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2025-10-18T12:32:41Z

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{{Dieser Artikel|behandelt Vorzeichenwechsel mathematischer Funktionen; zu Vorzeichenwechseln in musikalischer Notation siehe [[Vorzeichen (Musik)]].}}

Ein '''Vorzeichenwechsel''' ist in der [[Mathematik]] ein Wechsel des [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichens]] der [[Funktionswert]]e einer [[reelle Funktion|reellen Funktion]] an einer Stelle oder innerhalb eines [[Intervall (Mathematik)|Intervalls]]. Weist eine [[Stetige Funktion|stetige]] reelle Funktion in einem Intervall einen Vorzeichenwechsel auf, so besitzt sie nach dem [[Zwischenwertsatz|Nullstellensatz]] dort mindestens eine [[Nullstelle]]. Eine [[Differenzierbarkeit|differenzierbare]] reelle Funktion besitzt an einer Stelle ein [[Extremum]], wenn ihre [[Differentialrechnung|Ableitung]] dort gleich null ist und ihr Vorzeichen wechselt. Entsprechend besitzt eine zweimal differenzierbare reelle Funktion an einer Stelle einen [[Wendepunkt]], wenn ihre [[Krümmung]] dort gleich null ist und ihr Vorzeichen wechselt. Vorzeichenwechsel in reellen [[Folge (Mathematik)|Zahlenfolgen]] spielen eine wichtige Rolle bei der Analyse der Nullstellen von [[Polynom]]en.

== Vorzeichenwechsel an einer Stelle ==
[[Bild:Vorzeichenwechsel.svg|miniatur|Vorzeichenwechsel bei stetigen Funktionen]]
[[Bild:Hyperbola one over x.svg|miniatur|Polstelle mit Vorzeichenwechsel]]

=== Definition ===

Eine reelle Funktion <math>f \colon [a,b] \to \R</math> weist an der Stelle <math>x_0 \in (a,b)</math> einen Vorzeichenwechsel auf, wenn die Funktionswerte von <math>f</math> dort ihr Vorzeichen ändern. Es werden die folgenden zwei Fälle unterschieden:<ref name="luh144">{{Literatur|Autor=Wolfgang Luh, Karin Stadtmüller|Titel=Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler|Verlag=Oldenbourg|Jahr=2004|Seiten=144}}</ref>

* Vorzeichenwechsel von plus nach minus: es existiert ein <math>\varepsilon >0</math>, sodass <math>f(x) > 0</math> für alle <math>x \in (x_0-\varepsilon,x_0)</math> und <math>f(x) < 0</math> für alle <math>x \in (x_0,x_0+\varepsilon)</math> gilt
* Vorzeichenwechsel von minus nach plus: es existiert ein <math>\varepsilon >0</math>, sodass <math>f(x) < 0</math> für alle <math>x \in (x_0-\varepsilon,x_0)</math> und <math>f(x) > 0</math> für alle <math>x \in (x_0,x_0+\varepsilon)</math> gilt

Ist die Funktion <math>f</math> stetig, dann durchdringt der [[Funktionsgraph]] von <math>f</math> an der Stelle <math>x_0</math> die [[x-Achse]]. Kein Vorzeichenwechsel liegt vor, wenn der Graph der Funktion die x-Achse an der Stelle <math>x_0</math> lediglich berührt. Besitzt die Funktion <math>f</math> an der Stelle <math>x_0</math> eine senkrechte [[Asymptote]], so spricht man von einer [[Polstelle]] mit Vorzeichenwechsel.<ref>{{Literatur|Autor=Hannes Stoppel|Titel=Mathematik anschaulich: Brückenkurs mit Maple|Verlag=Oldenbourg|Jahr=2002|Seiten=26}}</ref>

=== Bestimmung von Extrema ===

In der [[Kurvendiskussion]] liefert das sogenannte ''Vorzeichenwechselkriterium'' eine [[hinreichend]]e Bedingung für das Vorhandensein eines [[Extremum]]s an einer Stelle. Eine [[Differenzierbarkeit|differenzierbare]] reelle Funktion <math>f \colon [a,b] \to \R</math> besitzt an der Stelle <math>x_0 \in (a,b)</math> ein Extremum, wenn <math>f'(x_0)=0</math> ist und <math>f'</math> an der Stelle <math>x_0</math> das Vorzeichen wechselt. Die Funktion <math>f</math> besitzt dann an <math>x_0</math>

