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2024-10-04T07:19:35Z

Ableitung und Integral: aufrechte Schreibweise von ‚d‘ im math. Differential ‚dt‘

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Die '''Vorzeichenfunktion''' oder '''Signumfunktion''' (von {{laS|signum|de=Zeichen}}) ist in der [[Mathematik]] eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die einer [[Reelle Zahl|reellen]] oder [[Komplexe Zahl|komplexen Zahl]] ihr [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zuordnet.

== Vorzeichenfunktion auf den reellen Zahlen ==
=== Definition ===
[[Datei:Signum function.svg|mini|Graph der Vorzeichenfunktion]]

Die reelle Vorzeichenfunktion bildet von der Menge der [[Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] in die [[Menge (Mathematik)|Menge]] <math>\{-1, 0, 1\}</math> ab und wird in der Regel wie folgt definiert:

: <math>\sgn(x):=
\begin{cases}
+1, & \; \text{falls} \quad x>0, \\
\;\;\,0, & \; \text{falls} \quad x=0, \\
-1, & \; \text{falls} \quad x<0. \\
\end{cases}
</math>

Sie ordnet also den [[Positive und negative Zahlen|positiven]] Zahlen den Wert +1, den negativen Zahlen den Wert −1 und der 0 den Wert 0 zu.

Anwendungsabhängig, beispielsweise in der Rechentechnik, verwendet man alternative Definitionen für 0. Diese wird dann den positiven (<math>\sgn(0) = 1</math>), negativen (<math>\sgn(0) = -1</math>), beiden Zahlenbereichen entweder wahlweise (<math>\sgn(+0) = +1</math>, <math>\sgn(-0) = -1</math>), oder gleichzeitig (<math>\sgn(0) = \pm 1</math>), oder undefiniert (<math>\sgn(0) = \mathrm{undef}</math>)<ref>{{Literatur |Autor=Eugene D. Denman, Alex N. Beavers |Titel=The matrix sign function and computations in systems |Sammelwerk=Applied Mathematics and Computation |Band=2 |Nummer=1 |Verlag=Elsevier |Datum=1976-01 |ISSN=0096-3003 |Seiten=63–94 |DOI=10.1016/0096-3003(76)90020-5}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Charles S. Kenney, Alan J. Laub |Titel=The matrix sign function |Sammelwerk=IEEE Transactions on Automatic Control |Band=40 |Nummer=8 |Verlag=Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE) |Datum=1995-08 |Seiten=1330–1348 |DOI=10.1109/9.402226}}</ref> zugeordnet. Da die Null eine [[Nullmenge]] unter dem [[Lebesgue-Maß]] ist, ist dies für praktische Anwendungen oft nicht von Bedeutung. Unabhängig von der Definition der Vorzeichenfunktion (die variiert), wird in der [[Gleitkommazahl|Gleitkommadarstellung]] üblicherweise dem Vorzeichen ein [[Bit]] zugewiesen.

Für den Fall, dass <math>\sgn(0) = 1</math> gesetzt wird, besteht folgender Zusammenhang zur [[Heaviside-Funktion]] <math>\Theta(x)</math>:
:<math>\sgn(x) = 2 \Theta(x) - 1</math>

=== Rechenregeln ===

Durch Fallunterscheidung ist leicht beweisbar:

* Für alle <math>x \in \R</math> mit [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|x|</math> gilt <math>x=|x|\cdot\sgn(x) \; \text{sowie} \; x\cdot\sgn (x)=|x|</math>.

* Die Signumfunktion ist eine [[Gerade und ungerade Funktionen#Definition|ungerade Funktion]]:

::<math>\sgn(-x) = -\sgn(x)</math> für alle <math> x \in \R</math>.

* Ist <math>k \in \R</math> eine Konstante und <math>f</math> eine [[Gerade und ungerade Funktionen#Definition|ungerade Funktion]], so ist

::<math>f(k \cdot x) \quad = f(\sgn(k) \cdot |k| \cdot x) \quad = \sgn(k) \cdot f(|k| \cdot x)</math>

* Für <math>x \neq 0</math> ist der Übergang zur reziproken Zahl mit der Signumfunktion verträglich und ändert nichts an deren Wert:

:: <math>\sgn(x^{-1}) = (\sgn (x)) ^{-1} = \sgn(x) </math> für alle <math> 0 \neq x \in \R</math>.

* Die Signumfunktion ist mit der Multiplikation verträglich:

::<math>\sgn(x) \cdot \sgn(y) = \sgn(x \cdot y)</math> für alle <math> x,y \in \R</math>.

* Die Signumfunktion ist [[Idempotenz|idempotent]]:

::<math>\sgn(\sgn(x)) = \sgn(x)</math> für alle <math> x \in \R</math>.

