imported>Rigormath: /* Volumen-Berechnung */ Beschränktheit der Teilmengen i. Z. m. Banach-Tarski-Paradoxon.

2026-04-28T07:28:41Z

Volumen-Berechnung: Beschränktheit der Teilmengen i. Z. m. Banach-Tarski-Paradoxon.

Neue Seite

{{Begriffsklärungshinweis}}
{{Infobox Physikalische Größe
|Name= Volumen Rauminhalt
|Größenart=
|Formelzeichen= <math>V</math>
|Dim=
|AbgeleitetVon= [[Länge (Physik)|Länge]]
|SI= [[Kubikmeter|m3]]
|SI-Dimension= [[Länge (Physik)|L]]3
|cgs= [[Kubikzentimeter|cm3]]
|cgs-Dimension= L3
|esE=
|esE-Dimension=
|emE=
|emE-Dimension=
|Planck= [[Planck-Volumen]]
|Planck-Dimension= <math>l_\text{P}^3 = \left( \frac{\hbar G}{c^3} \right)^{\frac{3}{2}}</math>
|Astro=
|Astro-Dimension=
|Anglo=
|Anglo-Dimension=
|Anmerkungen=
|SieheAuch=
}}

Das '''Volumen''' ([[Plural]] ''Volumen'' oder ''Volumina''; von [[Latein|lateinisch]] ''volumen'' „Windung, Krümmung“, aus ''volvere'' „wälzen, rollen“), auch: '''Raum-''' oder '''Kubikinhalt''',<ref>{{Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache|Stichwort=Kubikinhalt |Abruf=2019-09-06}}.</ref> ist der räumliche [[Inhalt]] eines [[Körper (Geometrie)|geometrischen Körpers]]. Übliches [[Formelzeichen]] ist <math>V</math>.

In der [[Physik]] bezeichnet man mit dem Volumen die [[Abmessung|Ausdehnung]] (den ''Platzbedarf'') eines Körpers. Die (kohärente) [[SI-Einheitensystem|SI-Einheit]] für das [[Raummaß]] ist der [[Kubikmeter]] ([[Einheitenzeichen]] [[Meter|m]]3). Vereinzelt liest man noch die veralteten Abkürzungen cbm für m³ und ccm für cm³. Die Einheit [[Liter]] ist für Gase und Flüssigkeiten gebräuchlich und als 1 [[Kubikdezimeter|dm3]] (10×10×10 cm³) definiert.

Technisch muss unterschieden werden:
* '''Hohlvolumen''', der ''freie Raum'' innerhalb gewisser Grenzen, etwa das '''Fassungsvermögen''' eines [[Behälter]]s
* '''Rauminhalt''', das ''Volumen [[fester Körper]], von [[Flüssigkeit]]en oder [[Gas]]en''

== Geschichte ==
Die ersten bekannten Formeln zur Volumenbestimmung (auch [[Stereometrie]]) stammen aus dem [[Altes Ägypten|Alten Ägypten]]. Das [[Papyrus Moskau 4676|Moskauer Papyrus]] ist eine Sammlung von Rechenaufgaben und ist etwa auf das Jahr [[19. Jahrhundert v. Chr.|1850 v. Chr.]] datiert. Unter anderem sind hier die [[Formel]]n für die Bestimmung der Volumina für Rechteck[[Kegel (Geometrie)|kegel]] beschrieben. Die Bestimmung wurde durch [[Analyse]] und anschließender [[Synthese]] erreicht. Das heißt, der Körper wurde in mehrere bekannte Körper zerlegt und die Einzelvolumina addiert.

== Messmethoden ==
{{Siehe auch|Messgerät#Volumenmessung|titel1=Volumenmessgeräte}}

Im Laufe der Zeit haben sich ganz unterschiedliche Methoden zur Bestimmung von Volumina entwickelt:
* [[Auslitern]]: Der Körper wird mit [[Sand]] oder [[Wasser]] gefüllt, dessen Menge anschließend in einem bekannten Gefäß bestimmt wird; somit lässt sich bei Gefäßen das Volumen ihres Innenraumes bestimmen.
* [[Wasserverdrängung]]: Der Körper wird in ein vollständig mit Wasser gefülltes Gefäß eingetaucht. Das Volumen des übertretenden Wassers wird anschließend in einem geometrisch einfachen Gefäß (z. B. [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]]) vermessen. Infolge möglicher Wechselwirkungen zwischen Probekörper und Wasser kann es zu Messfehlern kommen, weshalb auch andere Flüssigkeiten eingesetzt werden können.
* Bei einem Körper mit einer bekannten [[Dichte]] lässt sich das Volumen auch [[Waage|erwiegen]].

