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2019-09-19T19:46:00Z

Einzelnachweise

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'''Vollstetige Operatoren''' werden im mathematischen Teilgebiet der [[Funktionalanalysis]] untersucht. Es handelt sich um gewisse [[Linearer Operator|lineare Operatoren]] zwischen [[Banachraum|Banachräumen]], die eng mit den [[Kompakter Operator|kompakten Operatoren]] zusammenhängen, sie werden auch '''Dunford-Pettis-Operatoren''' genannt.

== Definition ==
Ein linearer Operator zwischen zwei Banachräumen heißt vollstetig, wenn das Bild jeder in der [[Schwache Topologie|schwachen Topologie]] [[Kompakter Raum|kompakten]] Menge in der [[Normtopologie]] des Bildraums kompakt ist.

In Formeln: Der lineare Operator <math>T:X\rightarrow Y</math> zwischen Banachräumen heißt vollstetig, wenn für alle schwach-kompakten <math>K\subset X</math> das Bild <math>T(K)</math> normkompakt ist.

Diese Definition geht auf [[David Hilbert|Hilbert]] zurück.<ref>David Hilbert: ''Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen IV.'' In: ''Nachrichten der [[Königliche Gesellschaft der Wissenschaften|Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften Göttingen]], Mathematik-Physik.'' 1906, S. 157–227.</ref> Genauer hat Hilbert folgende äquivalente Charakterisierung verwendet:

Ein linearer Operator zwischen Banachräumen ist genau dann vollstetig, wenn jede [[Schwache Konvergenz|schwach-konvergente Folge]] auf eine normkonvergente Folge abgebildet wird.<ref>Robert E. Megginson: ''An Introduction to Banach Space Theory.'' Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Satz 3.4.36.</ref>

== Bemerkungen ==
* Nicht alle Autoren unterscheiden zwischen Vollstetigkeit und Kompaktheit. So verwendet Heuser diese Begriffe synonym und meint damit kompakte Operatoren.<ref>Harro Heuser: ''Funktionalanalysis.'' Teubner-Verlag 1975, ISBN 3-519-02206-0, S. 76.</ref> Das ist insbesondere dann nicht unüblich, wenn sich Autoren ohnehin nur für Operatoren auf [[Hilbertraum|Hilberträumen]] interessieren. So nennt man [[C*-Algebra|C*-Algebren]], deren sämtliche [[Hilbertraum-Darstellung|irreduzible Hilbertraumdarstellungen]] ihre Bilder in den kompakten Operatoren haben, [[Liminale C*-Algebra|CCR-Algebren]], wobei CCR für ''completely continuous representation'' steht.<ref>W. Arveson: ''Invitation to C*-algebras.'' Springer, 1998, ISBN 0-387-90176-0, Definition 1.5.1.</ref> Es ist daher zu empfehlen, die vom jeweiligen Autor verwendete Definition der Vollstetigkeit zu prüfen.

* Der Raum der vollstetigen Operatoren zwischen zwei Banachräumen ist ein abgeschlossener Unterraum des Raumes aller beschränkten Operatoren zwischen diesen Banachräumen.<ref>Robert E. Megginson: ''An Introduction to Banach Space Theory.'' Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Aufgabe 3.49.</ref> Ferner erfüllen die vollstetigen Operatoren die Idealeigenschaft, das heißt ein Produkt zweier Operatoren zwischen Banachräumen ist vollstetig, sobald einer der Faktoren es ist.

