imported>Marina Ultrablue: /* Beispiel */ Singular bevorzugt

2025-07-05T10:02:40Z

Beispiel: Singular bevorzugt

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Eine '''Wahrheitswertefunktion''', auch kurz '''Wahrheitsfunktion''', ist eine [[Mathematik|mathematische]] [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die [[Wahrheitswert]]e auf Wahrheitswerte abbildet. Der [[Definitionsmenge|Definitionsbereich]] einer ''n-stelligen'' Wahrheitsfunktion ist die Menge aller [[Tupel|n-Tupel]] von Wahrheitswerten, ihr [[Zielmenge|Wertebereich]] die Menge der Wahrheitswerte. In der [[Klassische Logik|klassischen Logik]] umfasst die zugrunde liegende Wahrheitswertemenge {w, f} nur die beiden Werte "wahr" (w) und "falsch" (f); Wahrheitsfunktionen auf dieser Basis heißen daher genauer n-stellige ''zweiwertige''.

Die Wahrheitswertefunktionen spielen in der [[Formale Logik|formalen Logik]] eine zentrale Rolle, da sie die (extensionale) Form der [[Logische Verknüpfung|logischen Verknüpfung]] einer Zusammenstellung von Komponenten eindeutig bestimmt angeben, und können als [[Junktor]]en zusammengesetzter Aussagen wie auch als [[Logikgatter|Gatter]] in Zusammensetzungen von Schaltelementen interpretiert werden.

== Beispiel ==
Der Wahrheitswert des gesamten Satzes „Peter kommt und die Queen kommt“ ist abhängig von den Wahrheitswerten der Teilsätze "Peter kommt" (p) und "die Queen kommt" (q). Der Satz "p und q" ist dann wahr, wenn sowohl p als auch q wahr ist, ansonsten falsch. Als [[Modell]] für die hier durch ''und'' ausgedrückte [[Konjunktion (Logik)|Konjunktion]] kann also eine Funktion mit zwei Argumenten (p,q) dienen, die dem Tupel <w,w> – beide Argumente sind wahr – den Funktionswert ''w'' zuordnet – der Satz ist wahr – und den drei anderen möglichen 2-Tupeln je den Wert ''f'' (als [[Funktion und Begriff#Funktionen|Werteverlauf]] im Schema: ''wfff''). Diese Wahrheitsfunktion heißt AND(p,q) oder auch et-Funktion et(p,q).

Das Exempel verallgemeinernd lassen sich nun 16 verschiedene 2-stellige Wahrheitsfunktionen definieren, indem jedem der vier 2-Tupel – das sind: <w,w>, <w,f>, <f,w>, <f,f> – je einer der beiden Wahrheitswerte zugeordnet wird. Siehe dazu die Tabelle [[#Wahrheitstabellen|unten]].

Mit dieser Definition kann einer bestimmten Abbildung aller vier 2-Tupel – beispielsweise: <w,w>, <f,f> sind wahr, die beiden übrigen falsch (im Schema: ''wffw'') – eindeutig eine logische Verknüpfungsform zweier Teilsätze – beispielsweise "p genau dann, wenn q" in dem Satz „Peter kommt ''genau dann, wenn'' die Queen kommt“ – zugewiesen werden. Die Wahrheitsfunktion des letzteren Beispiels wird auch äq-Funktion äq(p,q) genannt, da sie der (materialen) Äquivalenz entspricht, dem [[Bikonditional]].

Damit können auch [[Junktor#Mögliche Junktoren|mögliche Junktoren]] als Wahrheitsfunktion aufgefasst werden; dies kennzeichnet die klassische [[Aussagenlogik]] und setzt sie zum Beispiel von der [[Modallogik#Wahrheitsfunktionalität der Modallogik|modalen Aussagenlogik]] ab.

Vermöge der Zuordnung ''w''→1 und ''f''→0 (oder alternativ ''w''→0 und ''f''→1, siehe [[Logikpegel#Positive und negative Logik|Logikpegel]]) entspricht jede Wahrheitswertefunktion einer [[Boolesche Funktion|Booleschen Funktion]], die sich in einer [[Schaltalgebra]] darstellen lässt.

== Gegenbeispiel ==
Der Wahrheitswert des Satzes "Peter kommt, weil die Queen kommt" ist ''keine'' Funktion der Wahrheitswerte seiner Teilsätze – da selbst wenn beide Teilsätze wahr sind, damit ja noch nicht feststeht, dass Peter kommt, ''weil'' die Queen kommt, aus ebendiesem Grund. Diese [[Kausalität]] ist nicht als wahrheitsfunktionale Verknüpfung der Teilsätze darzustellen. Für die kausale Begründung braucht es daher einen weiteren Zusammenhang.

Die [[Paradoxien der materialen Implikation]] motivierten dazu, nach Alternativen zur klassischen Logik zu suchen. Entweder durch Entwicklung mehrwertiger Logiken oder durch Verzicht auf Wahrheitsfunktionen „im üblichen Sinne“ bei der semantischen Begründung eines Logikkalküls (vgl. [[Modallogik]]).<ref>Vgl. [[Kuno Lorenz]]: ''Wahrheitsfunktion'', in: [[Jürgen Mittelstraß]] (Hrsg.): ''Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie.'' 2. Auflage. Band 8: Th - Z. Metzler, Stuttgart 2018, ISBN 978-3-476-02107-6, S. 386.</ref>

== Wahrheitstabellen ==
Eine einfache Möglichkeit, eine Wahrheitswertefunktion für endlich viele Wahrheitswerte zu definieren, ist die [[Wahrheitstabelle]].