== Volumen-Berechnung ==
Mathematisch gesehen ist das Volumen (der Rauminhalt) ein [[Maß (Mathematik)|Maß]] für [[Teilmenge]]n des gewöhnlichen dreidimensionalen Raums. Allerdings kann nicht sämtlichen [[Beschränkte Menge#Metrische Räume|beschränkten]] Teilmengen in sinnvoller Weise ein Volumen zugeordnet werden, wie das [[Banach-Tarski-Paradoxon]] zeigt. Das Volumen lässt sich aber einheitlich und präzise definieren als der (dreidimensionale) [[Jordan-Inhalt]] oder, umfassender, als das [[Lebesgue-Maß]] von Jordan- bzw. Lebesgue-messbaren Teilmengen des <math>\R^3</math> und hängt dann eng mit dem (dreidimensionalen/dreifachen) [[Riemann-Integral#Mehrdimensionales riemannsches Integral|Riemann-]] bzw. [[Lebesgue-Integral]] im <math>\R^3</math> zusammen.<ref>{{Literatur |Autor=[[Harro Heuser]] |Titel=Lehrbuch der Analysis |TitelErg=Band 2 |Auflage=14 |Verlag=Vieweg Teubner |Datum=2008 |ISBN=978-3-8351-0208-8}} Kapitel XXIII bzw. XXVI.</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Wolfgang Walter (Mathematiker)|Wolfgang Walter]] |Titel=Analysis 2 |Auflage=5 |Verlag=Springer Nature |Datum=2002 |DOI=10.1007/978-3-642-55922-8}} § 7 bzw. 9.</ref>

Im Allgemeinen lässt sich das Volumen eines Körpers (Bereich <math>B</math> im <math>\R^3</math>) durch ein Dreifachintegral <math>\textstyle \mathrm V = \iiint_B \mathrm dV </math> beschreiben. Solche Integrale können sehr schwierig oder nur numerisch lösbar sein. Bei vielen einfachen Fällen (Polyeder) lässt sich das Volumen ohne Integrale bestimmen. Bei Rotationskörper und solchen mit stetigen Querschnittsflächen (s. Tabelle) kommt man mit einfachen Integralen aus. Hier die Volumina einiger häufig vorkommender Körper:

{| class="wikitable"
|-
! Körper
! Volumen
! Parameter
|-
| [[Würfel (Geometrie)|Würfel]]
|style="text-align:center" | <math>V=a^3\;</math>
|[[Datei:Wuerfel-1-tab.svg|80px]]
|-
| [[Quader]]
|style="text-align:center" | <math>V=abc</math>
| [[Datei:Quader-1-tab.svg|120px]]
|-
| [[Prisma (Geometrie)|Prisma]] 
(Grundfläche ''G'')
|style="text-align:center" | <math>V=G h</math>
| [[Datei:Prisma-1-tab.svg|100px]]
|-
| [[Pyramide (Geometrie)|Pyramide]] 
(Grundfläche ''G'')
|style="text-align:center" | <math>V=\frac{1}{3}Gh</math>
| [[Datei:Pyramide-1-tab.svg|200px]]
|-
| [[Kugel]]
|style="text-align:center" | <math>V=\frac{4}{3} \pi r^3 </math>
| [[Datei:Kugel-1-tab.svg|100px]]
|-
| [[Ellipsoid]]
|style="text-align:center"| <math>V=\frac{4}{3}\pi abc</math>
| [[Datei:Ellipsoid-1-tab.svg|150px]]
|-
| [[Kreiszylinder|senkrechter Kreiszylinder]]
|style="text-align:center" | <math>V=\pi r^2 h</math>
| [[Datei:Zylinder-1-tab.svg|100px]]
|-
| senkrechter [[Kreiskegel]]
|style="text-align:center" | <math>V=\frac{1}{3}\pi r^2 h</math>
| [[Datei:Kegel-1-tab.svg|100px]]
|-
| [[Volltorus|Torus]]
|style="text-align:center" | <math>V=2\pi^2 Rr^2</math>
| [[Datei:Torus-1-tab.svg|200px]]
|-
| [[Rotationskörper]]
|style="text-align:center" |<math>V= \pi \cdot \int_ {a}^b f(x)^2\mathrm{d}x </math>
| [[Datei:Vase-1-tab.svg|220px]]
|-
| Körper mit stetiger
Querschnittsfläche <math>A(x)</math> 
(z. B. [[Steinmetz-Körper]])
|style="text-align:center" |<math>V= \int_ {a}^b A(x)\mathrm{d}x </math>
|Für den Rotationskörper ist 
<math>A(x)=\pi f(x)^2</math>
|}

