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[[Bild:Fair dice probability distribution.svg|right|mini|Wahrscheinlichkeitsfunktion eines fairen Würfels. Alle Augenzahlen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit 1/6.]]
Eine '''Wahrscheinlichkeitsfunktion''', auch '''Zähldichte''' genannt,<ref> Georgii: ''Stochastik.'' 2009, S. 18. </ref> ist eine spezielle [[reellwertige Funktion]] in der [[Stochastik]]. Wahrscheinlichkeitsfunktionen werden zur Konstruktion und Untersuchung von [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en, genauer [[Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung|diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] verwendet. Dabei kann jeder diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung eine eindeutige Wahrscheinlichkeitsfunktion zugeordnet werden. Umgekehrt definiert jede Wahrscheinlichkeitsfunktion eine eindeutig bestimmte diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.

In den meisten Fällen werden Wahrscheinlichkeitsfunktionen auf den [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] definiert. Sie ordnen dann jeder Zahl die [[Wahrscheinlichkeit]] zu, dass diese Zahl auftritt. So würde bei der Modellierung eines fairen Würfels die Wahrscheinlichkeitsfunktion den Zahlen von eins bis sechs jeweils den Wert <math> \tfrac 16 </math> zuordnen und allen anderen die Null.

Aus der Sicht der [[Maßtheorie]] handelt es sich bei Wahrscheinlichkeitsfunktionen um spezielle [[Dichtefunktion|Dichtefunktionen (im Sinne der Maßtheorie)]] bezüglich des [[Zählmaß (Maßtheorie)|Zählmaßes]]. Diese werden im allgemeineren Kontext auch [[Gewichtsfunktion (Maßtheorie)|Gewichtsfunktionen]] genannt.<ref> Klenke: ''Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2013, S. 13. </ref>

== Definition ==
{{Kasten|1=''' Definition Wahrscheinlichkeitsfunktion''': Für eine diskrete [[Zufallsvariable]] <math>X</math> ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion <math>f(x)</math> für <math>x \in \R</math> definiert durch

:<math> f(x)= \begin{cases} P(X=x_i)=p_i, & x=x_i \in \{x_1,x_2, \dots, x_k \dots\} \\ 0, & \text{ sonst.} \end{cases} </math>}}

=== Zur Konstruktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ===
Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum <math> (\Omega,\mathcal{A},{\mathbb P})</math> sowie eine Funktion <math> f \colon \N_0 \to \R</math> mit folgenden Eigenschaften:

# <math> f(i) \in [0,1] </math> <math> \forall i \in \N_0 </math> sodass <math> f \colon \Omega \to[0,1]\subset\mathbb{R}</math>
# <math> \sum_{i\in\mathbb{N_0}} f(i)= 1 </math>
Die Funktion <math> f </math> ordnet also jeder [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahl]] eine [[reelle Zahl]] zwischen null und eins zu und ist normiert in dem Sinne, dass sich die Funktionswerte zu eins aufsummieren.

Dann heißt <math> f </math> eine Wahrscheinlichkeitsfunktion und definiert durch
:<math> {P}({I} \subset \Omega)=
{P}(\{{i} \in \Omega\}\subset \mathcal{A})
:= \sum_{i\in\mathbb{\Omega}} f(i) </math>

eine eindeutig bestimmte [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Wahrscheinlichkeitsmaß|<math> {P} </math>]] auf den natürlichen Zahlen <math> \N_0 </math>, versehen mit der [[Potenzmenge]] <math> \mathcal P(\N_0) </math> als der Sigma-Algebra <math> \mathcal{A}</math> ([[Ereignissystem]]).

