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2024-09-17T09:33:11Z

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Eine '''Von-Neumann-Algebra''' oder '''W*-Algebra''' ist eine mathematische Struktur in der [[Funktionalanalysis]]. Historisch beginnt die Theorie der Von-Neumann-Algebren mit den grundlegenden von 1936 bis 1943 erschienenen Arbeiten von [[Francis J. Murray]] und [[John von Neumann]] ''On rings of operators''.<ref>F.J. Murray, J. von Neumann: ''On rings of operators.'' Ann. of Math. (2), Band 37, 1936, Seiten 116–229.</ref><ref>F.J. Murray, J. von Neumann: ''On rings of operators II.'' Trans. Amer. Math. Soc., Band 41, 1937, Seiten 208–248</ref><ref>F.J. Murray, J. von Neumann: ''On rings of operators IV.'' Ann. of Math. (2), Band 44, 1943, Seiten 716–808.</ref> Der Name ''Von-Neumann-Algebra'' für derartige Algebren geht auf einen Vorschlag von [[Jean Dieudonné]] zurück.<ref>Newsletter of the EMS, Juni 2009, Interview mit Jacques Dixmier, Seite 36</ref>

== Definition ==
Eine ''Von-Neumann-Algebra'' <math>A</math> (benannt nach [[John von Neumann]]) oder (mittlerweile veraltet) ein ''Ring von Operatoren'' ist eine *-Unter[[algebraische Struktur|algebra]] mit Eins der Algebra <math>L\left( H\right)</math> der beschränkten [[linearer Operator|linearen Operatoren]] eines [[Hilbertraum]]s <math>H</math>, die eine (und damit alle) der drei folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

* <math>A=A''</math>.
* <math>A</math> ist [[topologischer Raum|abgeschlossen]] in der [[starke Operatortopologie|starken Operatortopologie]].
* <math>A</math> ist [[topologischer Raum|abgeschlossen]] in der [[schwache Operatortopologie|schwachen Operatortopologie]].

Hierbei ist <math>A' := \bigl\{ x \in L(H) \,|\, \forall a \in A:\, xa = ax\bigr\} </math> die [[Zentralisator|Kommutante]] von <math>A</math> und entsprechend <math>A''</math> die Kommutante von <math>A'</math>.

Die Äquivalenz der drei obigen Aussagen nennt man den ''von Neumannschen Doppelkommutantensatz'' oder ''Bikommutantensatz''. Diese Aussage kann wie folgt verschärft werden:

* Ist <math>A\subset L(H)</math> eine *-Unteralgebra mit Eins, so ist <math>A''</math> der Abschluss von <math>A</math> sowohl in der schwachen als auch in der starken Operatortopologie.

Auch diese Formulierung, die eine Äquivalenz zwischen der rein algebraischen Kommutanten-Bildung und der rein topologischen Dichte-Beziehung bzw. Abschluss-Bildung herstellt, wird als ''Bikommutantensatz'' bezeichnet.
Damit erweist sich der Bikommutantensatz als ein Dichtheitssatz. Zusammen mit dem weiteren [[Dichtheitssatz von Kaplansky]] stellt er den Ausgangspunkt der Theorie der Von-Neumann-Algebren dar.

Eine Von-Neumann-Algebra kann nach einem Satz von [[Shōichirō Sakai]] auch abstrakt ohne einen zugrundeliegenden [[Hilbertraum]] definiert werden:
* Eine Von-Neumann-Algebra <math>A</math> ist eine [[C*-Algebra]], die der topologische [[Dualraum]] eines [[Banachraum|Banachraums]] <math>A_{\star}</math> ist.

== Faktoren ==

Die Von-Neumann-Algebra <math>A</math> heißt Faktor, falls sie eine der beiden folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

* <math>A \cap A' = \mathbb C \cdot 1_H </math>.
* <math>A \cup A'</math> erzeugt <math>L\left(H\right)</math>.

Da <math>A \cap A'</math> die Menge der Operatoren aus <math>A</math> ist, die mit allen Operatoren aus <math>A</math> kommutieren, ist <math>A \cap A'</math> das [[Zentrum (Algebra)|Zentrum]] von <math>A</math>. Faktoren sind daher die Von-Neumann-Algebren mit kleinst möglichem Zentrum.
Man kann Von-Neumann-Algebren als direktes Integral (eine Verallgemeinerung der direkten Summe) von Faktoren darstellen, das heißt, Von-Neumann-Algebren sind in diesem Sinne aus Faktoren zusammengesetzt.

<math>L\left(H\right)</math> und <math>\Complex\cdot 1_H</math> sind Beispiele für Faktoren. Mit <math>A</math> ist auch <math>A'</math> ein Faktor; offenbar gilt <math>L\left(H\right)'=\Complex\cdot 1_H</math> und <math>(\Complex\cdot 1_H)' = L\left(H\right)</math>.

