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2019-10-28T20:00:08Z

Vergleich Minterm / Maxterm

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Als '''Vollkonjunktion''' (auch '''Minterm''' oder '''Elementarkonjunktion''') bezeichnet man in der [[Aussagenlogik]] einen speziellen [[Konjunktionsterm]], d. h. eine Anzahl von Literalen ([[Boolesche_Variable|booleschen Variablen]]), die alle durch ein [[Konjunktion (Logik)|logisches ''und'']] (<math>\wedge</math>) verknüpft sind. Dabei müssen alle <math>n</math> Variablen der betrachteten <math>n</math>-stelligen [[Boolesche Funktion|booleschen Funktion]] im Konjunktionsterm vorkommen. Vollkonjunktionen lassen sich zu einer [[Disjunktive Normalform|disjunktiven Normalform]] zusammensetzen, beispielsweise beim [[Verfahren nach Quine und McCluskey]].

== Beispiele ==
Beispiele für 3-stellige boolesche Funktionen
*<math>e_1 \wedge e_2 \wedge e_3</math>
*<math>e_1 \wedge \neg e_2 \wedge e_3</math>
*<math>\neg e_1 \wedge e_2 \wedge \neg e_3</math>

== Standardnummerierung der Vollkonjunktionen ==
Vollkonjunktionen lassen sich auf natürliche Weise nummerieren. Man denkt sich dabei die Variablen in einer Reihe notiert, z. B. <math>X_nX_{n-1}...X_2X_1</math>. Kommt für eine konkrete Vollkonjunktion das jeweilige Literal <math>X_i</math> negiert vor, so ersetzt man es durch eine 0, sonst durch eine 1. Es entsteht eine [[Binärzahl]], die man dezimal interpretieren kann. Diese Dezimalzahl bezeichnet man als die Nummer oder den Index des Minterms. Will man diesen Minterm über seinen Index <math>i</math> bezeichnen, so schreibt man <math>m_i</math>. Analog geht dies mit den Maxtermen <math>M_i</math> bei Disjunktionen.

== Vergleich Minterm / Maxterm ==
In folgender Tabelle ist der Unterschied zwischen der [[Maxterm]]- und Mintermdarstellung ersichtlich:
{| class="wikitable"
|-------
! Index ||<math>x_2</math> || <math>x_1</math> || <math>x_0</math> || Minterm || Maxterm
|------------------------------------------------------------------------------------------
| 0 || 0 || 0 || 0 || <math>\neg x_2\wedge\neg x_1\wedge \neg x_0</math>|| <math> x_2\vee x_1\vee x_0</math>
|-------
|1|| 0 || 0 || 1 || <math>\neg x_2\wedge\neg x_1\wedge x_0</math> ||<math> x_2\vee x_1\vee\neg x_0</math>
|-------
|2|| 0 || 1 || 0|| <math>\neg x_2\wedge x_1\wedge \neg x_0</math>||<math> x_2\vee\neg x_1\vee x_0</math>
|-------
|3|| 0 || 1 || 1|| <math>\neg x_2\wedge x_1\wedge x_0</math>|| <math> x_2\vee\neg x_1\vee\neg x_0</math>
|-------
|4|| 1 || 0 || 0|| <math>x_2\wedge\neg x_1\wedge \neg x_0</math>||<math> \neg x_2\vee x_1\vee x_0</math>
|-------
|5|| 1 || 0 || 1|| <math>x_2\wedge\neg x_1\wedge x_0</math>||<math>\neg x_2\vee x_1\vee \neg x_0</math>
|-------
|6|| 1 || 1 || 0|| <math>x_2\wedge x_1\wedge \neg x_0</math>||<math>\neg x_2\vee \neg x_1\vee x_0</math>
|-------
|7|| 1 || 1 || 1|| <math>x_2\wedge x_1\wedge x_0</math>||<math>\neg x_2\vee \neg x_1\vee \neg x_0</math>
|}

Realisierung von Decoder-Schaltungen mit Mintermen / Maxtermen:
{| class="wikitable"
|-------
! ||Minterm||Maxterm
|-----
|0||NOR-Gatter || AND-Gatter
|-----
|1||OR-Gatter || NAND-Gatter
|}

=== Bezeichnungen ===

==== Minterme ====
* Ein einziger Minterm:
** Für genau eine Belegung Funktionswert 1
** Minimalität:
*** maximale Anzahl an Nullen
*** '''''minimale''' Anzahl an '''Einsen'''''
(abgesehen von trivialer Nullfunktion)

==== Maxterme ====
* Ein einziger Maxterm:
** Für genau eine Belegung Funktionswert 0
** Maximalität:
*** '''''maximale''' Anzahl an '''Einsen'''''
*** minimale Anzahl an Nullen
(abgesehen von trivialer Einsfunktion)

== Bezug zum Karnaugh-Veitch-Diagramm ==
Man spricht auch vom ''Minterm einer Funktion <math>F</math>'', wenn dieser ''<math>F</math> impliziert'', d. h. wenn gilt
:<math>M(X) = 1 \Rightarrow F( X) = 1</math>.
Dabei ist <math>X</math> der Vektor der Eingangsvariablen. Derartige Minterme <math>M</math> entsprechen umkehrbar eindeutig denjenigen Feldern eines [[Karnaugh-Veitch-Diagramm]]s, die für die betrachtete Funktion den Wert 1 enthalten.

[[Kategorie:Logik]]

Vollkonjunktion - Versionsgeschichte

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