imported>B wik am 29. August 2025 um 07:56 Uhr

2025-08-29T07:56:00Z

Neue Seite

Die '''Von-Neumann-Gleichung''' (nach [[John von Neumann]]) stellt das [[quantenmechanisch]]e [[Analogismus|Analogon]] zur [[Liouville-Gleichung]] der [[Klassische Physik|klassischen]] [[statistische Mechanik|statistischen Mechanik]] dar. Sie beschreibt die [[Zeitentwicklung|zeitliche Entwicklung]] des [[Dichteoperator]]s <math>\hat\rho</math> im [[Schrödinger-Bild]]:

:<math>\frac{\partial\hat\rho}{\partial t}=-\frac{\mathrm i}{\hbar}\left[\hat H,\hat\rho\right]</math>

Dabei ist
* <math>\hat H</math> der [[Hamilton-Operator]] des Systems
* <math>[\hat H, \hat\rho]=\hat H\hat\rho- \hat\rho\hat H</math> ein [[Kommutator (Mathematik)|Kommutator]].
Der Dichteoperator ist <math>\hat{\rho}=\sum\nolimits_{k}\,p_{k}|\psi_{k}\rangle\langle\psi_{k}|</math>. Dabei bezeichnet <math>p_k</math> die [[Wahrscheinlichkeit]], in einem [[Gemischter Zustand|Gemisch]] den reinen [[Zustand (Quantenmechanik)|Zustand]] <math>|\psi_k\rangle</math> zu messen, falls die Zustände <math>|\psi_k\rangle</math> [[orthogonal]] sind. Die [[Spur (Mathematik)|Spur]] <math>\operatorname{Tr}(\hat\rho)</math> eines Dichteoperators ergibt 1, da <math>\operatorname{Tr}(\hat\rho)=\sum\nolimits_{k}p_{k}=1</math>.

== Diskussion ==
Die allgemeine Lösung der Von-Neumann-Gleichung ist, wobei der [[Zeitentwicklungsoperator]] <math>\hat{U}(t)</math> und sein [[adjungierter Operator]] <math>\hat{U}^{\dagger}(t)</math> verwendet werden:

:<math>\hat{\rho}(t)=\hat{U}(t)\hat{\rho}(0)\hat{U}^{\dagger}(t)</math>

Der Dichteoperator ist stationär <math>\tfrac{\partial}{\partial t}\hat{\rho}=0</math>, wenn dieser mit dem Hamiltonoperator vertauscht <math>\left[\hat{H},\hat{\rho}\right]=0</math>.

Mit Hilfe der Von-Neumann-Gleichung kann man zeigen, dass die Spur des quadratischen Dichteoperators zeitlich konstant ist:

:<math>\mathrm{Tr}(\hat{\rho}^{2}(t))=\mathrm{Tr}(\hat{\rho}(t)\hat{\rho}(t))=\mathrm{Tr}(\hat{U}(t)\hat{\rho}(0)\underbrace{\hat{U}^{\dagger}(t)\hat{U}(t)}_{=1}\hat{\rho}(0)\hat{U}^{\dagger}(t))=\mathrm{Tr}(\underbrace{\hat{U}^{\dagger}(t)\hat{U}(t)}_{=1}\hat{\rho}(0)\hat{\rho}(0))=\mathrm{Tr}(\hat{\rho}^{2}(0))</math>
:<math>\Rightarrow\ \frac{\partial}{\partial t} \operatorname{Tr} \left( \hat\rho^2 \right) = 0</math>

Hierbei wurde im vorletzten Schritt die zyklische Invarianz der Spur ausgenutzt. Wegen <math>\operatorname{Tr} \left( \hat\rho^2 \right) \le 1</math> mit Gleichheit genau dann, wenn <math>\rho</math> einen reinen Zustand beschreibt, folgt daraus, dass reine Zustände rein bleiben und gemischte gemischt.

Erwartungswerte von Operatoren werden durch <math>\langle\hat{A}\rangle=\mathrm{Tr}(\hat{\rho}\hat{A})</math> ausgedrückt. Die Zeitabhängigkeit der Erwartungswerte

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle\hat{A}\rangle=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathrm{Tr}(\hat{\rho}\hat{A})=\mathrm{Tr}\left(\frac{\partial\hat{\rho}}{\partial t}\hat{A}+\hat{\rho}\frac{\partial\hat{A}}{\partial t}\right)=\mathrm{Tr}\left(-\frac{\mathrm i}{\hbar}\left[\hat{H},\hat{\rho}\right]\hat{A}+\hat{\rho}\frac{\partial\hat{A}}{\partial t}\right)</math>

ist im stationären Fall gleich:

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle\hat{A}\rangle=\mathrm{Tr}\left(\hat{\rho}\frac{\partial\hat{A}}{\partial t}\right)=\left\langle\frac{\partial\hat{A}}{\partial t}\right\rangle</math>

Der Erwartungswert einer Messung zeitunabhängiger Observablen <math>\tfrac{\partial}{\partial t}\hat{A}=0</math> ist im stationären Fall zeitunabhängig <math>\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle\hat{A}\rangle=0</math>.