* Der Begriff des vollstetigen Operators wird in der Definition der [[Dunford-Pettis-Eigenschaft]] verwendet. Daher nennt man vollstetige Operatoren auch '''Dunford-Pettis-Operatoren'''.<ref>Terry J. Morrison: ''Functional Analysis: An Introduction to Banach Space Theory.'' Wiley 2001, ISBN 0-471-37214-5, Definition 6.6.</ref>

* Jeder stetige lineare Operator <math>T:\ell^1 \rightarrow Y</math> in einen Banachraum <math>Y</math> ist vollstetig, denn nach einem [[Schur-Eigenschaft|Satz von Issai Schur]] ist jede schwach-konvergente ''Folge'' in <math>\ell^1</math> bereits normkonvergent.<ref>J. Schur: ''Über lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen.'' J. Reine Angewandte Mathematik 151 (1920), S. 79–111.</ref><ref>Robert E. Megginson: ''An Introduction to Banach Space Theory.'' Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, S. 219 unten.</ref>

== Vergleich mit kompakten Operatoren ==
{{Hauptartikel|Kompakter Operator}}
Kompakte Operatoren werden ganz ähnlich definiert, dort verlangt man, dass das Bild jeder [[Beschränktheit|beschränkten Menge]] [[Relativ kompakte Teilmenge|relativ kompakt]] ist, das heißt einen kompakten [[Abgeschlossene Menge|Abschluss]] hat.

Für einen Operator <math>T:X\rightarrow Y</math> zwischen Banachräumen gilt
:<math> T \text{ kompakt } \Rightarrow T \text{ vollstetig } \Rightarrow T \text{ stetig }</math>

Die Umkehrungen gelten nicht. So ist die Identität auf dem [[Folgenraum]] <math>\ell^1</math> vollstetig aber nicht kompakt. Die Identität auf <math>\ell^2</math> ist stetig aber nicht vollstetig.

In obiger Definition der Vollstetigkeit wird von <math>T(K)</math> Normkompaktheit gefordert und nicht nur relative Kompaktheit wie in der Definition des kompakten Operators. Das macht hier keinen Unterschied, denn ist <math>T</math> ein vollstetiger Operator, so ist er stetig bzgl. der Normtopologien (auch wenn man in der Definition nur relative Kompaktheit verlangt) und daher auch stetig bzgl. der schwachen Topologien. Also ist das Bild <math>T(K)</math> einer schwach-kompakten Menge stets schwach-kompakt und daher schwach-abgeschlossen, erst recht also normabgeschlossen, so dass relative Kompaktheit hier bereits Normkompaktheit bedeutet.

Für Operatoren auf [[Reflexiver Raum|reflexiven Banachräumen]] mit Werten in beliebigen Banachräumen fallen die Begriffe Vollstetigkeit und Kompaktheit zusammen, denn beschränkte Mengen und relativ schwach-kompakte Mengen sind in reflexiven Räumen identisch.<ref>Robert E. Megginson: ''An Introduction to Banach Space Theory.'' Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Satz 3.4.37.</ref>

== Vergleich mit schwach-kompakten Operatoren ==
{{Hauptartikel|Schwach-kompakter Operator}}
Die Klassen der vollstetigen und der schwach-kompakten Operatoren umfassen beide die Klasse der kompakten Operatoren und liegen beide in der Klasse der stetigen Operatoren. Eine allgemeine Beziehung zwischen vollstetigen und schwach-kompakten Operatoren besteht allerdings nicht.<ref>Robert E. Megginson: ''An Introduction to Banach Space Theory.'' Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, vor Definition 3.5.15.</ref>

Die Identität auf <math>\ell^1</math> ist nach obigem vollstetig, sie ist aber nicht schwach-kompakt, denn sonst wäre die beschränkte Einheitskugel in <math>\ell^1</math> schwach-kompakt und <math>\ell^1</math> wäre [[Reflexiver Raum|reflexiv]], was aber nicht der Fall ist.

Die Identität auf <math>\ell^2</math> ist schwach-kompakt, denn <math>\ell^2</math> ist reflexiv, aber sie ist nicht vollstetig, denn sonst wäre die schwach-kompakte Einheitskugel norm-kompakt und <math>\ell^2</math> wäre endlichdimensional, was aber nicht der Fall ist.

Es gibt eine wichtige Klasse von Räumen, auf denen alle schwach-kompakten Operatoren vollstetig sind, das sind die Räume mit der [[Dunford-Pettis-Eigenschaft]].

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Lineare Abbildung]]

Vollstetiger Operator - Versionsgeschichte

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