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2025-02-17T19:23:26Z

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Eine '''Volumenform''' ist ein mathematisches Objekt, welches zur [[Integralrechnung|Integration]] über Raumbereiche benötigt wird, insbesondere bei der Verwendung spezieller [[Koordinatensystem]]e, also ein Spezialfall eines [[Volumen]]s.

In der Physik und im Ingenieurwesen sind auch Bezeichnungen wie '''infinitesimales Volumenelement''' oder '''Maßfaktor''' gebräuchlich.

== Berechnung in 3 Dimensionen ==
Das Volumenelement in drei Dimensionen lässt sich nach dem [[Transformationssatz]] mit Hilfe der [[Funktionaldeterminante]] <math>\det J</math> berechnen. Die [[Jacobi-Matrix]] für die Transformation von den Koordinaten <math>\{x_1, x_2, x_3\}</math> zu <math>\{x'_1, x'_2, x'_3\}</math> ist hierbei definiert durch
:<math>J =\frac{\partial(x_1,x_2,x_3)}{\partial(x'_1,x'_2,x'_3)}.</math>
Das Volumenelement ist dann gegeben durch
:<math> \mathrm{d} V'= |\det J| \, \mathrm{d} x'_1 \, \mathrm{d} x'_2 \, \mathrm{d} x'_3.</math>
Der Betrag der Funktionaldeterminante lässt sich anschaulich deuten als [[Spatprodukt]] der (lokalen) [[Basis (Vektorraum)|Basisvektoren]]. Diese Basisvektoren sind Tangentenvektoren an die [[Koordinatenlinie]]n und werden aus der [[Koordinatentransformation]] durch [[partielle Ableitung]] nach den neuen Koordinaten berechnet. Somit bilden die Komponenten eines Basisvektors jeweils eine Spalte der Funktionaldeterminante. Siehe: [[Spatprodukt#Volumenelement der Integralrechnung|Herleitung des Volumenelementes für Kugelkoordinaten]].

== Beispiele in 3 Dimensionen ==
* [[Kartesische Koordinaten]]: <math>\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\cdot\ \mathrm{d}y\cdot\ \mathrm{d}z</math>
* [[Zylinderkoordinaten]]: <math>\mathrm{d}V=\rho\cdot\ \mathrm{d}\rho\cdot\ \mathrm{d}\varphi\cdot\ \mathrm{d}z</math>
* [[Kugelkoordinaten]]: <math>\mathrm{d}V=\ r^2\cdot\sin\theta\cdot\ \mathrm{d}r\cdot\ \mathrm{d}\theta\cdot\ \mathrm{d}\varphi</math>

== Mathematische Definition ==

Aus mathematischer Sicht ist eine Volumenform auf einer <math>n</math>-dimensionalen [[Mannigfaltigkeit]] eine nirgends verschwindende [[Differentialform]] vom Grad <math>n</math>. Im Fall einer [[Orientierung (Mathematik)|orientierten]] [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|riemannschen Mannigfaltigkeit]] ergibt sich eine kanonische Volumenform aus der verwendeten Metrik, die den Wert 1 auf einer positiv orientierten [[Orthonormalbasis]] annimmt. Diese wird [[Riemannsche Volumenform|Riemann’sche Volumenform]] genannt.

== Integration mit Volumenformen ==

Ist <math>\omega</math> eine Volumenform auf einer Mannigfaltigkeit <math>M</math> und <math>f</math> eine integrierbare Funktion, so ist das Integral
: <math>\int_M f\cdot\omega</math>
über lokale Karten wie folgt definiert: Es seien <math>x_1,\ldots,x_n</math> lokale Koordinaten, so dass
: <math>\frac\partial{\partial x_1},\ldots,\frac\partial{\partial x_n}</math>
positiv orientiert ist. Dann kann man <math>f\cdot\omega</math> im Kartengebiet als
: <math>g\cdot\mathrm dx_1\wedge\ldots\wedge\mathrm dx_n</math>
schreiben; das Integral ist dann das gewöhnliche [[Lebesgue-Integral]] von <math>g</math>. Für das Integral über ganz <math>M</math> kann eine [[Partition der Eins]] oder eine Zerlegung der Mannigfaltigkeit in disjunkte messbare Teilmengen verwendet werden. Aus dem [[Transformationssatz]] ergibt sich, dass diese Definition kartenunabhängig ist.

== Literatur ==
* {{EoM
| Titel = Volume form
| Autor =
| Url = http://eom.springer.de/V/v096890.htm
}}
* {{Literatur|Autor=K. Endl / W. Luh|Titel=Analysis|Band=1|Verlag=Akademische Verlagsgesellschaft|Datum=1972|ISBN=3-400-00185-6}}
* {{Literatur|Autor=K. Endl / W. Luh|Titel=Analysis|Band=2|Verlag=Akademische Verlagsgesellschaft|Datum=1973|ISBN=3-400-00206-2}}

[[Kategorie:Integralrechnung]]

Volumenform - Versionsgeschichte

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