Insbesondere gilt aufgrund der [[Σ-Additivität|Sigma-Additivität]] des Wahrscheinlichkeitsmaßes [[Wahrscheinlichkeitsmaß|<math> \mathbb{P} </math>]]:

: <math> \mathbb{P}\left(\bigcup_{m=1}^n A_m\right) = \sum_{m=1}^n\mathbb{P}(A_m)\Longleftrightarrow
{P}({I} \subset \Omega)=
{P}(\{i_1, i_2,...,i_n \}) = \sum_{m=1}^nf(i_m) </math>

Aus <math> f(i)= P (X=i) </math> folgt des Weiteren:

: <math> \sum_{m=1}^nf(i_m) = \sum_{m=1}^n P (X=i_m) </math>

Es ist hierbei zu beachten, dass [[Wahrscheinlichkeitsmaß|<math> {P} </math>]] als Wahrscheinlichkeitsverteilung lediglich ''Mengen'' aus <math> \Omega</math> als Argumente zulässt, während die Argumente der Wahrscheinlichkeitsfunktion stets durch einzelne natürliche Zahlen als Elemente von <math> \Omega </math> dargestellt werden. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math> \mathbb{P}</math> hingegen ist definiert als die Abbildung:

: <math> \mathbb{P} \colon \mathcal{A} \to[0,1]\subset\mathbb{R}</math>

=== Aus Wahrscheinlichkeitsverteilungen abgeleitet ===
Gegeben sei eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf den natürlichen Zahlen <math> \N_0 </math>, versehen mit <math> \mathcal P(\N_0) </math>, und sei <math>X</math> eine [[Zufallsvariable]] mit Werten in <math> \N_0 </math>. Dann heißt
:<math> f_ P \colon \N_0 \to \R </math>

definiert durch
:<math> f_P(i):= P(\{i\}) </math>

die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> \mathbb P </math>. Analog heißt
:<math> f_X \colon \N_0 \to \R </math>

definiert durch
:<math> f_X(i):= P (X=i) </math>

die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> X</math>

== Beispiele ==
Eine typische Wahrscheinlichkeitsfunktion ist
:<math> f_{n,p}(k)= \begin{cases} \binom nk p^k (1-p)^{n-k} & \text{ für } k \in \{0,1, \dots, n \} \\ 0 & \text{ sonst} \end{cases} </math>

für eine natürliche Zahl <math> n </math> und eine reelle Zahl <math> p \in (0,1) </math>. Die Normiertheit folgt hier direkt aus dem [[Binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]], denn es ist
:<math> \sum_{k=0}^\infty f_{n,p}(k) = \sum_{k=0}^n \binom nk p^k (1-p)^{n-k} = ((1-p)+p)^n=1 </math>.

Die so erzeugte Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Binomialverteilung]].

Eine weitere klassische Wahrscheinlichkeitsfunktion ist
:<math> f_p(k)= p(1-p)^k </math> für <math> k \in \{0,1,2,\dots \} </math>

und ein <math> p \in (0,1) </math>. Hier folgt die Normiertheit aus der [[Geometrische Reihe|geometrischen Reihe]], denn es ist
:<math> \sum_{k=0}^\infty f_p(k)= p \sum_{k=0}^\infty (1-p)^k = \frac{p}{1-(1-p)} = 1 </math>.

Die so erzeugte Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Geometrische Verteilung]].

== Allgemeine Definition ==
Die Definition lässt sich von den natürlichen Zahlen auf beliebige [[höchstens abzählbare Menge]]n ausweiten. Ist <math> \Omega </math> solch eine Menge und ist
:<math> f \colon \Omega \to [0,1] </math>

mit
:<math> \sum_{i \in \Omega} f(i)=1 </math>,

so definiert <math> f </math> durch
:<math> P(\{i\}):= f(i) </math> für alle <math> i \in \Omega </math>

eine eindeutig bestimmte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega, \mathcal P(\Omega )) </math>.<ref> Schmidt: ''Maß- und Wahrscheinlichkeit.'' 2011, S. 196. </ref> Ist umgekehrt <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega, \mathcal P(\Omega )) </math> und <math> X </math> eine Zufallsvariable mit Werten in <math> \Omega </math>, so heißen
:<math> f_P \colon \Omega \to [0,1] </math> definiert durch <math> f_P(i):= P(\{i\}) </math>

und
:<math> f_X \colon \Omega \to [0,1] </math> definiert durch <math> f_X(i):=P(X=i) </math>

die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> P </math> beziehungsweise <math> X</math>.<ref> Czado, Schmidt: ''Mathematische Statistik.'' 2011, S. 4. </ref>

