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2025-07-22T07:32:36Z

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{{Dieser Artikel|behandelt geschlossene Systeme, also insbesondere eine konstante Stoffmenge (vorbehaltlich chemischer Reaktionen); für strömende Systeme siehe [[Hydraulik]].}}

[[File:Volumenarbeit bei der Expansion eines abgeschlossenen Zylindervolumens.svg|thumb|350px|Wenn ein Kolben um ein Wegstück <math>\Delta z</math> gegen einen äußeren Druck <math>p</math> expandiert, leistet er die Volumenarbeit <math>W_{1,2}</math>.]]
Die '''Volumenarbeit''' oder '''Volumenänderungsarbeit''' ist die an einem [[Thermodynamisches System #Geschlossenes System|geschlossenen System]] zu leistende [[Arbeit (Physik)|Arbeit]] <math>W</math>, um das Volumen des Systems vom Wert <math>V_1</math> auf eines mit dem Wert <math>V_2</math> zu verändern:
* bei der Volumenverkleinerung <math>(V_2<V_1)</math> durch [[Kompressionsmodul|Kompression]] wird '''Kompressionsarbeit''' geleistet, d. h., dem System zugeführt (in der Abbildung ist dies die Arbeit, die der Kolben an dem im Zylinder enthaltenen Gas verrichtet): <math> W > 0</math>
* bei der Volumenvergrößerung <math>(V_2>V_1)</math> durch Expansion wird Arbeit – d. h. [[Energie]] – frei, d. h., vom System abgegeben: <math> W < 0.</math>

Die Volumenarbeit errechnet sich zu

:<math> W_{1,2} = - \int\limits_{s} F(s) \cdot \mathrm{d}s</math>.

Hierbei ist <math>F(s)</math> die [[Kraft]], die längs eines Weges <math>s</math> wirkt; dieser wird in ''Expansions''richtung ''positiv'' gezählt (in der Abbildung ''entgegen'' der gezeigten Kompressionskraft <math>F_p</math>).

Das Minuszeichen in der Formel ist eine [[Konvention]]; so wird erreicht, dass dem System zugeführte Arbeit wie oben beschrieben positiv ist, freiwerdende Energie dagegen ein negatives Vorzeichen erhält. Bei der dargestellten Kompression hat der zurückgelegte Weg ein negatives Vorzeichen <math>\left( \mathrm{d}s < 0 \right),</math> welches durch das zusätzliche Minuszeichen in der Formel für die Volumenarbeit kompensiert wird.

== Reibungsloser Vorgang ==
Die [[reibungsfrei]] und [[quasistatisch]] zugeführte Arbeit ist in dem dargestellten Zylinder mit dem [[Flächeninhalt|Querschnitt]] <math>A</math> <math>\left( \Rightarrow \mathrm{d}s = \frac{\mathrm{d}V}{A} \right)</math>

wegen <math>F = p \cdot A</math> (Reibungsfreiheit):

:<math> \Rightarrow W_{1,2} = \int \limits_{V_1}^{V_2} \delta W = - \int \limits_{V_1}^{V_2} p \cdot \mathrm{d}V </math>

mit
* <math>\delta W = -p dV</math> das [[Inexaktes Differential|inexakte Differential]] der Volumenarbeit
* <math>p</math>: [[Druck (Physik)|Druck]]
* <math>\mathrm{d}V</math>: Volumenänderung.

Diese [[Zustandsänderung#Thermodynamik|Zustandsänderung]] verläuft im [[p-V-Diagramm]] vom Punkt 1 zum Punkt 2, bei der dargestellten Kompression also in negativer Volumenrichtung <math>\left( \mathrm{d}V < 0 \right);</math> daher hätte die Kompressionsarbeit ohne das Minuszeichen in der Formel ein negatives Vorzeichen.

Der Integralwert, der der Fläche unter dem Zustandsverlauf entspricht, lässt sich berechnen, wenn die Funktion ''p = f(V)'' bekannt ist (s. u.).