* ein [[lokales Maximum]], wenn <math>f'</math> das Vorzeichen von plus nach minus wechselt
* ein [[lokales Minimum]], wenn <math>f'</math> das Vorzeichen von minus nach plus wechselt

Im ersten Fall ist die Funktion <math>f</math> für <math>x < x_0</math> [[Streng monoton steigende Funktion|streng monoton steigend]] und für <math>x > x_0</math> streng monoton fallend, im zweiten Fall umgekehrt.<ref name="luh144" />

=== Bestimmung von Wendepunkten ===

Analog kann das Vorzeichenwechselkriterium auch zur Bestimmung von [[Wendepunkt]]en eingesetzt werden. Eine zweimal differenzierbare reelle Funktion <math>f \colon [a,b] \to \R</math> besitzt an der Stelle <math>x_0 \in (a,b)</math> einen Wendepunkt, wenn <math>f''(x_0)=0</math> ist und <math>f''</math> an der Stelle <math>x_0</math> das Vorzeichen wechselt. Das Krümmungsverhalten der Funktion <math>f</math> ändert sich dann an <math>x_0</math>

* von [[Konvexe und konkave Funktionen|konvex nach konkav]], wenn <math>f''</math> das Vorzeichen von plus nach minus wechselt
* von konkav nach konvex, wenn <math>f''</math> das Vorzeichen von minus nach plus wechselt

Im ersten Fall ist die Ableitung <math>f'</math> für <math>x < x_0</math> streng monoton steigend und für <math>x > x_0</math> streng monoton fallend, im zweiten Fall umgekehrt.<ref name="luh150">{{Literatur|Autor=Wolfgang Luh, Karin Stadtmüller|Titel=Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler|Verlag=Oldenbourg|Jahr=2004|Seiten=150}}</ref>

== Vorzeichenwechsel in einem Intervall ==

=== Definition ===

Eine reelle Funktion <math>f \colon [a,b] \to \R</math> weist in dem Intervall <math>[a,b]</math> einen ''Vorzeichenwechsel'' auf, wenn es zwei verschiedene Stellen <math>\alpha, \beta \in [a,b]</math> gibt, für die

:<math>f(\alpha) \cdot f(\beta) \leq 0</math>

gilt. Gilt sogar

:<math>f(\alpha) \cdot f(\beta) < 0</math>,

so spricht man von einem ''echten Vorzeichenwechsel''. Die Ungleichungsbedingung besagt, dass die Funktion <math>f</math> an den beiden Stellen <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> ein unterschiedliches Vorzeichen hat (oder gleich null ist).<ref name="walter">{{Literatur|Autor=Rolf Walter|Titel=Einführung in die Analysis, Teil 1|Verlag=de Gruyter|Jahr=2007|Seiten=138}}</ref>

=== Nullstellensatz ===

Weist eine stetige reelle Funktion <math>f</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> einen Vorzeichenwechsel auf, so besitzt diese Funktion in diesem Intervall mindestens eine [[Nullstelle]], das heißt eine Lösung <math>x_0</math> der Gleichung

:<math>f(x) = 0</math>.

Nach der Definition eines Vorzeichenwechsels existieren nämlich in dem Intervall Stellen <math>\alpha \neq \beta</math> mit <math>f(\alpha) \cdot f(\beta) \leq 0</math>. Nun lässt sich eine [[Intervallschachtelung]] <math>([\alpha_n,\beta_n])_n</math> mit <math>\alpha_0 = \alpha</math> und <math>\beta_0 = \beta</math> konstruieren, sodass für alle <math>n \in \N</math>

:<math>f(\alpha_n) \cdot f(\beta_n) \leq 0</math>

gilt. Hierzu wird das Intervall <math>[\alpha_0,\beta_0]</math> sukzessive halbiert und jeweils dasjenige Teilintervall ausgewählt, für das die Ungleichungsbedingung erhalten bleibt. Die gesuchte Nullstelle ergibt sich dann als

:<math>x_0 = \lim_{n \to \infty} \alpha_n = \lim_{n \to \infty} \beta_n</math>.