== Herleitung ==

Die Von-Neumann-Gleichung lässt sich aus der [[Schrödingergleichung]] herleiten.

Man bildet die partielle Ableitung des statistischen Operators, wobei man die Produktregel berücksichtigt:

:<math>\frac{\partial}{\partial t}\hat{\rho}=\sum_{k}p_{k}\left(\frac{\partial}{\partial t}|\psi_{k}\rangle\right)\langle\psi_{k}|+\sum_{k}p_{k}|\psi_{k}\rangle\left(\frac{\partial}{\partial t}\langle\psi_{k}|\right)</math>

Die Schrödingergleichung lautet für Hilbertraumvektoren (Ket)

:<math>\mathrm i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle=\hat{H}|\psi\rangle\quad\Rightarrow\quad\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle=-\frac{\mathrm i}{\hbar}\hat{H}|\psi\rangle</math>

und für duale Hilbertraumvektoren (Bra)

:<math>-\mathrm i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\langle\psi|=\langle\psi|\hat{H}\quad\Rightarrow\quad\frac{\partial}{\partial t}\langle\psi|=\frac{\mathrm i}{\hbar}\langle\psi|\hat{H}</math>

Dies setzt man oben ein:

:<math>\frac{\partial}{\partial t}\hat{\rho}=\sum_{k}p_{k}\left(-\frac{\mathrm i}{\hbar}\hat{H}|\psi_{k}\rangle\right)\langle\psi_{k}|+\sum_{k}p_{k}|\psi_{k}\rangle\left(\frac{\mathrm i}{\hbar}\langle\psi_{k}|\hat{H}\right)</math>

Vereinfachen liefert die Von-Neumann-Gleichung:

:<math>\frac{\partial}{\partial t}\hat{\rho}=-\frac{\mathrm i}{\hbar}\left(\hat{H}\sum_{k}p_{k}|\psi_{k}\rangle\langle\psi_{k}|-\sum_{k}p_{k}|\psi_{k}\rangle\langle\psi_{k}|\hat{H}\right)=-\frac{\mathrm i}{\hbar}\left(\hat{H}\hat{\rho}-\hat{\rho}\hat{H}\right)=-\frac{\mathrm i}{\hbar}\left[\hat{H},\hat{\rho}\right]</math>

Dieses im Schrödingerbild gewonnene Resultat für den Dichteoperator eines abgeschlossenen Quantensystems darf nicht mit der [[Heisenbergsche Bewegungsgleichung|Heisenbergschen Bewegungsgleichung]] für einen nicht explizit zeitabhängigen Operator

:<math>\frac{\mathrm{d}\hat{A}_{{\rm H}}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{\mathrm i}}{\hbar}\left[\hat{H}_{\rm H},\hat{A}_{\rm H}\right]</math>

verwechselt werden, welche die Zeitentwicklung von Observablen beschreibt und nur formal bis auf ein Vorzeichen mit der Von-Neumann-Gleichung übereinstimmt.

Die formale Ähnlichkeit der Gleichungen erklärt sich dadurch, dass die Observablen im [[Heisenberg-Bild]] die [[C*-Algebra]] der beschränkten linearen Operatoren bilden, wohingegen der Raum der Dichteoperatoren (als [[Spurklasseoperator|Spurklasseoperatoren]]) dem [[Dualraum|Prädual]] dieser C*-Algebra entspricht. Bei konkreter [[Hilbertraum-Darstellung|Hilbertraumrepräsentation]] impliziert die Dualität von Vektorraum- und zugehöriger Dualraumbeschreibung in der einparametrigen [[Unitäre Gruppe|unitären Gruppendynamik]] immer ein unterschiedliches Vorzeichen des Zeitparameters, welcher aufgrund der Zeitableitung auf der jeweils linken Gleichungsseite der Heisenberg- bzw. Von-Neumann-Gleichung ein unterschiedliches Vorzeichen nach sich zieht.

Besonders deutlich wird dieser Unterschied, wenn man analog zum obigen Herleitungsverfahren auch die Heisenberggleichung aus der Schrödingergleichung gewinnt, was für Quantensysteme mit endlichdimensionalem Hilbertraum stets möglich ist.

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=[[Franz Schwabl]]|Titel=Quantenmechanik (QM I)|Auflage=5. erweiterte|Verlag=Springer|Datum=1998|Ort=Berlin u. a.|ISBN=3-540-63779-6|Kommentar=Springer-Lehrbuch}}
* {{Literatur|Autor=[[Ola Bratteli]]|Titel=Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1|Auflage=2.|Verlag=Springer|Ort=Berlin u. a.|Datum=1987|ISBN=3-540-17093-6|Kommentar=Springer-Lehrbuch|Sprache=en}}

[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Statistische Physik]]
[[Kategorie:John von Neumann als Namensgeber]]

Von-Neumann-Gleichung - Versionsgeschichte

imported>B wik am 29. August 2025 um 07:56 Uhr