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2026-04-20T18:19:25Z

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Ein '''Volumenintegral''' oder '''Dreifachintegral''' ist in der [[Mathematik]] ein Spezialfall der [[Integralrechnung#Mehrdimensionale Integration|mehrdimensionalen Integralrechnung]], der vor allem in der [[Physik]] Anwendung findet. Es erweitert das [[Oberflächenintegral]] auf die Integration über ein beliebiges dreidimensionales Integrationsgebiet, wobei eine Funktion <math>f(\vec r)</math> dreimal hintereinander integriert wird, jeweils über eine Koordinate eines dreidimensionalen [[Raum (Mathematik)|Raumes]]. Dabei muss es sich jedoch nicht notwendigerweise um ein [[Volumen]] eines [[Körper (Geometrie)|geometrischen Körpers]] handeln.
Zur vereinfachten Darstellung wird oft nur ein einziges Integralzeichen geschrieben und die Volumenintegration lediglich durch das [[Volumenelement]] <math>\mathrm d^3 r = \mathrm d V</math> angedeutet:

: <math> \iiint_V f(\vec r) \mathrm \, \mathrm d^3 r = \displaystyle \int_V f(\vec r) \, \mathrm d V </math>,

wobei die zu integrierende Funktion zumindest von drei Variablen <math>\vec r=(x,y,z)</math> für eine (kartesische) Beschreibung im dreidimensionalen Raum <math>\R ^3</math> abhängt, es sind aber auch [[Mannigfaltigkeit|höherdimensionale Räume]] möglich. Beachte, dass <math>V</math> hier in zwei Bedeutungen auftritt, einmal im Volumenelement <math>\mathrm d V</math> und einmal als Bezeichner für das Volumen, über das integriert wird, das Integrationsgebiet.

== Begriffe ==
Es handelt sich um ein skalares Volumenintegral, wenn der Integrand <math>f</math> skalar ist. Bei einem vektoriellen Integranden, z. B. einem [[Vektorfeld]] <math>\vec f = (u,v,w)</math>, ist das Volumenintegral ein Vektor aus den drei eindimensionalen Volumenintegralen der einzelnen Komponenten von <math>\vec f</math>.

Das Integrationsgebiet ist das dreidimensionale Integrationsvolumen <math>V</math>.
Das [[Differential (Mathematik)|Differential]] im Volumenintegral, z. B. <math>\mathrm d V</math>, ist ebenso dreidimensional und kann anschaulich als [[Infinitesimalrechnung|infinitesimales]], unendlich kleines Volumen aufgefasst werden. Anschaulich gesprochen summiert das Volumenintegral alle Funktionswerte von <math>f</math>, gewichtet mit dem jeweiligen Volumenelement. Man stellt sich das Volumen in <math>N</math> kleine Elemente <math>\Delta V_i</math> zerlegt vor, in denen die Funktion jeweils näherungsweise konstant ist, und bildet den Grenzwert ([[Riemannsches Integral]]):<ref name="Bronstein2001">{{cite book|first1=Ilja Nikolajewitsch|last1=Bronstein|first2=Konstantin Adolfowitsch|last2=Semendjajew|title=Taschenbuch der Mathematik|edition=5.|publisher=Verlag Harri Deutsch|isbn=3-8171-2005-2|pages=492}}</ref>
:<math>\int_V f\,\mathrm d V = \lim_{N \to\infty \atop \Delta V_i \to 0}\sum_{i=1}^N f(r_i)\,\Delta V_i </math>

In der Physik wird diese Technik häufig benutzt, zum Beispiel um die Masse eines Körpers mit [[Dichte#Ortsabhängige Dichte|ungleich verteilter Dichte]] zu berechnen. Setzt man <math>f=1</math>, ergibt sich das Volumen des Integrationsgebiets selbst.