Aus den beiden letztgenannten Rechenregeln folgt beispielsweise, dass sich die in einem aus beliebig vielen Faktoren zusammengesetzten Argument der Signumfunktion ein Faktor <math>x_j</math> durch <math>\sgn(x_j)</math> ersetzen lässt, ohne den Funktionswert zu ändern:

:<math>\sgn \bigg(x_j \cdot \prod_{i} x_i \bigg) = \sgn \bigg(\sgn(x_j) \cdot \prod_{i} x_i \bigg)</math> für beliebige <math> x_i, x_j \in \R</math>.

=== Ableitung und Integral ===
[[Datei:Discontinuity of the sign function at 0.svg|mini|Die Vorzeichenfunktion ist an der Stelle 0 nicht stetig.]]
Die Vorzeichenfunktion ist an der Stelle <math>x=0</math> nicht stetig und damit dort nicht klassisch differenzierbar. Für alle anderen Stellen <math>x\neq 0</math> ist die Vorzeichenfunktion differenzierbar mit <math>\sgn^\prime(x) = 0</math>. Die Vorzeichenfunktion besitzt auch keine [[schwache Ableitung]]. Allerdings ist sie im Sinne von [[Distribution (Mathematik)|Distributionen]] differenzierbar, und ihre Ableitung ist <math>2\delta</math>, wobei <math>\delta</math> die [[Delta-Distribution]] bezeichnet.

Ferner gilt für alle <math>x \in \R </math>

: <math>|x|=\int_0^x \sgn(t)\, \mathrm dt\,.</math>

Die Vorzeichenfunktion ist darüber hinaus die [[schwache Ableitung]] der [[Betragsfunktion]].

== Vorzeichenfunktion auf den komplexen Zahlen ==
=== Definition ===
[[Datei:ComplexSign.svg|alternativtext=|mini|Signum von vier komplexen Zahlen]]
Im Vergleich zur Vorzeichenfunktion reeller Zahlen wird nur selten die folgende Erweiterung auf komplexe Zahlen betrachtet:
: <math>\sgn(z) :=
\begin{cases}
\frac {z} {|z|} & \; \text{falls} \quad z\ne 0 \\
0 & \; \text{falls} \quad z=0 \\
\end{cases}
</math>

Das Ergebnis dieser Funktion liegt für <math>z \ne 0</math> auf dem [[Einheitskreis]] und besitzt dasselbe Argument wie der Ausgangswert, insbesondere gilt
: <math>\sgn\left(r\mathrm e^{\mathrm i\varphi}\right)=\mathrm e^{\mathrm i\varphi},\qquad\mathrm{falls}\ r>0.</math>

'''Beispiel:''' <math>z_1 = 2 + 2\mathrm i</math> (im Bild rot)
: <math>\operatorname{sgn}(z_1) = \operatorname{sgn}(2 + 2\mathrm i) = \frac {2 + 2\mathrm i} {\left| 2 + 2\mathrm i \right|} = \frac {2 + 2\mathrm i} {2\sqrt2} = \frac {1 + \mathrm i} {\sqrt{2}} = \frac{\sqrt2}2+\frac{\sqrt2}{2} {\mathrm i}.</math>

=== Rechenregeln ===
Für die komplexe Vorzeichenfunktion gelten die folgenden Rechenregeln:

Für alle komplexen Zahlen <math>z</math> und <math>w</math> gilt:
* <math>z=|z|\cdot\sgn z</math> für alle <math>z,</math> wobei <math>|z|</math> den [[Betragsfunktion|Betrag]] von <math>z</math> bezeichnet;
* <math>\operatorname{sgn}(\bar z) = \overline{\operatorname{sgn}(z)}</math>, wobei der Querstrich die [[komplexe Konjugation]] bezeichnet;
* <math>\sgn(z\cdot w)=\sgn z\cdot\sgn w</math>, insbesondere
** <math>\sgn(\lambda\cdot z)=\sgn z</math> für positive reelle <math>\lambda</math>,
** <math>\sgn(\lambda\cdot z)=-\sgn z</math> für negative reelle <math>\lambda</math>,
** <math>\operatorname{sgn}(-z) = -\operatorname{sgn}(z)</math>;
* <math>\operatorname{sgn}(|z|) = |\operatorname{sgn}(z)| = \begin{cases}
1 & \; \text{falls} \quad z\ne 0 \\
0 & \; \text{falls} \quad z=0 \\
\end{cases}</math>.
* Falls <math>z\ne0</math> ist, gilt auch
:: <math>\operatorname{sgn}(z^{-1}) = \operatorname{sgn}(z)^{-1} = \overline{\operatorname{sgn}(z)}</math>.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Königsberger
|Titel=Analysis 1
|Auflage=6
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin
|Datum=2003
|ISBN=3-540-40371-X
|Seiten=101}}
* {{Literatur
|Autor=Hildebrandt
|Titel=Analysis 1
|Auflage=2
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin
|Datum=2005
|ISBN=3-540-25368-8
|Seiten=133}}

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Algorithmensammlung: Zahlentheorie: Signum}}
* {{MathWorld|id=Sign|title=Sign}}
* {{PlanetMath|id=SignumFunction|title=Signum function|author=yark, matte, Cam McLeman}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

Vorzeichenfunktion - Versionsgeschichte

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