Eine Verallgemeinerung dieser als ''Nullstellensatz'' oder ''Nullstellensatz von Bolzano'' (nach [[Bernard Bolzano]]) bekannten Aussage ist der [[Zwischenwertsatz]].<ref name="walter" />

=== Verwendung ===

In der [[Numerische Mathematik|numerischen Mathematik]] werden endliche Intervallschachtelungen zur numerischen [[Approximation]] von Nullstellen verwendet. Im [[Bisektionsverfahren]] und im [[Regula-falsi-Verfahren]] werden Varianten solcher Intervallschachtelungen eingesetzt, um eine Nullstelle einer gegebenen stetigen Funktion, bei der zwei Stellen mit unterschiedlichen Vorzeichen bekannt sind, näherungsweise zu bestimmen. In der [[Optimierung (Mathematik)|Optimierung]] kommen solche Intervallschachtelungsverfahren bei der Bestimmung der Minima oder Maxima einer gegebenen stetig differenzierbaren Funktion zum Einsatz, indem die Nullstellen der ersten Ableitung der Funktion näherungsweise ermittelt werden.

== Vorzeichenwechsel in einer Folge ==

=== Definition ===

Ist <math>(a_n)</math> eine [[Folge (Mathematik)|Folge]] reeller Zahlen, die alle ungleich null sind, dann ist ein Vorzeichenwechsel dieser Folge ein [[Index (Mathematik)|Indexpaar]] <math>(i,i+1)</math>, für das

:<math>a_i \cdot a_{i+1} < 0</math>

gilt. Die Vorzeichenwechsel einer beliebigen Folge reeller Zahlen werden dann als die Vorzeichenwechsel der [[Teilfolge]] der von null verschiedenen Elemente dieser Folge definiert. Beispielsweise besitzt die Folge

:<math>2,0,1,0,0,-2,2,1,0,-1</math>

genau drei Vorzeichenwechsel.<ref>{{Literatur|Autor=Günter Scheja, Uwe Storch|Titel=Lehrbuch der Algebra, Teil 2|Verlag=Springer|Jahr=1988|Seiten=112}}</ref>

=== Verwendung ===

Die Vorzeichenwechsel der Koeffizientenfolge eines reellen [[Polynom]]s geben Hinweise auf die Anzahl und die Verteilung der Nullstellen der zugehörigen [[Polynomfunktion]]. Nach der [[Vorzeichenregel von Descartes]] ist die Anzahl der positiven Nullstellen eines reellen Polynoms gleich oder um eine [[Gerade Zahl|gerade]] [[natürliche Zahl]] kleiner als die Zahl der Vorzeichenwechsel seiner Koeffizientenfolge. Hierbei wird jede Nullstelle entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt.

Ein weiteres Hilfsmittel bei der Analyse der Nullstellen reeller Polynome bieten [[sturmsche Kette]]n. Ist <math>P</math> ein Polynom ohne mehrfache Nullstellen und <math>\sigma(a)</math> die Anzahl der Vorzeichenwechsel der (endlichen) Folge der Funktionswerte der sturmschen Kette von <math>P</math> an der Stelle <math>a</math>, dann ist nach der [[Regel von Sturm]] die Anzahl der Nullstellen von <math>P</math> in dem halboffenen Intervall <math>(a,b]</math> gerade gleich <math>\sigma(a)-\sigma(b)</math>.

== Siehe auch ==
* [[Vorzeichentabelle]]
* [[Vorzeichenfunktion]]
* [[Nulldurchgang]]

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=Wolfgang Luh, Karin Stadtmüller|Titel=Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler|Verlag=Oldenbourg|Jahr=2004|ISBN=978-3-48627-569-8}}
* {{Literatur|Autor=Günter Scheja, Uwe Storch|Titel=Lehrbuch der Algebra, Teil 2|Verlag=Springer|Jahr=1988|ISBN=3-519-02212-5}}
* {{Literatur|Autor=Rolf Walter|Titel=Einführung in die Analysis, Teil 1|Verlag=de Gruyter|Jahr=2007|ISBN=978-3-110-19539-2}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]

Vorzeichenwechsel - Versionsgeschichte

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