== Parametrisierung ==

=== Spezielle Volumenintegrale mit Koordinatentransformation ===

==== Kartesische und Kugelkoordinaten ====
Mit der Definition

:<math> \begin{pmatrix} x \\
y \\
z \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} r \sin \theta \cos \varphi \\
r \sin \theta \sin \varphi \\
r \cos \theta \end{pmatrix}
</math>.
wird das [[Kugelkoordinaten#Differentiale, Volumenelement, Flächenelement, Linienelement|Volumenelement in Kugelkoordinaten]] zu

:<math> \mathrm{d}V = r^2 \sin\theta \,\mathrm{d}r\, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}\varphi. </math>

Mit der Definition
:<math>\tilde f (r, \theta, \varphi) = f(x,y,z)</math>

lautet das Volumenintegral dann

:<math>\iiint_{V_\mathrm{Kart}} f(x, y, z) \,\mathrm dx\, \mathrm dy\, \mathrm dz
= \iiint_{V_\mathrm{Kug}} \tilde f(r, \theta, \varphi) \cdot r^2 \sin\theta \,\mathrm{d}r\, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}\varphi. </math>

==== Kartesisch zu Zylinderkoordinaten ====
Für [[Zylinderkoordinaten]] <math>(\rho, \varphi, z)</math> gilt
:<math> \begin{pmatrix} x \\
y \\
z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \rho \cos \varphi \\
\rho \sin \varphi \\
z \end{pmatrix} </math>.
Das Volumenelement in Zylinderkoordinaten wird damit

:<math> \mathrm{d}V = \rho \,\mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}\varphi\, \mathrm{d}z. </math>

Mit der Definition
:<math>\tilde f (\rho, \varphi, z) = f(x,y,z)</math>

wird das Volumenintegral :

:<math>\iiint_{V_{Kart}} f(x, y, z)\, \mathrm dx\, \mathrm dy\, \mathrm dz
= \iiint_{V_\mathrm{Zyl}} \tilde f(\rho, \varphi, z) \cdot \rho \,\mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}\varphi\, \mathrm{d}z. </math>

== Anwendung ==
Volumenintegrale finden bei vielen physikalischen Problemen Anwendung. So lassen sich aus allen Dichten bei einer Volumenintegration die jeweils zugrundeliegenden Größen berechnen, beispielsweise die [[elektrische Ladung]] aus der [[Ladungsdichte]] oder die [[Masse (Physik)|Masse]] aus der [[Dichte|(Massen-)Dichte]]. Auch der [[Gaußscher Integralsatz|gaußsche Integralsatz]], der insbesondere in der [[Elektrodynamik]] wichtig ist, basiert auf einem Volumenintegral. Die Wahrscheinlichkeitsdichte des Geschwindigkeitsbetrags bei der [[Maxwell-Boltzmann-Verteilung]] ergibt sich durch Volumenintegration über die Verteilung der einzelnen Richtungen des Geschwindigkeitsvektors – dies ist ein Beispiel für ein Volumenintegral über ein nicht-geometrisches Volumen.

Verwendet man als Integrand die Funktion, die auf dem Integrationvolumen konstant gleich 1 ist, so erhält man eine Formel für das Volumenmaß
: <math>\mathrm{vol}(V) = \iiint_V \mathrm dV </math>.

== Beispiele ==
Beispiele für den Umgang mit Volumenintegralen finden sich hier:
* [[Kugel#Weitere Herleitungen|Berechnung des Volumens einer Kugel]]
* [[Trägheitsmoment#Beispielrechnung: Trägheitsmoment der homogenen Vollkugel|Berechnung des Trägheitmoments einer homogenen Vollkugel]]
* [[Maxwell-Boltzmann-Verteilung#Herleitung|Herleitung der Geschwindigkeitsverteilung der Maxwell-Boltzmann-Verteilung]]

== Weiterführendes ==
* {{Literatur
|Autor=I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew
|Titel=Taschenbuch der Mathematik
|Auflage=6
|Verlag=Verlag Harri Deutsch
|Ort=Frankfurt am Main
|Datum=2006
|ISBN=978-3-8171-2006-2}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Integralbegriff]]

Volumenintegral - Versionsgeschichte

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