== Alternative Definition ==
Manche Autoren definieren zuerst reelle Folgen <math> (p_i)_{i \in \Omega} </math> mit <math> p_i \in [0,1] </math> für alle <math> i \in \Omega </math> und
:<math> \sum_{i \in \Omega} p_i =1 </math>

und nennen diese Folgen '''Wahrscheinlichkeitsvektoren'''<ref> Klenke: ''Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2013, S. 13. </ref> oder '''stochastische Folgen'''<ref> Meintrup, Schäffler: ''Stochastik.'' 2005, S. 63. </ref><ref> Schmidt: ''Maß- und Wahrscheinlichkeit.'' 2011, S. 234. </ref>.

Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion wird dann definiert als
:<math> f \colon \Omega \to [0,1] </math>

gegeben durch
:<math> f(i)= p_i </math> für alle <math> i \in \Omega </math>

Umgekehrt definiert dann jede Wahrscheinlichkeitsverteilung oder Zufallsvariable auf <math> \Omega </math> auch eine stochastische Folge/Wahrscheinlichkeitsvektor über <math> (P(\{i\}))_{i \in \Omega} </math> beziehungsweise <math> (P(X=i))_{i \in \Omega} </math>

Andere Autoren nennen bereits die Folge <math> (p_i)_{i \in \Omega} </math> eine Zähldichte.<ref> Georgii: ''Stochastik.'' 2009, S. 18. </ref>

== Weitere Beispiele ==
Typisches Beispiel für Wahrscheinlichkeitsfunktionen auf beliebigen Mengen ist die [[diskrete Gleichverteilung]] auf einer endlichen Menge <math> \Omega </math>. Sie besitzt dann per Definition die Wahrscheinlichkeitsfunktion
:<math> f(i)= \tfrac{1}{|\Omega|} </math> für alle <math> i \in \Omega </math>.

Der Zugang über die stochastischen Folgen erlaubt die folgende Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsfunktionen: Ist eine beliebige (höchstens abzählbare) Folge von positiven reellen Zahlen <math> (a_i)_{i \in \Omega } </math> mit Indexmenge <math> \Omega </math> gegeben, für die
:<math> \sum_{i \in \Omega} a_i < \infty </math>

gilt, so definiert man
:<math> c= \sum_{i \in \Omega} a_i </math>.

Dann ist <math> (\tfrac{a_i}{c})_{i \in \Omega } </math> eine stochastische Folge und definiert damit auch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion. Betrachtet man zum Beispiel die Folge
:<math> a_k:= \frac{\lambda^k}{k!} </math> für <math> k \in \N </math>,

so ist
:<math> \sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!} = e^{\lambda} </math>.

Somit ist die Normierungskonstante <math> c= e^{\lambda} </math> und als Wahrscheinlichkeitsfunktion ergibt sich
:<math> f(k)= e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} </math>.

Dies ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion der [[Poisson-Verteilung]].

== Bestimmung von Kennzahlen durch Wahrscheinlichkeitsfunktionen ==
Viele der wichtigen Kennzahlen von Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen lassen sich bei Existenz der Wahrscheinlichkeitsfunktion direkt aus dieser herleiten.

=== Erwartungswert ===
Ist <math> X</math> eine Zufallsvariable mit Werten in <math> \N </math> und Wahrscheinlichkeitsfunktion <math> f_X </math>, so ist der [[Erwartungswert]] gegeben durch
:<math> \operatorname \mathbb E (X)= \sum_{k=0}^\infty k \cdot f_X(k) </math>.