== Verallgemeinerung ==
Man kann ein Volumen auch über mehrdimensionale [[Mannigfaltigkeit|Mannigfaltigkeiten]] definieren, siehe dazu auch [[Volumenform]]. Nach dieser Verallgemeinerung ist das Volumen eines Teilraumes des zweidimensionalen euklidischen Raumes sein Flächeninhalt und Entsprechendes gilt auch in höherdimensionalen euklidischen Räumen. Beispielsweise hat ein n-dimensionaler [[Hyperwürfel]] mit Kantenlänge <math>a</math> ein Volumen von <math>a^n</math>.

Das Volumen einer [[Orientierbarkeit|orientierbaren]] [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|Riemannschen Mannigfaltigkeit]] ist definiert durch [[Integralrechnung|Integration]] der Volumenform über die Mannigfaltigkeit.

== Hohlraum ==
Ein Hohlraum ist ein mathematisches, ein physikalisches oder ein natürliches Objekt. Sein Volumen wird als Hohlvolumen bezeichnet. Ein in einer Struktur eingeschlossenes Volumen kann ein Hohlraum sein. Dabei verändert die Existenz von Hohlräumen oft die umliegende Struktur, z. B. in Hinsicht auf Festigkeit oder Elastizität (Siehe [[Porosität]]).

Ein natürlicher Hohlraum enthält ein Vakuum oder ist mit Gasen, Flüssigkeiten oder anderen Stoffen gefüllt, was wiederum die umschließende Struktur beeinflussen kann. Insbesondere kann die Grenzfläche zwischen Hohlraum und Struktur sich verändern, schwer zu erkennen sein oder auch nur auf gedanklicher Ebene existieren. Auch ein Hohlraum, der eine oder mehrere Öffnungen hat, also nicht vollständig von der umschließenden Struktur umgeben ist, wird umgangssprachlich so bezeichnet.

Die Größe des umschlossenen Volumens kann oft errechnet oder experimentell bestimmt werden. In manchen Fällen ist das allerdings prinzipiell nicht möglich.

Hohlraumbildung ist ein oft auftretendes Phänomen bei geologischen und sonstigen physikalischen und chemischen Prozessen.

Evakuierte Hohlräume haben mehrere universelle Eigenschaften, eine davon ist die [[Hohlraumstrahlung]].

'''Beispiele: Hohlraum'''

* … als Gefäß: [[Flasche]], [[Tank (Behälter)|Tank]], Verdauungssystem, Schwamm
* … als Aufenthaltsort: Wohnung, Höhle
* … als Ergebnis chemischer oder physikalischer Vorgänge: Luftblase, Seifenblase, „Löcher“ im Käse, [[Lunker]]

== Siehe auch ==
* [[Banach-Tarski-Paradoxon]] und [[Maßtheorie]], zu den Grenzen des Volumenbegriffs der Mathematik bei Verwendung in der tatsächlichen Welt
* [[Liste von Größenordnungen des Volumens]]
* [[Raummaß]]

== Weblinks ==

{{Wiktionary|Rauminhalt}}
{{Wiktionary}}

* Edmund Hlawka: [https://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/1978%20Band%202%20Klagenfurt/Hlawka1978.pdf Zur Geschichte des Inhaltsbegriffes]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4136953-1}}

[[Kategorie:Raumgeometrie]]
[[Kategorie:Physikalische Größenart]]

Volumen - Versionsgeschichte

imported>Rigormath: /* Volumen-Berechnung */ Beschränktheit der Teilmengen i. Z. m. Banach-Tarski-Paradoxon.