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2020-05-13T18:23:19Z

Volumen des Volltorus: Link; sprachlich

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[[datei:Torus illustration.png|mini|Volltorus]]
In der [[Mathematik]] ist ein '''Volltorus''' ein 3-dimensionales Gebilde mit genau einem [[Henkel-Zerlegung|Henkel]]. Es wird von einem [[Torus]] berandet.

== Volltorus als Rotationskörper ==
Die Menge der Punkte, die von einer [[Kreis]]linie mit Radius <math>R</math> den Abstand <math>a\le r</math> für ein festes <math>r<R</math> haben, ist ein Volltorus. Man erhält ihn also durch Rotation der Kreisfläche vom Radius <math>r</math> um eine in der Kreisebene liegende und den Kreis nicht schneidende Rotationsachse, deren Abstand <math>R</math> vom Kreismittelpunkt größer als der [[Radius]] der Kreisfläche ist.

=== Parametrisierung ===
Eine Parametrisierung des Volltorus ist
:<math>\vec X(a,t,p) = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = R \cdot \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0 \end{pmatrix} + a \cdot \begin{pmatrix} \cos(t) \cdot \cos(p) \\ \sin(t) \cdot \cos(p) \\ \sin(p) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (R + a \cdot \cos(p)) \cos(t) \\ (R + a \cdot \cos(p)) \sin(t) \\ a \cdot \sin(p) \end{pmatrix}</math>
mit <math>0\le a\le r, 0\le t \le 2\pi,0\le p\le 2\pi</math>.

=== Volumen des Volltorus ===
Das Volumen des Volltorus lässt sich als Dreifachintegral über die [[Funktionaldeterminante|Jacobi-Determinante]] (die [[Jacobi-Matrix|Determinante der Funktionalmatrix]]) berechnen. Die [[Jacobi-Matrix]] zur Parametrisierung des Volltorus lässt sich wie folgt angeben:

<math>J_f = \frac{\partial \left(x,y,z \right)}{\partial \left(r, t, p \right)} =
\begin{pmatrix}
\partial_r x & \partial_t x & \partial_p x \\
\partial_r y & \partial_t y & \partial_p y \\
\partial_r z & \partial_t z & \partial_p z \\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\cos(t) \cos(p) & - R \sin(t) - r \sin(t) \cos(p) & - r \cos(t) \sin(p) \\
\sin(t) \cos(p) & R \cos(t) + r \cos(t) \cos(p) & - r \sin(t) \sin(p)\\
\sin(p) & 0 & r \cos(p)
\end{pmatrix}
</math>

Daraus folgt:
: <math>\det (J_f) = r \cdot \left(r \cos(p) + R\right)</math>

Die Funktionaldeterminante ist hier also gleich der Norm des Flächennormalenvektors.

: <math>V = \int_{V} \mathrm dV = \int_{\Gamma} \det (J_f) \ \mathrm d\Gamma = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r} \left(Rr+r^2\cos(p)\right) \ \mathrm dr \mathrm dp \mathrm dt = 2\pi^2 r^2 R \; { \color{OliveGreen} = \int A_O \mathrm dr}</math>

Man erhält also für das Volumen des Volltorus <math>V=2\pi^2r^2R</math>.

Die Formel für das Volumen lässt sich so interpretieren, dass die Kreisfläche <math>A_r = \pi r^2</math> mit dem Umfang <math>U_R = 2\pi R</math> multipliziert wird (s. [[Rotationskörper#Zweite Regel|Zweite Guldinsche Regel]]). Dies kann man zum Verständnis in Analogie zum [[Zylinder (Geometrie)|Zylindervolumen]] <math>V_\text{zyl} = \pi r^2 l</math> setzen. Mit dem Flächeninhalt der Oberfläche verhält es sich genauso, hier werden die Umfänge <math>U_r = 2\pi r</math> und <math>U_R = 2\pi R</math> miteinander multipliziert (s. [[Rotationskörper#Erste Regel|Erste Guldinsche Regel]]). Dies steht ebenfalls in Analogie zur [[Zylinder (Geometrie)|Zylinderoberfläche]] <math>O_\text{zyl} = 2\pi r l</math>.

=== Trägheitsmoment eines Volltorus ===
Das [[Trägheitsmoment]] eines Volltorus mit der Dichte <math>\rho</math> bezüglich der <math>z</math>-Achse (Symmetrieachse) kann durch
: <math>I = \rho \int_{T} (x^2+y^2) \,\, \mathrm d^3 x </math>
berechnet werden. Nun kann man die Transformation auf Toruskoordinaten durchführen. Dabei kommt zusätzlich die [[Jacobi-Determinante]] ins Integral.
:<math>I = \rho \int_{t=0}^{2\pi} \int_{p=0}^{2\pi} \int_{r'=0}^{r} |\det J_\text{Torus} | \cdot (R+r' \cdot \cos(p))^2 \,\,\, \mathrm dr' \mathrm dp \, \mathrm dt = \rho \int_{t=0}^{2\pi} \int_{p=0}^{2\pi} \int_{r'=0}^{r} r' \cdot (R+r' \cdot \cos(p))^3 \,\,\, \mathrm dr' \mathrm dp \, \mathrm dt </math>
Mit partiellem Integrieren und der Torusmasse <math>M</math> erhält man:
:<math>I = 2 \pi^2 \cdot \rho \cdot R \cdot r^2 \left (\frac{3}{4} \cdot r^2+R^2 \right) </math>
:<math>I = M \cdot \left (\frac{3}{4} \cdot r^2+R^2 \right) </math>

==Volltorus in der Topologie ==

Ein ''Volltorus'' ist ein [[Henkelkörper]] vom Geschlecht <math>g=1</math>. Der [[Mannigfaltigkeit mit Rand|Rand]] des Volltorus ist ein Torus.

Topologisch ist ein Volltorus [[Homöomorphismus|homöomorph]] zum [[Produkttopologie|Produkt]] <math>D^2\times S^1</math> der [[Kreisscheibe]] mit der Kreislinie. Man kann den Volltorus als rotationssymmetrischen Volltorus in den <math>\R^3</math> einbetten.

Seine topologischen Invarianten berechnen sich wie folgt:
:<math>\pi_1(S^1 \times D^2) \cong \pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z},</math>

:<math>H_k(S^1 \times D^2) \cong H_k(S^1) \cong
\begin{cases}
\mathbb{Z} & \mbox{ falls } k = 0,1 \\
0 & \mbox{ sonst }
\end{cases}.</math>

Die [[3-Sphäre]], also der dreidimensionale Raum zusammen mit einem unendlich fernen Punkt, lässt sich als Vereinigung zweier Volltori darstellen, die sich lediglich in ihrer Oberfläche überlappen. Man erhält sie beispielsweise aus der [[Hopf-Faserung]], indem man den Basisraum <math>S^2</math> als Vereinigung von Nord- und Südhalbkugel auffasst; über beiden Hälften ist die Faserung trivial. Die Zerlegung der 3-Sphäre in zwei Volltori wird beispielsweise bei der Konstruktion der [[Reeb-Blätterung]] ausgenutzt.

[[Kategorie:3-Mannigfaltigkeit]]
[[Kategorie:Raumgeometrie]]

Volltorus - Versionsgeschichte

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