Die nachstehende Tafel gibt alle ''1-stelligen zweiwertigen Wahrheitsfunktionen'' an. Eine Wahrheitsfunktion bildet stets alle Tupel ihres Definitionsbereichs – hier beide 1-Tupel <w> und <f> in Spalte p des Arguments – in der Wahrheitswertemenge ab. Dabei sind <math>f_1^1</math> und <math>f_4^1</math> [[konstante Funktion]]en; <math>f_2^1</math> ist die ''[[Identische Abbildung|identische]]'' einstellige Wahrheitsfunktion; <math>f_3^1</math> ist die ''Negationsfunktion'' non(p), auch kurz [[Negation#Die Negation in der zweiwertigen Logik|Negation]].

<math>\begin{array}{|c||c|c|c|c|}
\hline
p & f_1^1\ & f_2^1\ & f_3^1\ & f_4^1 \\
\hline
w & w & w & f & f \\
f & w & f & w & f \\
\hline
\end{array}</math>

Die folgende Übersicht zeigt die 16 möglichen Belegungsmuster ''2-stelliger zweiwertiger Wahrheitswertefunktionen'' durch die Werte 1 und 0 (mit der Zuordnung ''w''→1 und ''f''→0). Die oben besprochene [[Konjunktion (Logik)|et-Funktion]] oder [[Und-Gatter|AND]] ist hier die Funktion <math>f_8^2</math>; die [[Bikonditional|äq-Funktion]] oder [[XNOR-Gatter|XNOR]] ist die Funktion <math>f_7^2</math>.

Des Weiteren ist <math>f_{10}^2</math> die [[Kontravalenz|aut-Funktion]] oder [[Exklusiv-Oder-Gatter|XOR]]; <math>f_2^2</math> ist die [[Disjunktion|vel-Funktion]] oder [[Oder-Gatter|OR]]; <math>f_{15}^2</math> ist die [[Charles Sanders Peirce|Peirce]]-Funktion oder [[NOR-Gatter|NOR]]; <math>f_9^2</math> ist die [[Henry Maurice Sheffer|Sheffer]]-[[Shefferscher Strich|Funktion]] oder [[NAND-Gatter|NAND]]; <math>f_5^2</math> ist die [[Subjunktion|seq-Funktion]] und entspricht dem Konditional oder der materialen [[Implikation]].

<math>\begin{array}{|c|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
p & q & f_1^2\ & f_2^2\ & f_3^2\ & f_4^2\ & f_5^2\ & f_6^2\ & f_7^2\ & f_8^2\ & f_9^2\ & f_{10}^2 & f_{11}^2 & f_{12}^2 & f_{13}^2 & f_{14}^2 & f_{15}^2 & f_{16}^2 \\
\hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
\hline
\end{array}</math>

<math>f_1^2</math> und <math>f_{16}^2</math> sind dabei konstante Funktionen, die für alle möglichen Eingaben stets den gleichen Wert liefern: <math>1</math> beziehungsweise <math>0</math>; sie werden auch als [[Tautologie (Logik)|Tautologie]] beziehungsweise als [[Kontradiktion]] interpretiert (und daher gelegentlich ''Verum'' bzw. ''Falsum'' genannt).

Weniger übersichtlich würden sich die möglichen Belegungsmuster [[Mehrwertige Logik|''dreiwertiger'']] Wahrheitswertefunktionen zeigen lassen. Der Aussage (p) wäre dann neben "w" und "f" noch ein dritter Wert zuordenbar – beispielsweise "u" für unbestimmt – und gleiches gilt für die möglichen Funktionswerte. Daraus ergeben sich 33 = 27 verschiedene ''1-stellige dreiwertige Wahrheitswertefunktionen''.<ref>Daher womöglich auch: „Es soll sich a priori angeben lassen, ob ich z. B. in die Lage kommen kann, etwas mit dem Zeichen einer 27stelligen Relation bezeichnen zu müssen.“ ([[Ludwig Wittgenstein]]: ''[[Tractatus logico-philosophicus]].'' Kegan Paul, Trench, Trubner & Co., London 1922, Nummer [http://tractatus.net.tiddlyspot.com/ ''5.5541'']).</ref> Für die Angabe 2-stelliger dreiwertiger müssten in den beiden Spalten ''p'' und ''q'' anstatt der 22 = 4 dann 32 = 9 Zeilen abgetragen werden. In den folgenden Spalten wären 39 = 19.683 mögliche [[Variation (Kombinatorik)#Variation mit Wiederholung|Variationen]] der Wahrheitswerte zu tabellieren für alle ''2-stelligen dreiwertigen Wahrheitsfunktionen'' (gegenüber den oben aufgeführten 16 aller 2-stelligen zweiwertigen).

Die Anzahl ''3-stelliger Wahrheitswertefunktionen'' beträgt auf ''zweiwertiger'' Basis <math>2^{2^{3}}</math> = 28 = 256 und auf ''dreiwertiger'' dann <math>3^{3^{3}}</math> = 327 = 7.625.597.484.987 (welche sich hier noch weniger übersichtlich zeigen ließen).

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Logik]]

Wahrheitswertefunktion - Versionsgeschichte

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