imported>Aka: https, Kleinkram

2023-10-29T17:08:00Z

https, Kleinkram

Neue Seite

{{Dieser Artikel|behandelt die Vorkonditionierung in der numerischen Mathematik. Zur Vorkonditionierung bei Elektroautos siehe [[Vorkonditionierung (Elektroauto)]].}}
In der [[Numerische Mathematik|numerischen Mathematik]] bezeichnet '''Vorkonditionierung''' eine Technik, mittels derer ein Problem so umgeformt wird, dass die Lösung erhalten bleibt, sich jedoch für das gewählte numerische Lösungsverfahren positive Eigenschaften wie bessere [[Kondition (Mathematik)|Kondition]] oder schnellere [[Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] ergeben.

Die gebräuchlichste Form der Vorkonditionierung ist die ''lineare'', bei der ein [[lineares Gleichungssystem]] <math>Ax=b</math> äquivalent umgeformt wird. Diese Art der Vorkonditionierung findet insbesondere bei der Lösung des Gleichungssystems mittels [[Krylow-Unterraum-Verfahren]] Anwendung.
Eine andere wichtige Form entsteht durch Multiplikation des Zeitableitungsterms einer [[partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichung]] mit einer nichtlinearen Vorkonditionierung. Hierbei bleibt die stationäre Lösung der Gleichung erhalten.

== Lineare Vorkonditionierung ==
Hier unterscheidet man zwischen Linksvorkonditionierung, bei der das Gleichungssystem <math>Ax=b</math> von links mit einer [[Reguläre Matrix|regulären Matrix]] multipliziert wird: <math>MAx=Mb</math> und Rechtsvorkonditionierung, bei der das Gleichungssystem <math>AMy=b</math> mit <math>y=M^{-1}x</math> gelöst wird. Der Vorkonditionierer sollte die [[Inverse Matrix|Inverse]] von <math>A</math> mit geringstmöglichem Aufwand bestmöglich approximieren. Prinzipiell ist jedes [[Iteratives Verfahren|iterative Gleichungslösungsverfahren]] wie das [[Jacobi-Verfahren|Jacobi-]] oder das [[Gauß-Seidel-Verfahren]] als Vorkonditionierer einsetzbar, dabei ist die Matrix <math>M</math> für die Vorkonditionierung die Inverse <math>B^{-1}</math> der als <math>B</math> bezeichneten Matrix im Artikel [[Splitting-Verfahren]].

Ein einfaches Beispiel eines Vorkonditionierers ist die [[Äquilibrierung]], also die [[Skalarmultiplikation|Skalierung]] der Zeilen oder Spalten des Gleichungssystems mit individuellen Faktoren, so dass alle Zeilen bzw. Spalten der Matrix anschließend die gleiche [[Norm (Mathematik)|Norm]] besitzen.

Im Kontext von [[Krylow-Unterraum-Verfahren]] wie dem [[CG-Verfahren]] ist es günstig, wenn die Systemmatrix eine geringe Kondition bzw. insbesondere eine „gute“ [[Eigenwert]]verteilung hat. Hier ist die Hauptanwendung von Vorkonditionierern zu finden, da die [[Konvergenzgeschwindigkeit]] von Krylow-Unterraum-Verfahren so maßgeblich verbessert werden kann.

Neben den schon oben genannten iterativen Verfahren sind unvollständige [[LU-Zerlegung]]en, genannt [[ILU-Zerlegung]]en, von besonderem Interesse. Diese berechnen mittels des [[Gauß-Algorithmus]] eine fehlerbehaftete Zerlegung der Systemmatrix <math>A</math>, bei der nur festgelegte Elemente berechnet werden, um Zeit und Speicher zu sparen.

Seit den [[1990er]] Jahren gewinnen Multilevel-Verfahren wie geometrische und algebraische [[Mehrgitterverfahren]] immer mehr an Bedeutung.

== Nichtlineare Vorkonditionierer ==
Die Berechnung stationärer Lösungen einer partiellen Differentialgleichung kann mittels nichtlinearer Vorkonditionierung effizienter gestaltet werden. Hierzu wird die Zeitableitung mit einem Vorkonditionierer multipliziert, die Zeit geht also für bestimmte Zellen oder Variablen langsamer oder schneller. Dies geschieht vor allem, um die [[CFL-Bedingung]] bei steifen Problemen zu umgehen.

== Literatur ==

* A. Meister: ''Numerik linearer Gleichungssysteme'', Vieweg 1999, ISBN 3-528-03135-2
* Y. Saad: ''Iterative Methods for Sparse Linear Systems'', 2nd edition, SIAM Society for Industrial & Applied Mathematics 2003, ISBN 0-898-71534-2

== Weblinks ==
* [https://www-users.cse.umn.edu/~saad/books.html Y. Saad: ''Iterative Methods for Sparse Linear Systems'', 1st edition, PWS 1996]
* [https://netlib.org/linalg/html_templates/Templates.html Templates for the Solution of Linear Systems]

[[Kategorie:Numerische Mathematik]]

Vorkonditionierung - Versionsgeschichte

imported>Aka: https, Kleinkram