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2025-04-30T08:47:30Z

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Als '''Wachstumsrate''' bezeichnet man die relative Zunahme einer Größe in einem Zeitraum (einer Periode) oder auch, bei Betrachtung mehrerer Perioden, die ''mittlere'' relative Zunahme einer Größe pro Zeitspanne.

Oft wird hierbei ein [[Exponentielles Wachstum]] angenommen. Statt mit der Wachstumsrate <math>p</math> wird dann meist mit dem [[Wachstumsfaktor (Mathematik)|Wachstumsfaktor]] <math>q=1+p</math> gerechnet. Eine Wachstumsrate von 23 % (also <math>p=0{,}23</math>) entspricht dem Wachstumsfaktor <math>q=1{,}23</math>.

== Definition ==
Die ''diskrete Wachstumsrate'' <math>p</math> ist die Änderung einer von der Zeit <math>t</math> abhängigen Größe <math>A(t)</math> zwischen zwei Zeitpunkten <math>t_0</math> und <math>t</math> relativ zu ihrem Ausgangswert <math>A(t_0)</math>:
:<math>p = \frac{A(t) - A(t_0)}{A(t_0)}</math>.

Verkürzt man die Periode immer mehr hin zu ihrem Anfangszeitpunkt, bildet man also den [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]], dann erhält man die ''stetige Wachstumsrate'' <math>w</math> zu diesem Zeitpunkt. Sie ist die momentane Änderung der Größe <math>A(t)</math> zu einem konkreten Zeitpunkt <math>t_0</math> relativ zu ihrem Wert <math>A(t_0)</math> zu diesem Zeitpunkt.
:<math>w = \frac{1}{A(t_0)} \cdot \frac{dA}{dt}(t_0)</math>

Die mittlere diskrete Wachstumsrate über mehrere Zeitspannen wird durch die allgemeine Gleichung
:<math>\operatorname{Wachstumsrate}(t_0,t) = \left( \frac{A(t)}{A(t_0)} \right)^\frac{1}{n} - 1 </math>
ausgedrückt, wobei <math>n=t-t_0</math> die Anzahl der Zeitspannen zwischen <math>t_0</math> und <math>t</math> und <math>A(t)</math> die betrachtete Größe zum jeweiligen Zeitpunkt <math>t</math> darstellt. Hierbei handelt es sich um die Wachstumsrate aus dem [[Geometrisches Mittel|geometrischen Mittel]] der Wachstumsfaktoren der einzelnen Perioden.

== {{Anker|CAGR}}Jährliche Wachstumsrate (''Compound Annual Growth Rate'') ==
Eine spezielle Wachstumsrate ist die jährliche Wachstumsrate (engl. ''Compound Annual Growth Rate'', abgekürzt ''CAGR''), eine wesentliche Kennziffer zur Betrachtung von Investitionen, [[Marktentwicklung]]en, Umsätzen etc. in der [[Betriebswirtschaftslehre|Betriebswirtschaft]] und in der Volkswirtschaft. Die CAGR stellt das [[durchschnitt]]<nowiki/>liche jährliche [[Wirtschaftswachstum|Wachstum]] einer betrachteten Größe dar.

Zur Berechnung wird der aktuelle Wert durch den Ausgangswert geteilt. Von dem Ergebnis wird die <math>n</math>-te Wurzel gezogen, wobei <math>n</math> die Anzahl der Jahre ist, die betrachtet werden. Die Compound Annual Growth Rate stellt also den mittleren Prozentsatz dar, um den der Anfangswert einer Zeitreihe auf hypothetische Folgewerte für die Berichtsjahre wächst, bis der tatsächliche [[Endwert]] am Ende der Berichtsperiode erreicht ist. Tatsächliche Ausschläge der Folgejahre in der Zwischenzeit wirken sich dabei nicht aus, die Wachstumsrate ist konstant.

Die Formel für die CAGR ist dieselbe wie die der Wachstumsrate, wobei bei CAGR die Größe <math>n</math> als Anzahl von Jahren ausgedrückt wird.