== Reibungsbehafteter Vorgang ==
Im realen Fall, wenn zwischen dem Kolben und dem Zylinder eine [[Reibungskraft]] wirkt, muss beim Komprimieren zusätzlich zur Volumenänderungsarbeit die [[Reibungsarbeit]] <math>W_R</math> aufgebracht werden. Diese erhöht die [[innere Energie]] des Systems und damit den Druck gegenüber dem reibungsfreien Vorgang (wenn sie nicht durch [[Kühlung]] als [[Wärme]] nach außen abgeführt wird):

:<math>{p_2}' > p_2</math>

Im p-V-Diagramm verläuft die Zustandsänderung nun vom Punkt 1 zum Punkt 2’. Das heißt, dass auch die Volumenänderungsarbeit, die der Fläche unter dem Verlauf entspricht, größer wird, ''ohne dass darin die Reibungsarbeit selbst enthalten ist'':

:<math>\Rightarrow W_{1, 2'} > W_{1, 2}</math>

Die von außen aufzubringende Arbeit ist also die Summe aus der nunmehr größeren Volumenänderungsarbeit und der Reibungsarbeit:

:<math>W_\text{ext} = W_{1, 2'} + W_R</math>

== Berechnungsbeispiel ==
Angenommen sei die [[isotherm]]e Expansion eines [[Ideales Gas|idealen Gases]] <math>\left( T = \text{konst.} \right).</math>

Dann lässt sich durch Einsetzen der [[thermische Zustandsgleichung idealer Gase|thermischen Zustandsgleichung idealer Gase]]:

:<math> p(V) = n \cdot R \cdot T \cdot \frac{1}{V}</math>

mit
* ''n'' die [[Stoffmenge]]
* ''R'' die allgemeine [[Gaskonstante]]
* ''T'' die [[absolute Temperatur]]
das Integral für die Volumenarbeit lösen:

:<math>\begin{align}
\Rightarrow W_{1,2} & = -n \cdot R \cdot T \cdot \ln \frac {V_2}{V_1}\\
& = \phantom{-}n \cdot R \cdot T \cdot \ln \frac {V_1}{V_2}
\end{align}</math>

Anhand dieser Gleichung sieht man, dass bei der Expansion eines idealen Gases die Volumenarbeit negativ ist, also Energie frei wird; dies folgt aus dem [[Logarithmus]], der für Zahlen kleiner eins negativ und für Zahlen größer eins positiv ist:

::<math>\begin{align}
V_2 > V_1\\
\Leftrightarrow \frac {V_2}{V_1} > 1\\
\Leftrightarrow \ln \frac {V_2}{V_1} > 0\\
\Rightarrow W_\mathrm{1,2} < 0
\end{align}</math>

Statt ''n·R'' kann man oben auch ''m·R''<sub>s</sub> einsetzen:

::<math>n \cdot R = m \cdot R_\mathrm{s}</math>

wobei
* ''m'' die [[Masse (Physik)|Masse]] des Stoffes und
* ''R''<sub>s</sub> seine [[spezifische Gaskonstante]] ist.

== Offenes System ==
Wird die Kompression in einem [[Thermodynamisches_System #Offenes System|offenen System]] mit dem Außendruck <math>p_0</math> durchgeführt, so muss an tatsächlicher Arbeit

:<math>W_{1,2} = p_0 \cdot (V_2 - V_1)</math>

aufgebracht werden, da der Außendruck mit der Fläche multipliziert ebenfalls eine Kraft ergibt. Ist der Außendruck höher als der Innendruck des zu komprimierenden Volumens, so wird dabei Energie gewonnen; ist er geringer, so muss dabei Arbeit geleistet werden.

== Siehe auch ==

* [[Thermodynamik]]
* [[Dissipation]]
* [[Technische Arbeit]]
* [[Verschiebearbeit]]

== Literatur ==
* [[Thermodynamik#Technische Thermodynamik|Literatur zur Technischen Thermodynamik]]

[[Kategorie:Thermodynamik]]

Volumenarbeit - Versionsgeschichte

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