Bei den Faktoren können 3 [[Typklassifikation_(Von-Neumann-Algebra)#Faktoren,_Dimensionsfunktion|Typen]], die [[Typ I Von-Neumann-Algebra|Typ I]], [[Typ II Von-Neumann-Algebra|Typ II]] und [[Typ III Von-Neumann-Algebra|Typ III]] heißen, unterschieden werden.

== Kommutative Von-Neumann-Algebren ==
{{Hauptartikel|Abelsche Von-Neumann-Algebra}}
Sei <math>(X,{\mathfrak X},\mu)</math> ein <math>\sigma</math>-endlicher [[Maßraum]].
Dann ist <math>H=</math> [[Lp-Raum|''L<sup>2</sup>'']]<math>(X,{\mathfrak X},\mu)</math> ein Hilbertraum, und jede [[Wesentliches Supremum|wesentlich beschränkte]] Funktion <math>f\in L^{\infty}(X,{\mathfrak X},\mu)</math> definiert via Multiplikation einen Operator <math>M_f\in L(H), M_f(g):=f\cdot g</math>.
Die Menge aller <math>M_f</math> ist eine kommutative Von-Neumann-Algebra <math>{\mathcal M}\subset L(H)</math>, und die Abbildung <math>f\mapsto M_f</math> ist ein *-[[Isomorphismus]] <math>L^{\infty}(X,{\mathfrak X},\mu) \to {\mathcal M}</math>. Man kann <math>{\mathcal M}' = {\mathcal M}</math> zeigen, das heißt, die Algebra <math>{\mathcal M}</math> stimmt mit ihrem Kommutanten überein.
Keine echte Oberalgebra kann daher kommutativ sein, <math>{\mathcal M}</math> ist also eine maximale kommutative Von-Neumann-Algebra.

Betrachtet man speziell den Maßraum <math>([0,1],{\mathcal B},\lambda)</math> (Einheitsintervall mit dem [[Lebesgue-Maß]]), so kann man zeigen, dass der Bikommutant von <math>\{M_f;\, f\in C([0,1])\}</math> mit <math>{\mathcal M}\cong L^{\infty}([0,1])</math> zusammenfällt.
Der Übergang vom topologischen Konstrukt <math>C([0,1])</math> zum maßtheoretischen Konstrukt <math>L^{\infty}([0,1])</math> entspricht dem Übergang von C*-Algebren zu Von-Neumann-Algebren.
Während man bei C*-Algebren wegen des [[Satz von Gelfand-Neumark|Satzes von Gelfand-Neumark]] von ''nicht-kommutativer Topologie'' spricht, gibt die hier angestellte Betrachtung Anlass, eine Von-Neumann-Algebra als einen nicht-kommutativen Maßraum anzusehen, man spricht daher auch von ''nicht-kommutativer Maßtheorie''.

== Eigenschaften ==
Jede Von-Neumann-Algebra ist eine [[C*-Algebra]] und somit auch eine [[Banachalgebra]].

Wie sich aus dem [[beschränkter Borel-Funktionalkalkül|beschränkten Borel-Funktionalkalkül]] ergibt, enthalten Von-Neumann-Algebren sehr viele [[Orthogonalprojektion]]en; jeder Operator ist in der [[Normtopologie]] Limes von [[Linearkombination]]en von Orthogonalprojektionen.
Dies ist ein wesentlicher Unterschied zu den C*-Algebren, die, wie das Beispiel [[Funktionenraum|C([0,1])]] zeigt, neben 0 und 1 keine weiteren Projektionen enthalten müssen.
Man kann aus der Menge der Projektionen einen [[Verband (Mathematik)|Verband]] konstruieren;
die Struktur dieses Verbandes wird zur [[Typklassifikation (Von-Neumann-Algebra)|Typklassifikation]] der Von-Neumann-Algebren herangezogen.

== Siehe auch ==
*[[Typ I Von-Neumann-Algebra]]
*[[Typ II Von-Neumann-Algebra]]
*[[Typ III Von-Neumann-Algebra]]
*[[Tomita-Takesaki-Theorie]]

== Literatur ==
* [[Jacques Dixmier]]: ''Von Neumann algebras''. North-Holland Publishing, Amsterdam u. a. 1981 (North-Holland Mathematical Library, Band. 27), ISBN 0-444-86308-7.
* [[Richard Kadison|R.V. Kadison]], [[John Ringrose|J. R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras''. Band I und II, Academic Press 1983, ISBN 0-123-93301-3 bzw. 1986, ISBN 0-123-93302-1
* [[Shōichirō Sakai|Shôichirô Sakai]]: ''C*-Algebras and W*-Algebras''. Springer, Berlin u. a. 1971 (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band. 60) ISBN 3-540-05347-6 (Nachdruck. ebenda 1998, ISBN 3-540-63633-1).
* [[Jacob T. Schwartz]]: ''W*-Algebras.'' Gordon & Breach, New York NY u. a. 1967.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4388395-3}}

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Algebra (Struktur)]]
[[Kategorie:John von Neumann als Namensgeber]]

Von-Neumann-Algebra - Versionsgeschichte

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