Beispiel: Eine Firma erzielt im Jahr 2004 einen Umsatz von einer Million Euro. Im Jahr 2006 beträgt der Umsatz 1,21 Millionen Euro. Die Anzahl der Zeiteinheiten <math>n</math> beträgt 2006–2004 = 2.
:<math>\operatorname{CAGR}(2004,2006) = \left( \frac{1.210.000}{1.000.000} \right)^\frac{1}{2} - 1 = 0{,}1 = 10\ \%</math>

Die jährliche Wachstumsrate beträgt 10 %. Wenn man daher den Ausgangswert zweimal mit dem entsprechenden Wachstumsfaktor 1,1 multipliziert, erhält man den Endwert:
:<math>1.000.000 \cdot 1{,}1 \cdot 1{,}1 = 1.210.000</math>

== Spezifische Wachstumsrate in der Biologie ==
Bei exponentiellem Wachstum ist die Geschwindigkeit der Veränderung der Zellmasse (<math>\tfrac{dX}{dt}</math>) zu jedem Zeitpunkt proportional zur Zellmasse <math>X</math>. Die Proportionalitätskonstante wird als spezifische Wachstumsrate <math>\mu</math> bezeichnet:<ref name="„Lexikon3“">Hans-Dieter Jakubke, Ruth Karcher (Koordinatoren): ''Lexikon der Chemie'' in drei Bänden, Spektrum Verlag, Band 3, Heidelberg 1999, ISBN 3-8274-0381-2, S. 257.</ref>

:<math>\frac{dX}{dt} = \mu X</math>
Andere zur Beschreibung von [[Fermentation]]sprozessen benutzte Kenngrößen sind die [[spezifische Produktbildungsrate]] und der [[Spezifischer Substratverbrauch|spezifische Substratverbrauch]].

== Beziehung zur Wachstumskonstanten λ ==
Wird zur mathematischen Beschreibung des [[Exponentielles Wachstum|Exponentiellen Wachstums]] einer zeitabhängigen [[Physikalische Größe|Größe]] <math> A(t)</math> eine Funktion der Form

: <math> A(t) = A_0 \cdot \left( 1+p \right)^{t/T} = A_0 \cdot q^{t/T} = A_0 \cdot e^{r t/T}</math>

mit einer explizit aufgeführten Zinsperiode (z. B. <math>T = 1\ \text{Jahr}</math>) verwendet, so kann die [[Periode (Physik)|Periodendauer]] <math>T</math> in die Wachstumskonstante <math>\lambda</math> umgerechnet werden:

: <math>A(t) = A_0 \cdot e^{\lambda t} \quad \text{mit} \quad \lambda = \frac{r}{T} = \frac{\ln(q)}{T} = \frac{\ln(1+p)}{T}</math>

Die Wachstumskonstante <math>\lambda</math> hat das [[Formelzeichen]] der [[Wellenlänge]] und die Dimension einer [[Frequenz]]. Sie hat in der Regel denselben [[Physikalische Größe#Zahlenwert und Einheit|Zahlenwert]] wie die Zahl <math>r</math>, die auch als Wachstumskonstante (oft mit dem Symbol <math>k</math>) oder als Rate <math>r</math> bezeichnet wird, da sie für kleine Prozentsätze unter 10 % näherungsweise gleich der Wachstumsrate <math>p</math> ist:

:<math>r = \ln ( 1 + p ) \approx p \quad \text {falls} \quad |p| < 0{,}1</math>

{{Siehe auch|Exponentielles Wachstum#Funktion des exponentiellen Wachstums|titel1=Funktion des exponentiellen Wachstums}}

== Weblinks ==
* {{Internetquelle |werk=Gabler Wirtschaftslexikon |url=https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/wachstumsrate-48609 |autor=Udo Kamps |titel=Wachstumsrate |zugriff=2014-09-26}}
* {{Internetquelle |autor=Rolf Hüpen |url=https://www.ruhr-uni-bochum.de/wista/download/Beilagen/Wachstumsraten.pdf |titel=Zur Berechnung von Wachstumsraten in diskreter Zeit |werk=ruhr-uni-bochum.de |datum=2002 |format=PDF; 58 kB |archiv-url=https://web.archive.org/web/20121021040111/https://www.ruhr-uni-bochum.de/wista/download/Beilagen/Wachstumsraten.pdf |archiv-datum=2012-10-21 |abruf=2025-04-30 |abruf-verborgen=1}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4188804-2}}
[[Kategorie:Betriebswirtschaftliche Kennzahl]]
[[Kategorie:Volkswirtschaftliche Kennzahl]]

Wachstumsrate - Versionsgeschichte

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