Er existiert immer, kann aber auch unendlich sein. Ist allgemeiner <math> \Omega \subset \R</math> eine höchstens abzählbare [[Teilmenge]] der reellen Zahlen und <math> X </math> eine Zufallsvariable mit Werten in <math> \Omega </math> und Wahrscheinlichkeitsfunktion <math> f_X </math> so ist der Erwartungswert gegeben durch
:<math> \operatorname \mathbb E (X)= \sum_{k \in \Omega} k \cdot f_X(k) </math>

falls die Summe existiert.

=== Varianz ===
Analog zum Erwartungswert lässt sich auch die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] direkt aus der Wahrscheinlichkeitsfunktion herleiten. Sei dazu
:<math> \operatorname \mathbb E (X)= \mu </math>

der Erwartungswert. Ist dann <math> X</math> eine Zufallsvariable mit Werten in <math> \N </math> und Wahrscheinlichkeitsfunktion <math> f_X </math>, so ist die Varianz gegeben durch
:<math> \operatorname{Var} (X)= \sum_{k=0}^\infty (k- \mu)^2 f_X(k) </math>

oder aufgrund des [[Verschiebungssatz (Statistik)|Verschiebungssatzes]] äquivalent dazu
:<math> \operatorname{Var} (X)= - \mu^2 +\sum_{k=0}^\infty k^2 f_X(k)</math>

Entsprechend gilt im allgemeineren Fall einer Zufallsvariable mit Werten in <math> \Omega </math> (vgl. oben), dass
:<math> \operatorname{Var} (X)= \sum_{k\in \Omega} (k- \mu)^2 f_X(k) </math>

Auch hier gelten alle Aussagen nur, wenn die entsprechenden Summen existieren.

=== Modus ===
Für diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen wird der [[Modus (Stochastik)|Modus]] direkt über die Wahrscheinlichkeitsfunktion definiert: Ist <math> X </math> eine Zufallsvariable mit Werten in <math> \N </math> und Wahrscheinlichkeitsfunktion <math> f </math> oder ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \N </math> mit Wahrscheinlichkeitsfunktion <math> f </math>, so heißt <math> k_{\text{mod}}</math> ein Modus oder Modalwert von <math> X </math> oder <math> P </math>, wenn
:<math> f(k-1) \leq f(k_{\text{mod}}) \geq f(k+1) </math>

ist. Ist etwas allgemeiner eine [[höchstens abzählbare Menge]] <math> \Omega </math> gegeben, deren Elemente <math> x_k </math> in aufsteigender Ordnung sortiert sind, das heißt <math>\dots < x_{k-1} <x_k < x_{k+1}< \dots </math>, so heißt ein <math> x_k </math> ein Modus oder Modalwert, wenn
:<math> f(x_{k-1}) \leq f(x_k) \geq f(x_{k+1}) </math>

gilt.<ref name="EncycloMath1"> {{EoM| Autor = A.V. Prokhorov| Titel = Mode| Url = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Mode| id = }} </ref>

== Eigenschaften und aufbauende Begriffe ==
=== Verteilungsfunktionen und Wahrscheinlichkeitsfunktionen ===
[[Datei:Discrete probability distribution.svg|mini|Verteilungsfunktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes, das sich über eine Wahrscheinlichkeitsfunktion definieren lässt. Charakteristischerweise hat die Verteilungsfunktion an der Stelle <math> i </math> einen Sprung um <math> f(i)= P(\{i\}) </math> nach oben.]]
Ist <math> f </math> eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf <math> \N </math>, so ist die [[Verteilungsfunktion]] des entsprechenden Wahrscheinlichkeitsmaßes gegeben als

:<math>F_P(x) = \sum_{i=0}^{\lfloor x \rfloor} f(i)</math>.

Dabei bezeichnet <math>\lfloor \cdot \rfloor</math> die [[Abrundungsfunktion]], das heißt <math>\lfloor x \rfloor</math> ist größte [[ganze Zahl]], die kleiner oder gleich <math>x</math> ist.

