. Dabei werden folgende Ersetzungen in der Schrödinger-Gleichung durchgeführt:
* Zur Beschreibung des Spins wird aus der skalaren Schrödinger-Gleichung die Wellenfunktion <math>\psi </math> allgemeiner durch den [[Eigenspinor|Spinor]] <math>\Psi</math> beschrieben; bei Spin-½ Teilchen wie den [[Elektron]]en oder [[Proton]]en hat der Spinor dabei zwei Komponenten, bei Spin-0 Teilchen wie dem [[Alphastrahlung|Alphateilchen]] hat der Spinor nur eine Komponente.
* Der Impulsoperator <math> \hat{\vec p} = -\mathrm i \hbar \vec \nabla </math> wird durch <math>\hat{\vec P} = -\mathrm i \hbar \vec \nabla - q \vec A </math> ersetzt, wobei <math> \vec A </math> das [[Magnetisches Vektorpotential|Vektorpotential]] und <math> q </math> die [[elektrische Ladung]] des Teilchens ist. Den Term <math> \vec p - q \vec A </math> (ohne „Operator-Hut“) nennt man im Gegensatz zum ''kanonischen'' auch ''kinetischen'' Impuls.
* Der Hamiltonoperator <math> \hat \mathcal H = \mathrm i \hbar \partial_t</math> erhält einen Zusatzterm für die elektrostatische Energie mit dem [[elektrisches Potential|elektrischen Potential]] <math>\phi</math> und wird zu <math> \hat \mathcal H = \mathrm i \hbar \partial_t - q\phi </math>.

Für Teilchen ohne Spin lässt sich die zur Pauli-Gleichung passende Wahrscheinlichkeitsstromdichte relativ schnell herleiten zu:<ref>siehe z. B. {{Internetquelle |url=https://www.phys.ksu.edu/personal/wysin/notes/qmcurrent.pdf |titel=Probability Current and Current Operators in Quantum Mechanics |datum=2011 |zugriff=2023-04-15 |werk=www.phys.ksu.edu |autor=G. M. Wysin}}</ref>
:<math> \vec j_{oS} = - \frac{\mathrm i \hbar}{2m} \left(\Psi^\dagger \vec \nabla \Psi - (\vec \nabla \Psi^\dagger) \Psi \right) - \frac{q}{m} \Psi^\dagger \Psi \vec A = \frac{1}{m}\operatorname{Re} \left(\Psi^\dagger (\hat {\vec P}) \Psi \right) = \frac{1}{m}\operatorname{Re} \left(\Psi^\dagger (\hat {\vec p} - q\vec A) \Psi \right) </math>.

Diese Wahrscheinlichkeitsstromdichte ist aufgrund der Ersetzung des kanonischen durch den kinetischen Impuls invariant unter den Eichtransformationen
:<math>\Psi\to\Psi \exp\left({\mathrm i q\frac{f(\vec x, t)}{\hbar}}\right),\quad \vec A \to \vec A + \vec \nabla f(\vec x, t),\quad \phi\to \phi - \partial_t f</math>
mit einer beliebigen reellen Funktion <math>f(\vec x, t)</math>.

Für Teilchen ohne [[Spin]] ist die oben gefundene Formel gültig, jedoch nicht notwendigerweise für Teilchen mit Spin. Nach einer 1999 in der Fachzeitschrift [[American Journal of Physics]] veröffentlichten Analyse muss dazu ein Term hinzugefügt werden, der linear vom Spin abhängt, aber unabhängig vom Magnetfeld ist: „This analysis reveals that the nonrelativistic current of the Pauli equation should include an extra term of the form ∇×(ψ†σψ).“<ref>{{Internetquelle |url=https://aapt.scitation.org/doi/pdf/10.1119/1.19149 |titel=The quantum mechanical current of the Pauli equation |autor=Marek Nowakowski |werk=aapt.scitation.org |datum=1999 |zugriff=2023-04-15}}</ref>

Denn es lässt sich zu dieser Wahrscheinlichkeitsstromdichte ein Term proportional zu <math> \vec \nabla \times (\Psi^\dagger \vec \sigma \Psi) </math> addieren, welcher ebenfalls eichinvariant ist (und als Rotationsterm die Kontinuitätsgleichung nicht verletzt). Tatsächlich ergebe sich aus der [[Dirac-Gleichung]] im nichtrelativistischen Grenzfall mit dem [[Pauli-Matrizen]] <math>\sigma</math>:<ref>Marek Nowakowski: The Quantum Mechanical Current of the Pauli Equation. American Journal of Physics 67, 916 (1999). [https://arxiv.org/pdf/physics/9807019.pdf Artikel auf arxiv.org]</ref>

:<math> \vec j_{mS} = - \frac{\mathrm i \hbar}{2m} \left(\Psi^\dagger \vec \nabla \Psi - (\vec \nabla \Psi^\dagger) \Psi \right) - \frac{q}{m} \Psi^\dagger \Psi \vec A + \frac{\hbar}{2m} \vec \nabla \times (\Psi^\dagger \vec \sigma \Psi) + \mathcal O(v^2/c^2)</math>

== Einzelnachweise und Fußnoten ==
<references />

== Weblinks ==
* [http://www.hydrogenlab.de Elektroniummodell] Beschreibung von Atomen mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsstromdichte

[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]

Wahrscheinlichkeitsstromdichte - Versionsgeschichte

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