Ist <math> f </math> auf einer höchstens abzählbaren Teilmenge der reellen Zahlen definiert, also auf <math> A \subset \R </math>, so ist die Verteilungsfunktion des Wahrscheinlichkeitsmaßes definiert durch
:<math>F_P(x) = \sum_{i \leq x} f(i)</math>.

Beispiel hierfür ist <math> A=\Z </math>.

=== Faltung und Summe von Zufallsvariablen ===
Für Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit Wahrscheinlichkeitsfunktionen kann die [[Faltung (Stochastik)|Faltung (von Wahrscheinlichkeitsverteilungen)]] auf die [[Faltung (Mathematik)|Faltung (von Funktionen)]] der entsprechenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen zurückgeführt werden. Sind <math> P,Q </math> Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit Wahrscheinlichkeitsfunktionen <math> f_P </math> und <math> f_Q </math>, so ist
:<math> f_{P*Q}= f_P * f_Q </math>.

Hierbei bezeichnet <math> P*Q </math> die Faltung von <math> P </math> und <math> Q </math> und <math> f * g </math> die Faltung der Funktionen <math> f </math> und <math> g </math>. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Faltung zweier Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist somit genau die Faltung der Wahrscheinlichkeitsfunktionen der Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Diese Eigenschaft überträgt sich direkt auf die Summe von [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen]]. Sind zwei stochastisch unabhängige Zufallsvariablen <math> X, Y </math> mit Wahrscheinlichkeitsfunktionen <math> f_X </math> und <math> f_Y </math> gegeben, so ist
:<math> f_{X+Y}= f_X * f_Y </math>.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Summe ist somit die Faltung der Wahrscheinlichkeitsfunktionen der einzelnen Zufallsvariablen.

=== Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ===
{{Hauptartikel|Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion}}

Auf <math> \N </math> lässt sich jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung eine wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion zuordnen. Dies ist ein [[Polynom]] oder eine [[Potenzreihe]] mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion als Koeffizienten. Sie ist somit definiert als
:<math> m_P(t)= \sum_{k=0}^\infty f_P(k)t^k </math>

für die Wahrscheinlichkeitsfunktion <math> f_P </math> einer Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math>. Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion einer Zufallsvariable wird analog definiert.

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen erleichtern die Untersuchung von und das Rechnen mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen. So ist beispielsweise die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion der Faltung zweier Wahrscheinlichkeitsverteilungen genau das Produkt der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen der einzelnen Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Ebenso finden sich wichtige Kennzahlen wie der [[Erwartungswert]] und die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] in den Ableitungen der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen wieder.

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=[[Hans-Otto Georgii]]|Titel=Stochastik|TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik|Auflage=4.|Verlag=Walter de Gruyter|Ort=Berlin|Jahr=2009|ISBN=978-3-11-021526-7 |DOI=10.1515/9783110215274}}
* {{Literatur|Autor=[[Achim Klenke]]|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}}
* {{Literatur|Autor=David Meintrup, [[Stefan Schäffler]]|Titel=Stochastik|TitelErg=Theorie und Anwendungen|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg New York|Jahr=2005|ISBN=978-3-540-21676-6|DOI=10.1007/b137972}}
* {{Literatur|Autor=Klaus D. Schmidt|Titel=Maß und Wahrscheinlichkeit|Auflage=2., durchgesehene|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Heidelberg Dordrecht London New York|Jahr=2011|ISBN=978-3-642-21025-9|DOI=10.1007/978-3-642-21026-6}}
* {{Literatur|Autor=Claudia Czado, Thorsten Schmidt|Titel=Mathematische Statistik|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2011|ISBN=978-3-642-17260-1|DOI=10.1007/978-3-642-17261-8}}
* {{Literatur|Autor=[[Ulrich Krengel]]|Titel=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik|TitelErg=Für Studium, Berufspraxis und Lehramt|Auflage=8.|Verlag=Vieweg|Ort=Wiesbaden|Jahr=2005|ISBN=3-8348-0063-5 |DOI=10.1007/978-3-663-09885-0}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Stochastik]]

Wahrscheinlichkeitsfunktion - Versionsgeschichte

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